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《二次函数与一元二次方程、不等式的关系》能力探究
分析计算能力解一元二次不等式的方法
方法1:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.
方法2:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,易得不等式的解集.
方法3:若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法,并可用程序框图表示其求解过程.
典例1[数学运算](1)不等式的解集为( )
A.
B.,或
C.
D.
(2)不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
(3)函数的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
(4)若,则不等式的解集为__________.
点拨:通过分析不等式对应的方程,选择合理的解决方法进行计算是解题关键.
解析:
(1)不等式变形为,即,得.
(2)因为,则方程有两个相等的实数根,所以原不等式的解集为.
(3)解不等式组得或.
(4)方程的两根为.又,∴不等式的解集为.
答案(1)D(2)D(3)C(4)
简单问题解决能力一元二次不等式在上恒成立问题的方法
已知某个一元二次不等式恒成立,求式子中某些参数的范围是常考的题型之一,主要有以下方法:
(1)利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在上的恒成立问题.
当未说明不等式为一元二次不等式时,有:
不等式对任意实数恒成立或
②不等式对任意实数恒成立
(2)分离自变量和参变量,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题.
通过等价变换,将参变量从整体中分离出来,转化为
①若在定义城内存在最大值,则(或恒成立(或).
若在定义域内存在最小值,则(或恒成立(或.
典例2.[数学运算](1)(2019-黄冈中学月考)在上定义运算,若不等式对任意实数恒成立,则( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知关于的不等式对一切实数恒成立,则实数的取值范围为______________.
点拨:解决有关恒成立的一元二次不等式的问题时,对于,常利用一元二次函数图象、一元二次方程根的判别式求解.
解析:
(1)根据题意,不等式可变形为a).要使恒成立,则,即.
(2)讨论不等式二次项系数,结合判别式即可解答.具体解题过程如下:
①当,即或时,显然符合条件,不符合条件.②当时,由二次函数对一切实数恒为正数,得
解得.结合①②得实数的取值范围是.
答案(2)
综合问题解决能力一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
两根与的大小比较
2.根在区间上的分布
典例3-1[数学运算](2019-湖北武汉外校月考)关于的一元二次方程在区间上有实数解,求实数的取值范围.
点拨:本题为一元二次不等式的含参问题,求解此题,根据一元二次方程根的分布情况推出大致图象,借助根与系数的关系即可解答.
解析:
设,若在区间上有一个实数解,∵或解得.若在区间上有两个实数解,
综上,可知的取值范围是.
典例3-2[逻辑推理]已知方程有两实根.
(1)如果两实根都大于1,求实数的取值范围;
(2)如果两实根都在区间内,求实数的取值范围;
(3)如果一个根大于2,另一个根小于2,求实数的取值范围.
点拨:本题结合一元二次方程根的分布情况画出图象.利用数形结合思想解答问题.
解析:
(1)设函数,作其草图,如右图,若两实根均大于1,
需即解得.
(2)若两根,则所以.
(3)若一根大于2,另一根小于2,则,即0,解得.
分析计算能力三个“二次”之间的关系的应用
在解决具体的数学问题时,要注意一元二次不等式及相应的函数与方程三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转化.
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰是相应一元二次方程的根,要注意解集与二次项数的联系.
(2)若已知一元二次方程的根,可以写出相应不等式的解集,反之,已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根,进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系.
(3)二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间有紧密的关联.一元二次不等式的解集就是二次函数的图象中在轴上方的点的横坐标的集合,一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与轴交点的横坐标.
典例4.[数学运算](2019-陕西西安一中月考)若不等式的解集是,求不等式的解集.
点拨:分析题意可发现要求不等式的解集,先计算与其相应的一元二次方程的根,注意确定根与系数之间的关系.
解析:
由的解集为,知.又,知.又为方程0的两个根,∴.又,
∴不等式变为,即.
又∵,所求不等式的解集为.
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