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2023新高考数学文化: 函数类型总结
例1 （陕西高考）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y,有( )
(A)[-x]=-[x] (B)[2x]=2[x]
(C)[x+y]≤[x]+[y] (D)[x-y]≤[x]-[y]
由[x]的定义我们可将x转化成不大于x的最大整数[x]和小数部分{x}=x-[x]进行求解.
解法1： 选项错误.
选项错误.
(C)[x+y]=[[x]+[y]+{x}+{y}]=[x]+[y]+[{x}+{y}]≥[x]+[y](因为0≤{x}+{y}<2 0≤[{x}+{y}]≤1),选项错误.
(D)[x-y]=[[x]-[y]+{x}-{y}]=[x]-[y]+[{x}-{y}]≤[x]-[y](因为-1<{x}-{y}<1 -1≤[{x}-{y}]≤0),选项正确.
解法2：令x=1.6,则[-1.6]=-2,-[1.6]=-1,[3.2]=3,2[1.6]=2,排除A,B.
令x=y=1.6,则[3.2]=3,[1.6]+[1.6]=2,3>2,排除C.
故答案选D.
此题是由高斯函数的定义出发考查其一些性质，作为信息题放在高考中是一种新颖的考查方式，常需要学生在解题中结合分类讨论、转化、化归等数学思想，同时考查了学生的临场应变能力、创新能力.
高斯发现并定义了取整函数，即设x∈R，用[x]表示不大于x的最大整数，则函数f(x)=[x]称为高斯函数，又称为取整函数.高斯函数是非常重要的数学概念.它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用.
1.定义
对任意实数x，[x]是不大于x的最大整数，称[x]为x的整数部分.与它相对应的是小数部分函数f(x)={x},{x}=x-[x].显然,函数f(x)=[x]的定义域是R,值域是Z,函数f(x)={x},{x}=x-[x]的定义域是R,值域是[0,1),即[x]≤x<[x]+1.
2.图象
f(x)=[x]是不减函数,即若 x ≤x ,则[x ]≤[x ],其图象如图1-1所示.f(x)={x},{x}=x-[x], 是以1为周期的周期函数，如图1-2所示.
3.由[x]，{x}的定义不难得到如下性质：
(1)函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数，即当x ≤x 时，有[x ]≤[x ].
(2)对任意实数x,都有x=[x]+{x},且0≤{x}<1.
(3)任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x=[x]+a(0≤a<1)，因此，对任意实数x，都有[[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x.
(4)[x+n]=n+[x],{x+n}={x},其中x∈R,n∈N*.
证明思路：
(7)[xy]≥[x]·[y],其中x,y∈R .一般有 其中Ⅱ表示连乘.
上述例1中由高斯函数的性质(6)，排除A；由性质(7)，排除B；由性质(5)，排除C.故选D.由此可见，如果我们熟悉高斯函数的性质，本题求解将轻松自如，实为“秒杀”.
增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则( )
(A) sgn[g(x)]=sgnx
(B) sgn[g(x)]=-sgnx
(C) sgn[g(x)]=sgn[f(x)]
(D) sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]
分析：“”由于本题是选择题，在已知f(x)是R上的增函数的条件下，可以通过构造函数的方法得出结论，排除不正确的选项.
解法1：因为f(x)是R上的增函数,令f(x)=x,所以g(x)=(1-a)x,因为
a>1，所以g(x)是R上的减函数，由符号函数 知,
故答案选B.
解法2：f(x)是增函数,a>1,x>0 ax>x,f(ax)>f(x) g(x)<0 sgn[g(x)]=-1;
f(x)是增函数,a>1,x=0 ax=x,f(ax)=f(x) g(x)=0 sgn[g(x)]=0;f(x)是增函数,a>1,x<0 ax 综上可知，sgn[g(x)]=-sgn x.故答案选B.
高考试卷中出现的抽象符号函数问题，多数为较难题.其原因在于抽象符号函数不给出具体的函数解析式，是对函数的概念、性质、图象特征的深化，研究的是函数的一般性规律.解决抽象符号函数问题常用到特殊化的思想方法.一般可将所给函数方程中的x换为与所求有关的特殊值，或者将函数化为特殊函数再结合所给条件来解决.
