资源简介

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专题26 随机变量及其分布
【考纲要求】
了解离散型随机变量的概念，理解随机变量分布列的性质
理解正态分布
一、随机抽样
【思维导图】
【考点总结】
一、条件概率与全概率公式
1 条件概率
① 定义
一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率.
(1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即
(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率)
② 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 设和互为对立事件，则.
2 全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
我们称它为全概率公式.
贝叶斯公式：
设
二、离散型随机变量
【考点总结】
一 离散型随机变量及其分布列
1 随机变量
① 概念
一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.
②分类
随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.
2 分布列
① 概念
一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格
为随机变量的概率分布列，简称的分布列.
② 性质
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
3 两点分布
如果随机变量的分布列为
则称服从两点分布，并称为成功概率.
二 离散型随机变量的数字特征
1 离散随机变量的均值（数学期望）
概念
一般地，随机变量的概率分布列为
则称 为的数学期望或均值，简称为期望.
它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.
若 ，其中为常数，则也是变量
则 ，即(利用期望的概念可以证明)
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么
即若服从两点分布，则
2 离散型随机变量取值的方差和标准差
（1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为
则称
为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.
一般地，.(可用方差的概念证明)
证明
三、二项分布与超几何分布
【考点总结】
1 二项分布
① 重伯努利试验
（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性；
（2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验,
（3）重伯努利试验具有如下共同特征
第一：同一个伯努利试验重复做次；
第二：各次试验的结果相互独立；
② 二项分布
(1) 概念
一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则
此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率.
随机变量的分布列如下
(其中)
由二项定理,可得
这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧！
③ 二项分布的期望与方差
一般地,如果那么.
下面对期望进行证明
证明 令由可得
令则
2 超几何分布
① 概念
一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为：
其中.
如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.
四、正态分布
【考点总结】
1 正态分布的概念
若连续型随机变量的概率密度函数为
其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为.
的图象称为正态曲线.
2 正态分布的期望与方差
若，则
3 正态曲线的性质
① 曲线在轴的上方，与轴不相交；
② 曲线关于直线对称；
③ 曲线在时达到峰值；
④ 曲线与轴之间的面积为；
⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近；
⑥ 曲线的形状由确定，
越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
【题型汇编】
题型一：条件概率与全概率公式
题型二：离散型随机变量
题型三：二项分布与超几何分布
题型四：正态分布
【题型讲解】
题型一：条件概率与全概率公式
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A、B同时发生的概率
2．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）甲 乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝 农夫山泉 雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·一模）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95
4．（2022·福建泉州·模拟预测）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）甲盒中有2个红球和4个白球，乙盒中有3个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出一球放入乙盒，记事件A=“甲盒中取出的是红球”，B=“甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取一个球，记M=“乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
三、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到正品的概率；
(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.
10．（2023·全国·高三专题练习）甲 乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲 乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲 乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲 乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
题型二：离散型随机变量
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
2．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．（2022·全国·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
4．（2022·江西赣州·高二期末（理））若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（ ）
X －1 0 1 2
P
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知8件产品中有1件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．8
11．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
ξ 1 2 3
P
A．－ B． C． D．
三、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X（单位： t，）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将表示为的函数；
(2)根据直方图估计利润不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量，，则取，且的概率等于需求量落入，的频率），求的分布列．
13．（2023·全国·高三专题练习）某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为，求他初赛结束后所得总分的分布列．
题型三：二项分布与超几何分布
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（ ）
A．0 B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为( )
A． B． C．1 D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，下列表达式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是（ ）
A．10分钟 B．5分钟 C．4分钟 D．2分钟
9．（2023·全国·高三专题练习）考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲 乙 丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
甲 乙
0 6
3 1 0 1 2 3
6 2 7
8 5 5 0 3 2 9
5 3 4 7
8 6 5
6 5
4 0 7 4 8
5 8
4 9 5 7 8
0 10
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
14．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：
月份x 1 2 3 4 5
订单y
(1)求y关于x的线性回归方程，并估计该厂6月份的订单金额．
(2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格的产品需要更换，用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：．
参考公式：回归直线的方程是，其中
题型四：正态分布
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（ ）
附：随机变量服从正态分布，则
A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82
3．（2023·全国·高三专题练习）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，且对任意，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（ ）
附：．
A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545
6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023
7．（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（ ）
A．300 B．400 C．600 D．800
8．（2023·全国·高三专题练习）读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大
10．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据的平均数为4，则a的值为1
B．若随机变量，且，则
C．某人每次射击击中靶心的概率为，现射击10次，设击中次数为随机变量Y，则
D．“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”是一句流行的俗话，假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为0.5，现让三个“臭皮匠”分别独立解决此问题．则至少有一个人解决该问题的概率为0.875．
三、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：
得分
频数 25 150 200 250 225 100 50
(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）
(2)在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）
参考数据：；；，.