符号函数(Sign function,简称sgn)是微积分数学中的一个函数，用以判断实数的正、负号.其定义为
其图象如图1-3所示.
任何实数都可以表示为其绝对值和符号函数的积.
在函数的教学过程中，符号函数通常作为特例被引用，借以说明函数的多样性.那么它有什么作用呢 这个问题当然不可能由中学数学来回答，但我们也发现，用它来描述函数的单调性和绝对值等概念，对记忆、掌握、运用这些数学知识等都是大有助益的.
1.用符号函数表示函数的单调性
我们把‘“x 时, f(x ) 语改述一下,就是“(x -x )[f(x )-f(x )]符号相同”,即用符号函数表示为“sgn[f(x )-f(x )]:sgn(x -x )”. 同样也可改述“：x 时,f(x )>f(x )”.这样,我们把函数.调性的定义，用符号函数表示如下：
对于给定区间D上的函数f(x),任取x ,x ∈D,x ≠x .
若 sgn[f(x )-f(x )]=sgn(x -x ), 则f(x)是区间D上的增函数；若 sgn[f(x )-f(x )]=-sgn(x -x ), 则f(x)是区间D上的减函数.根据上述定义，幂函数、指数函数、对数函数的单调性可以分别表示为
(1)幂函数 y=x ,x∈R ,
(2)指数函数 y=a (a>0,a≠1),
(3)对数函数
这种表示的意义主要有
①通过一个等式把几种情况统一起来，使这种函数的单调性与参变量的依赖关系更明确.
比如幂函数,当a>0时,sgnα=1;当a<0时,sgnα=-1,分别为增函数、减函数两种情形，这就加深了记忆，当用于比较两个值大小时，思维的检索较之常规表述显然更简捷些.
②通过等式之间的转化，使这种函数单调性与其他性质之间的联系更清楚.
比如在对数函数中，令 x =x,x =1, 则
这就是对数函数的性质3，常规表述中可分四种情况，很容易混淆.这个式子直观地告诉我们，当a-1，x-1同号时，当a-1,x-1异号时,
关于指数函数，也有类似的结果.
③通过等式中变量的代换，可以揭示互为反函数的函数之间的关系.
比如，在指数函数的等式中，分别以 替代x ,x ,从而 变为x ，x ，即可得到关于对数函数的等式.
一般地，严格单调函数f(x)的反函数 f (x)也是严格单调函数.
不妨设f(x)为增函数，即 sgn[f(x )-f(x )]=sgn(x -x ),令t =f(x ),t =f(x ),
则 x =f (t ),x =f (t ), 代入上式得
sgn(t -t )=sgn[f (t )-f (t )].
这就证明了我们的命题.
2.用符号函数刻画绝对值
与函数y=sgnx紧密相联的函数是y=|x|.它们在几何上有如下联系，对于x≠0,y=sgnx的值等于y=|x|的图象的斜率的值;对于x=0,y=|x|的图象的斜率没有定义，我们可以规定y=|x|的图象在点(0，0)处的右斜率是1，左斜率是-1，这样，y=sgnx的值等于y=|x|的图象的右斜率与左斜率的平均数.除了这种几何联系外，还有一种对我们很有启发的联系，即对于任何实数x,有
xsgnx=|x|.
这个等式给出了绝对值|x|的一个刻画，它们之间有如下性质：
(1)若|a|>|b|,则sgn(a±b)=sgn a(加减运算的符号法则);
(2)对任意的实数a,b,|a|=asgna≥asgnb(绝对值的非负性).
性质(1)还可以进一步讨论，从中挖掘出符号法则的意义来解题.性质(2)也很有用,比如将|a|≥asgn(a±b),|b|≥bsgn(a±b)两式相加,即得
|a|+|b|≥(a+b) sgn(a±b),
于是,|a|+|b|≥(a+b) sgn(a±b)=|a+b|,
这就是著名的三角形不等式.
符号函数的应用远不止这些，在高等数学中就有借助符号函数构成函数或数列来证明一些重要定理的例子.
例3 (陕西高考)已知函数
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a 的值和该切线方程；
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式；
(3)对(2)中的f(a)和任意的a>0,b>0,证明：
先分别求出函数y=f(x)与y=g(x)的导函数，然后根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，建立方程组，解之即可求出a和切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程并化简，然后依据函数的性质和均值不等式的有关知识进一步证明.
解
由已知得 解得
∴两条曲线交点的坐标为(e ，e)，切线的斜率为
∴切线的方程为 即x-2ey+e =0.
(2)当a≤0时,h'(x)恒正,从而h(x)无最小值;
当a>0时，求导判断函数的单调性后，可得h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a(1-ln2a)(a>0).
(3)证法一:由(2)知φ(a)=2a(1-ln2a)(a>0),φ'(a)=-2ln2a, 对任意的
由此可得出，
证法二:考虑函数f'(a)=-2ln2a是下凸的,所以对于任意的a>0,b>0,
有
主要考查函数、函数的导数、导数的几何意义和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.上面第(3)问给出的证法一、证法二分别是初等证法和高等证法，显然高等证法更为简便，只需判断函数的凹凸性就可得出结论，而初等证法需要综合应用函数的相关性质、平均值及不等式的有关知识才能证明.函数的凹凸性属于大学期间的学习内容，在高中数学教材中，函数的凹凸性没有给出具体的定义和性质，但是它的身影频频出现在高中数学中.函数凹凸性的理论和思想在课本、高考和数学竞赛中都有体现，对学生思维的抽象性、逻辑性，自我学习和探究能力提出了更高的要求.
1.定义：设f(x)为区间D上的连续函数(图象不间断)，对于任意实数x ，x ,x ∈D,且x
若 则称f(x)在区间D上是严格上凸的；
若 则称f(x)在区间D上是严格下凸的.
2.性质1 设函数f(x)为区间I上的可导函数，则下列论断互相等价：
(1)f(x)为区间I上的下凸函数;
(2)f'(x)为区间I上的增函数;
(3)对于区间I上的两点x ,x ,有 f(x2)≥f(x )+f'(x1)(x2-x1).
注意：(3)的几何意义是曲线y=f(x)总是在它的任一切线的上方，这是可导下凸函数的几何特征.
对于上凸函数，同样有类似的结论.
性质2设函数f(x)为区间I上的二阶可导函数，则在区间I上f(x)为下凸(上凸)函数的充要条件是 f"(x)≥0[f"(x)≤0],x∈I.
性质3 对于函数f(x)有这样的性质：
函数f(x)与函数 f (x),-f(x) 的凹凸性相反；
(2)若g(x)是线性函数,则函数f(x)+g(x)与f(x)的凹凸性相同.下面这一道题就体现了函数的凹凸性.
证明:(1)若f(x)=ax+b,则
(2)若 g(x)=x +ax+b, 则
第(1)问是一次函数，显然等式成立.对于第(2)问，我们可用作差法比较：
故
第(2)问中的二次函数 g(x)=x +ax+b 的图象是一个开口向上的抛物线，在定义域上是下凸函数，所以
由此我们可以得出结论：一般地，对于二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0),
(1)当a<0时, 函数f(x)是上凸函数；
(2)当a>0时, 函数f(x)是下凸函数.
例4 (全国卷理)已知f(x)满足
(1)求函数f(x)的表达式及单调区间；
(2)若 求(a+1)b的最大值.
分析：通过解答(1)，不难得到 然后我们只需根据ex≥(a+1)x+b 利用极限求代数式(a+1)b的最大值.
解(1)由已知得 f'(x)=f'(1)e -f(0)+x.
所以 f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.
又 f(0)=f'(1)e , 所以f'(1)=e.
从而由于 f'(x)=e -1+x,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
从而,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)令 g(x)=e ,h(x)=(a+1)x+b,则有g(x)≥h(x)恒成立,它表示曲线g(x)=e 始终在直线h(x)=(a+1)x+b的上方.