12．（2023·全国·高三专题练习）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
人数 5 15 35 30 10 5
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
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专题26 随机变量及其分布
【考纲要求】
了解离散型随机变量的概念，理解随机变量分布列的性质
理解正态分布
一、随机抽样
【思维导图】
【考点总结】
一、条件概率与全概率公式
1 条件概率
① 定义
一般地，设为两个事件,且 ,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率.
(1) 求“事件已发生，事件发生的概率”，可理解：如图，事件已发生，则为样本空间，此时事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即
(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，就是以为样本空间计算的概率)
② 概率的乘法公式
对任意两个事件与，若，则
设，则
(1)；
(2) 如果和互斥，那么 ；
(3) 设和互为对立事件，则.
2 全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有
我们称它为全概率公式.
贝叶斯公式：
设
二、离散型随机变量
【考点总结】
一 离散型随机变量及其分布列
1 随机变量
① 概念
一般地，对于随机试验样本空间中每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.
②分类
随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.
2 分布列
① 概念
一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称以下表格
为随机变量的概率分布列，简称的分布列.
② 性质
离散型随机变量的分布列具有下述两个性质
3 两点分布
如果随机变量的分布列为
则称服从两点分布，并称为成功概率.
二 离散型随机变量的数字特征
1 离散随机变量的均值（数学期望）
概念
一般地，随机变量的概率分布列为
则称 为的数学期望或均值，简称为期望.
它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.
若 ，其中为常数，则也是变量
则 ，即(利用期望的概念可以证明)
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么
即若服从两点分布，则
2 离散型随机变量取值的方差和标准差
（1）一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为
则称
为随机变量的方差，有时候也记为，并称为随机变量的标准差，记为。
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.
一般地，.(可用方差的概念证明)
证明
三、二项分布与超几何分布
【考点总结】
1 二项分布
① 重伯努利试验
（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性；
（2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验,
（3）重伯努利试验具有如下共同特征
第一：同一个伯努利试验重复做次；
第二：各次试验的结果相互独立；
② 二项分布
(1) 概念
一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则
此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率.
随机变量的分布列如下
(其中)
由二项定理,可得
这也许是这分布为什么叫做二项式定理的原因吧！
③ 二项分布的期望与方差
一般地,如果那么.
下面对期望进行证明
证明 令由可得
令则
2 超几何分布
① 概念
一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为：
其中.
如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布.
四、正态分布
【考点总结】
1 正态分布的概念
若连续型随机变量的概率密度函数为
其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为.
的图象称为正态曲线.
2 正态分布的期望与方差
若，则
3 正态曲线的性质
① 曲线在轴的上方，与轴不相交；
② 曲线关于直线对称；
③ 曲线在时达到峰值；
④ 曲线与轴之间的面积为；
⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近；
⑥ 曲线的形状由确定，
越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
【题型汇编】
题型一：条件概率与全概率公式
题型二：离散型随机变量
题型三：二项分布与超几何分布
题型四：正态分布
【题型讲解】
题型一：条件概率与全概率公式
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率 B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率 D．事件A、B同时发生的概率
【答案】A
【分析】理解条件概率和的含义，可得阴影部分面积表示的含义.
【详解】由题意可知：
表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率.
故选：A.
2．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）甲 乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝 农夫山泉 雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用条件概率公式求解即可．
【详解】解：事件“甲选择农夫山泉”，则
事件“甲和乙选择的饮品不同”，
则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”
所以
所以，
故选：D
3．（2022·广东广州·一模）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ）
A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95
【答案】B
【分析】根据甲乙两厂所占比例及对应的合格率，利用全概率公式算即可得解.
【详解】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得，
故选：B
4．（2022·福建泉州·模拟预测）目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.
【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，
则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，
设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，
则，，
则.
故选：D.
二、多选题
5．（2022·吉林·东北师大附中高三开学考试）甲盒中有2个红球和4个白球，乙盒中有3个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出一球放入乙盒，记事件A=“甲盒中取出的是红球”，B=“甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取一个球，记M=“乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先利用条件概率求出， ，即可判断选项C、D；再求出，即可判断A、B.
【详解】由题意分析可知：
，故C正确；
，故D错误；
所以.