情形1:若a+1=0,则b≤0,此时(a+1)b=0;
情形2:若a+1≠0,则必有a+1>0,如图1-4所示.
由此我们知道,曲线g(x)=e 上一定存在一个点P(x，y)，使过此点的切线PT与已知直线h(x)=(a+1)x+b平行.
显然，此切线就是满足条件g(x)≥h(x)的最“高”直线，即满足条件的直线所能达到的极限位置.而由此确定的直线中的某条直线，可能是能使(a+1)b获得最大值的直线.下面我们给出具体的验证：
因为 g'(x)=e , 所以由 e =a+1, 得x=ln(a+1),从而得到切线的方程为y=(a+1)x+(a+1)[1-ln(a+1)].
由此得到b=(a+1)[1-ln(a+1)],
从而有(a+1)b=(a+1) [1-ln(a+1)].
令a+1=t,则(a+1)b=k(t)=t (1-ln t).
由于 k'(t)=t(1-2lnt),令k'(t)=0,则
易知k(t)在 上为增函数，在 上为减函数.
即(a+1)b=k(t)=t (1-ln t) 的最大值为
由此例可以看出利用极限思想可以帮助我们更好、更直观地解决问题，极限在问题中常规的表现形态经常是图形极端位置和相应的极端值.用极限的方法解决问题，就是从最特殊的位置、最特殊的点或者最特殊的值开始，探寻问题解决的一般方法和策略.
那么在高考中，如何用极限的方法和策略巧解不是极限问题的数学问题呢
我们可以用极限的眼光，确定函数的图象；我们也可以用极限的手段，探求参数的值及函数的最值.
例如：函数 的图象大致为( )
四个选项所提供的信息是此函数的图象是对称图形.因此可由函数的奇偶性先进行判断，因为此函数是奇函数，故排除A，然后我们只需考虑函数在(0，+∞)上的图象即可.考虑函数在区间两个端点的极限， 故可确定答案为选项C.
又如：已知函数f(x)=x -3x+c 的图象与x轴恰好有两个交点，则实数c= .
由于 f(x)=x -3x+c 的图象与x轴恰好有两个交点，即曲线y=x 与直线y=3x-c恰好有两个交点.通过上下平移直线y=3x不难发现，当直线y=3x-c与曲线 y=x 相切时，它们才可能恰好有两个不同的交点.满足条件的直线实际上就是极端位置上的直线，它是与曲线相交的最后的直线——极限直线.
例5 (江苏理高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路且过山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l ，l ，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图1-5所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l ，l 的距离分别为5千米和40千米，点N到l ，l 的距离分别为20千米和2.5千米，以l ，l 所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系Oxy，假设曲线C符合函数 (其中a，b为常数)模型.
(1)求a,b的值.
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域.
②当t为何值时，公路l的长度最短 求出最短长度.
由题目已知条件可知点M，N的坐标，即可用待定系数法建立方程求出a，b的值，其后可利用导数的几何意义及其性质进一步求解.
解(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).
将其分别代入
(2)①由(1)知, 则点P的坐标为
设在点P处的切线l分别交x轴，y轴于A，B两点，
则l的方程为 由此得
故
②设 则
令g'(t)=0,解得
当 时, g'(t)<0,g(t)是减函数;
当 时, g'(t)>0,g(t); 是增函数.
从而，当 时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以 最小此时
故当时，公路l的长度最短，最短长度为 千米.
例6(湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图1-6中△ABC是格点三角形，对应的S=1,N=0,L=4.
(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是 ;
(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).
解(1)观察图形,可得S=3,N=1,L=6.
(2)不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6.因为格点多边形的面积S=aN+bL+c,
所以，结合图1-6中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，可得
解得
所以
将N=71,L=18代入可得S=79.
故答案为(1)3,1,6;(2)79.
一张方格纸，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓的格点.如果取一个格点作为原点O，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别作为横坐标轴Ox和纵坐标轴Oy，并取原来方格边长作为单位长，建立一个坐标系.这时前面所说的格点，显然就是横纵两坐标都是整数的那些点.由于这个缘故，我们又叫格点为整点.
给定顶点均是整点(或正方形格点)的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目N、边上格点数目L的关系
皮克定理有一些非常巧妙有趣的应用：
1.考虑直线x+y=n,其中n是一个质数.这条直线将恰好通过第一象限里的(n-1)个格点(如图1-8，图中所示的是n=11的情况).将这(n-1)个点分别和原点相连，于是得到了(n-2)个灰色的三角形.仔细数数每个三角形内部的格点数，你会发现一个惊人的事实：每个三角形内部所含的格点数都是一样多的.这是为什么呢
在这个问题里，所有三角形都是等底等高的，因此它们的面积都相等.另外，注意到x与y的和是一个质数，这表明x和y是互质的，也就是说(x，y)和原点的连线不会经过其他格点.既然所有三角形的面积都相等，边界上的格点数也相等，由皮克定理，我们就能直接得出每个三角形内部的格点数也相等了.
一个n×n的正方形最多可以覆盖多少个格点 把这个正方形中规中矩地放在直角坐标系上，显然能够覆盖((n+1) 个格点.貌似这已经是最多的了，不过如何证明呢
利用皮克定理，我们能够很快说明它的最优性.注意到任意两个格点间最近也有一个单位的间距，再考虑到正方形的周长为4n，因此该正方形的边界上最多有4n个格点.把正方形边界上的格点数记作B，内部所含格点数记为I，于是它所能覆盖的总格点数等于I+B，由于 1=(n+1) ,结论得证
4.利用皮克定理证明Farey序列的性质显得更为神奇.
Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n的分数从小到大排列起来所形成的数列，我们把它记作F-n.例如，F-5就是
Farey序列有一个神奇的性质：前一项的分母乘后一项的分子，一定比前一项的分子与后一项分母之积大1.用皮克定理来证明这个结论异常简单.把分母不超过n的每一个0和1之间的分数都标在平面直角坐标系上，例如， 就对应点(1,0), 就对应点(5,1).
如图1-9，考虑一条从原点出发的射线由x轴正方向逆时针慢慢转动到y
轴正方向，这条射线依次扫过的标记点恰好就是一个Farey序列(因为Farey
序列相当于是给每个标记点的斜率排序).考虑这条射线扫过的两个相邻的标
记点，它们与原点所组成的三角形面积一定为 由于分数都是最简分数，因此
它们与原点的连线上没有格点.又因为这是射线扫过的两个相邻的标记点，因
此三角形内部没有任何格点，另外注意到，由于三角形面积等于叉积的一半，因
此两个点(m，n)和(p，q)与原点组成的三角形面积应该 于是，
数学文化题函数高考练习
1.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
2.x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)=x-[x]在R上为( )
(A)奇函数 (B)偶函数 (C)增函数 (D)周期函数
3.记[x]为不超过实数x的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1.设a为正整数,数列 {n}满足 现有下列命题：
(1)当a=5时,数列{xn}的前3项依次为5,3,2;
(2)对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk;
(3)当n≥1时,
(4)对某个正整数k，若xk+1≥xk ,则
其中的真命题有 __________________ .(写出所有真命题的编号)
4.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则 当z=81时,x= ,y= .
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
(A)1.5 (B)1.2
(C)0.8 (D)0.6
7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 其中星等为mH的星的亮度为 已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
(B)10.1
(C)lg10.1 (D)10-10.1
8.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式.
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大 请求出最大值.(精确到1辆/时)
9.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图1-10所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h (单位：米)与D 到OO′的距离a(单位：米)之间满足关系式 右侧曲线BO上任一点F 到MN的距离h (单位：米)与F到OO'的距离b(单位：米)之间满足关系式
已知点B到OO′的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位：万元)，桥墩CD每米造价 (单位:万元)(k>0).O′E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低
10.“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 小明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1-11)进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,运用这个公式求得图1-12中多边形的面积是 .

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