故A正确，B错误.
故选：AC
6．（2023·全国·高三专题练习）同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A表示“第一个四面体向下的一面出现偶数”，事件B表示“第二个四面体向下的一面出现奇数”，事件C表示“两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由相互独立事件的乘法公式可判断A、C、D；由条件概率公式可判断B；
【详解】由题意，，，
,故A正确．
所以，，所以，故B正确．
事件A，B，C不可能同时发生，故，故C错误；
，故D错误．
故选：AB．
7．（2023·全国·高三专题练习）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】对A，根据是否互斥判断即可；
对B，举反例判断即可
对CD，根据条件概率的公式判断即可
【详解】对A，当不互斥时，不成立，故A错误；
对B，当为对立事件时，，则不成立，故B错误；
对C，当时，成立，当时，根据条件概率的公式可得成立，故C正确；
对D，根据条件概率的公式，结合C选项可得成立，故D正确；
故选：CD
8．（2023·全国·高三专题练习）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由全概率公式可计算得到D正确；根据贝叶斯公式可知B正确；根据可知C错误；由可知A错误.
【详解】由题意知：，，，，，，
，D正确；
，B正确；
，C错误；
，，
，事件与事件不相互独立，A错误.
故选：BD.
三、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
(1)第一次取到正品的概率；
(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）利用条件概率的概率公式计算可得.
（1）
解：设“第一次取到正品” “第二次取到正品”，
所以，第一次取到正品的概率为；
（2）
解：，
所以，
故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为.
10．（2023·全国·高三专题练习）甲 乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲 乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲 乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲 乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，结合概率的公式求解即可；
（2）设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，根据题意可得所有可能的情况为，再计算即可
（1）
设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，
所以，即，解得.
（2）
由已知得，
，
，
，
设为“6星队'在一次比赛中的总得分为5分"，
则，
则
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是.
题型二：离散型随机变量
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【答案】D
【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.
【详解】易知X的可能取值为0，1，2，，，，
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选：D.
2．（2022·全国·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
3．（2022·全国·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
【答案】D
【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且，逐一判断选项即可.
【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且，．
对于A，因为，满足，所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于B，因为，且满足，所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于C，因为，且满足，所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于D，因为，所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．
故选：D．
4．（2022·江西赣州·高二期末（理））若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得：可得，利用对立事件求解．
【详解】根据题意可得：
故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练习）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.
【详解】由，
解得.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.
【详解】解：由题意得：
．
故选:A
7．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据运算可得，再分析理解得，结合对立事件求概率．
【详解】由题意：
所以，得
所以
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（ ）
X －1 0 1 2
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质求得m的值，由确定变量的取值，结合分布列求得答案.
【详解】由分布列性质可得： ，则 ，
由,
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由已知，选项A，可根据，分别列出时的概率，求和即可得到；选项B，根据，令带入中即可求解；选项C，根据，分别令，带入中即可求解；选项D，令带入中即可求解，即可做出判断.
【详解】选项A，由已知可得，，即，故该选项正确；
选项B，，故该选项正确；
选项C，，故该选项正确；
选项D，，故该选项错误.
故选：ABC.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知8件产品中有1件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．8
【答案】AB
【分析】由题可知取到次品的件数最少为0件，最多为1件，据此即可作答.
【详解】由题可知的可能取值为0，1．
故选：AB.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
ξ 1 2 3
P
A．－ B． C． D．
【答案】BC
【分析】由题可知，即得.
【详解】由题可得，
∴或，经检验适合题意.
故选：BC.
三、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X（单位： t，）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将表示为的函数；
(2)根据直方图估计利润不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量，，则取，且的概率等于需求量落入，的频率），求的分布列．
【答案】(1)
(2)0.7
(3)59400
【分析】（1）由题意先分段写出，当，和，时的利润值，利用分段函数写出即可；
（2）由（1）知，利润不少于57000元，当且仅当，再由直方图知需求量，的频率为0.7，由此估计得出结论；
（3）先求出利润与的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．
（1）
解：由题意得，当，时，，
当，时，，
（2）
解：由（1）知，利润不少于57000元，当且仅当．
由直方图知需求量，的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润不少于57000元的概率的估计值为0.7；
（3）
解：由题意及（1）可得：
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，．
所以的分布列为：
45000 53000 61000 65000
0.1 0.2 0.3 0.4
13．（2023·全国·高三专题练习）某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为，求他初赛结束后所得总分的分布列．
【答案】分布列见解析.
【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.
【详解】设甲同学在处投中的事件为，投不中的事件为，在处投中为事件，投不中为事件，
由已知得，，则，，的可能取值为：，，，.
所以，，
，，
所以的分布列为：
题型三：二项分布与超几何分布
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二项分布的均值和方差公式求解即可得，再求解，根据对立事件的概率和为1求解即可
【详解】因为，故，故，因为，解得.故，故
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出的值，进而可求.
【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：
，解得，则．
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意，，此时Poisson分布满足二项分布的近似条件，再计算二项分布的均值为Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用对立事件的概率和为1计算即可
【详解】由题， ，，此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解.
【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据某项试验的成功率是失败率的3倍，结合，即可求得答案.
【详解】由已知得的所有可能取值为0，1，且，
代入，得，
所以，
故选:D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为( )
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】服从超几何分布，求出的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为，
∴．
方法二：由题可知，服从超几何分布，故．
故选：D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，下列表达式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的性质进行逐一判断即可.
【详解】因为，所以，
因此，，
因此选项B、D不正确，选项C正确，
又因为，所以选项A不正确，
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是（ ）
A．10分钟 B．5分钟 C．4分钟 D．2分钟
【答案】C
【分析】由题可得甲同学一节课在直播屏幕上出现的轮次服从二项分布，甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间，根据二项分布的期望公式及期望的性质可得答案.
【详解】每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为，设他在直播屏幕上出现的轮次为X，
根据题意，，设甲同学在直播屏幕上出现的时间为，
则．
故答案为：C.
9．（2023·全国·高三专题练习）考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由二项分布的期望、方差公式得，进而得；根据条件概率计算公式求解即可得.
【详解】解：问题①，由，解得，
则.
问题②，根据题意，事件B的可能情况有种，
事件发生的可能情况为种，
所以，.
故选：C.
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天诜择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记某同学第天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为.一个月（30天）后，记甲 乙 丙3位同学选择套餐的人数为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】ABC
【分析】对于A选项，由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，则，所以A正确；对于B选项，依题意，利用等比数列的定义即可判断数列是等比数列；对于C，D选项，利用B选项的结论可解得，则当时，，
所以，所以C正确，错误.
【详解】由于每人每次只能选择两种套餐中的一种，所以，故A正确；
依题意，，则.
又时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确
所以，
当时，，
所以，所以C正确，错误.
故选：ABC.
11．（2023·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
12．（2023·全国·高三专题练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.
【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，
故；
从而，故选项A正确；
，，，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：ACD.
三、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
甲 乙
0 6
3 1 0 1 2 3
6 2 7
8 5 5 0 3 2 9
5 3 4 7
8 6 5
6 5
4 0 7 4 8
5 8
4 9 5 7 8
0 10
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
【答案】(1)甲的合格率为，乙的合格率为
(2)分布列见解析，
(3)当时，最大
【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接求解；
（2）设一轮比赛中，甲同学获得的个数为，分别求出和.
判断出的可能取值为0，1，2，分别求出，，写出的分布列；
（3）设10轮比赛中，甲同学获得的个数为，判断出，求出 (且)．利用单调性判断出当时，最大．
（1）
根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为，乙同学合格的概率为.
（2）
设一轮比赛中，甲同学获得的个数为，则的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得的个数为0，1，2，
故的可能取值为0，1，2，
所以
的分布列为
0 1 2
（3）
设10轮比赛中，甲同学获得的个数为，则，
则 (且)．
由于，
因为随着的增大而增大，
所以时，，则有；
时，，则有，
故当时，最大．
14．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：
月份x 1 2 3 4 5
订单y
(1)求y关于x的线性回归方程，并估计该厂6月份的订单金额．
(2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格的产品需要更换，用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：．
参考公式：回归直线的方程是，其中
【答案】(1)，59.9万元
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据已知和参考数据求出即可得出方程，代入可估计该厂6月份的订单金额；
（2）可得X的取值可能为0，1，2，3，4且，求出X取不同值的概率即可得出分布列求出期望.
(1)
由数据可得，
,
所以，
故y关于x的线性回归方程为．
当时，，估计该厂6月份的订单金额为59.9万元．
(2)
依题意，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，4，．
；；
；；
．
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故．
题型四：正态分布
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（ ）
附：随机变量服从正态分布，则
A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】D
【分析】求得该校学生成绩的均值判断选项A；求得该校学生成绩的标准差判断选项BC；求得该校学生成绩及格率的范围判断选项D.
【详解】由正态分布的定义，为期望值，为方差，
选项A：该校学生成绩的均值为70.判断错误；
选项B：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
选项C：该校学生成绩的标准差为.判断错误；
选项D：该校学生成绩及格率，判断正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（ ）
A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为，所以，所以．
故选:C．
3．（2023·全国·高三专题练习）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式，再结合不等式求解作答.
【详解】因，且，则有，即，
不等式为：，则，，
所以，，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及正态分布概率问题，运用正态密度函数曲线的对称性是解题的关键.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，且对任意，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的图像的对称性可得结果.
【详解】因为随机变量，且符合，
所以其图像关于直线对称，即，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（ ）
附：．
A．0.6827 B．0.84135 C．0.97725 D．0.9545
【答案】B
【分析】由正态分布的性质求出，再利用特殊区间的概率及正态分布的性质求解．
【详解】由题意，，，所以，
，所以，
．
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023
【答案】B
【分析】随机变量服从正态分布，依据正态曲线的性质去求即可
【详解】随机变量服从正态分布，
若，则依据正态曲线的性质有
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）贵阳一中有2000人参加2022年第二次贵阳市模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在105分到120分（含105分和120分）之间的人数约为（ ）
A．300 B．400 C．600 D．800
【答案】C
【分析】由题意可知正态分布曲线的对称轴为，即可求得，从而得的值，由此可求答案.
【详解】由题意，随机变量，即，即正态分布曲线的对称轴为，因为，所以，
所以，
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为，
故选:C．
8．（2023·全国·高三专题练习）读取速度是衡量固态硬盘性能的一项重要指标，基于M.2 PCle4.0 NVMe协议的固态硬盘平均读取速度可达以上．某企业生产的该种固态硬盘读取速度（）服从正态分布．若，则可估计该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为（ ）
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】B
【分析】利用正态分布的对称性进行求解，得到，从而求出生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数.
【详解】由正态分布的对称性可知：，
所以，
所以该企业生产的1000个该种固态硬盘中读取速度低于的个数为.
故选：B
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（ ）
A．该地杂交水稻的平均株高为100cm
B．该地杂交水稻株高的方差为10
C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多
D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大
【答案】AC
【分析】由正态分布密度函数可知，，则可判断出AB选项，再由正态曲线的特征即可判断出CD选项.
【详解】因为正态分布密度函数为，
所以，，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；
根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，
随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大.故D错误．
故选：AC.
10．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据的平均数为4，则a的值为1
B．若随机变量，且，则
C．某人每次射击击中靶心的概率为，现射击10次，设击中次数为随机变量Y，则
D．“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”是一句流行的俗话，假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为0.5，现让三个“臭皮匠”分别独立解决此问题．则至少有一个人解决该问题的概率为0.875．
【答案】BCD
【分析】由平均数的定义可判断A，由正态分布可判断B，由二项分布可判断C，由对立事件与相互独立事件可判断D
【详解】对于A：根据平均数的定义，得，解得，故A错误；
对于B：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，
又，所以，
所以，故B正确；
对于C：该事件服从二项分布，即，
则，，则，故C正确；
对于D：“至少有一个人解决该问题”的对立事件为“三人都未解决该问题”，
故所求概率为，故正确；
故选：BCD
三、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：
得分
频数 25 150 200 250 225 100 50
(1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）
(2)在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）
参考数据：；；，.
【答案】(1)，
(2)（元）
【分析】（1）利用平均数和标准差公式直接计算即可.
（2）先计算胡老师抽奖次数的期望，然后计算一次抽奖获得红包金额的期望，从而得到在此次活动中所获得红包的数学期望.
（1），，所以.
（2）设随机变量N表示胡老师的抽奖次数，则N的可能取值为1，2.，，其分布列为
N 1 2
P 0.8413 0.1587
所以.设随机变量T为胡老师一次抽奖获得的红包金额，则T的可能取值为10，20，由题意知，，所以随机变量T的分布列为
T 10 20
P
.所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为（元）.
12．（2023·全国·高三专题练习）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
人数 5 15 35 30 10 5
(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）
【答案】(1)
(2)1587人
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格，求出样本中笔试成绩不低于80分的考生人数和其中成绩优秀的人数，根据古典概型概率计算即可；
（2）根据表中数据求出平均数，根据正太分布曲线的对称性和即可求，从而估计成绩不低于82.4的人数；
（3）根据题意可知Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法即可求出分布列，根据数学期望公式即可求出数学期望.
（1）
由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
（2）
由表格中的数据可知，，
又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.
（3）
考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则， ， ，
， ， ，
故Y的分布列为：
Y 0 3 4 6 7 10
P
∴．
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