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三角形综合最值问题
知识与方法
高中数学中的求最值基本思路不外乎两个：
1.变量函数思想：选取合适的变量表示求最值的目标，用函数的观，点来研究最值，
2.不等式求最值：将求最值的目标用一个或两个变量表示出来，利用均值不等式（或其它不等式）求最值.需要注意的是，用不等式求最值，一定要验证等号能取到.
典型例题
1.（★★★）
若的内角满足，则的最小值是 .
【解析】，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，此时，故的最小值是.
【答案】
【反思】①等式中每一项都有内角正弦值，可以利用正弦定理角化边；②中有3个变量，我们利用代入消元变成2个变量，通过基本不等式求最值.
2.（★★★）
在中，内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）设为的面积，求的最大值，并指出此时的值.
【解析】（1）因为，所以，
从而，又，所以.
（2）由（1）知，又，所以由正弦定理，，
所以，
从而
（1），
因为，所以，且，
代入式（1）得
故当时，取得最大值3.
强化训练
1.（★★★）
在中，的平分线交边于点，则而积的最小值是 .
【解析】解法1：如图1，记，
则，
所以，而，所以，故，从而，
当且仅当时等号成立，所以面积的最小值是2.
解法2：如图2，以为原点建立平面直角坐标系，则，
设直线的方程为，
联立解得：，所以，
联立，解得：，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以面积的最小值是2.
【答案】2
2.（★★★★）
锐角中，内角的对边分别为，则的面积的取值范围为 .
【解析】解法1：
，
由正弦定理，，所以，
因为是锐角三角形，，所以，故，且，
从而，所以，
，
所以.
解法2：，
是锐角三角形将和代入解得：，
而，所以的面积的取值范围为.
解法3：，
如图，，当点在线段上（不含端点）运动时，
可以满足是锐角三角形，
所以，从而的面积的取值范围为.
【答案】
3.（★★★★）
在中，为中点，且，则面积的最大值为 .
【解析】①，
又，
代入①化简得：，
因为，所以，故，
从而，结合可得，
如图，因为为中点，所以，故，
而就是一个已知一角及其对边的模型，容易求面积的最大值，
在中，
，
所以，故
，
当且仅当时等号成立，从而面积的最大值为.
【答案】
【反思】已知一角及对边的三角形最值模型非常经典，本题整体上虽然不满足这一模型的特征，但可以化归成局部的已知一角及其对边模型.
4.（★★★）
四边形中，，，则四边形的面积的最大值为 .
【解析】如图，设，四边形的面积为，
由题意，，所以，
另一方面，，
所以17-8，故，所以，而，所以，故，所以当时，取得最大值，即的最大值为.
【答案】
【反思】若四边形给定了四边的长，则当其对角互补（四个顶点共圆）时，四边形的面积最大.以后遇到这类题，可以运用这一结论，直接根据求得，进而求出和的面积.
5.（★★★★）
如下图所示，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，所得梯形的最大面积为 .
【解析】解法1：如图1，设圆心为，作于点于点，设，
则，故，
梯形的面积，
令，则，，所以在上↗，在上↘，
从而，故梯形的最大面积为.
解法2：如图2，设圆心为，则，
，
所以梯形的面积，令，
则，
，从而在上↗，在上↘，
所以，故梯形的最大面积为.
解法3：如图3，设，由题意，，故，作于，
所以，
，所以，
故梯形的面积，
令，
则，
，从而在上↗，在上↘，
所以，故梯形的最大面积为.
【答案】
6.（★★★★）
某小区拟将如下图所示的一直角三角形区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形，在其内建造文化景观.已知，则面积（单位：）的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】由题意，，设，则，
，
在中，由正弦定理，，即，
解得：，
所以，
其中，当时，取最小值，而区域面积，
所以的最小值为.
【答案】D
7.（★★★★）
如下图所示，在中，，分别在边上，且.则面积的最大值为 .
【解析】由题意，，设，设，则，
在中，，由正弦定理，，
所以，
在中，，
由正弦定理，，所以，
所以
，由图可知，
所以，
所以，当且仅当时取等号，从而面积的最大值为.
【答案】
8.（★★★）
在中，若，则的最大值为 .
【解析】解法1：因为，
又，
所以，从而，
故，
显然，又，所以，即为钝角，故为锐角，
从而，所以，
当且仅当时等号成立，此时，从而的最大值为.
解法2：，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值为，故的最大值为，
从而的最大值为.
【答案】
9.（★★★★）
已知的外心为，若，则的最小值.是 .
【解析】如图，取的中点，则，
，
，
同理可得，，
，
因为，
所以，整理得：，
所以，
当且仅当，即时取等号，
代入可得，所以的最小值为.
【答案】
【反思】与三角形外心有关的向量的数量积，通常取弦中点，用投影来算.
10.（★★★★）
在中，的面积为，则的最大值是 .
【解析】由题意，，
两式相除化简得：，结合可得，故，从而，
所以，，
令，则，且，
令，则，且，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值是.
【答案】3-2
【反思】.
11.（★★★★）
在中，若，则的最小值为 .
【解析】解法1：，因为，
所以，
从而，整理得：，
记，则，而
，
因为，所以，当且仅当时取等号，从而的最小值为.
解法2：，
而，
由积化和差公式，，
所以，从而，故，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
解法3：，
当时取等号，所以的最小值为.
【答案】
【反思】积化和差公式不要求记忆，但其推导思想是需要了解的，若遇到这些结构，且常规方法不易继续推进化简过程时，可以考虑用积化和差公式来化简.
12.（★★★★）
在中，内角所对的边分别为，则面积的最大值为 .
【解析】解法1：
又，所以，从而，
又，所以，故，由余弦定理，，所以，
故，即，整理得：，
因为，所以，从而，
所以，当且仅当时取等号，故面积的最大值为.
解法2：，
，
又，所以，从而，
又，所以，故，以中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则点的轨迹是以为焦点的椭圆（不含长轴端点），
易求得椭圆的方程为，当点位于椭圆的短轴端点时，边上的高最大，
的面积也最大，从而.
【答案】
13.（★★★★）
四边形中，，，则四边形面积的最大值为 .
【解析】如图，设，
在中，，
因为，所以为正三角形，
从而，而，
所以四边形的面积，故当时，四边形的面积取得最大值.
【答案】
14.（★★★★）
在中，是角的对边，点在上，且.
（1）若，求；
（2）求的最大值.
【解析】解法1：（1）如图1，设，因为，所以，
又，所以，
在中，；在中，，
所以，由题意，，所以，从而，又，
所以，因为，所以，从而.
（2）如图1，设，即，则，因为，所以，
在中，由余弦定理，，
所以，
设，则，设，则，
且，，当且仅当时取等号，
此时，所以的最小值为，又，故的最大值为.
解法2：（1）如图1，由可得，又，所以，因为，所以，又，所以.
（2）由（1）可得，所以，故，
化简得：，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时，所以的最小值为，又，
故的最大值为.
解法3：（1）以为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，设，则，
因为，所以，故可设，
又，所以直线和的斜率之积，从而，
所以，即，因为，所以，从而，即.
（2）因为，所以点在以为直径的圆上运动（不与重合，图中只画了上半圆），当取得最大值时，显然与圆相切，如图2，设中点为，则，
当与圆相切时，，所以，从而，故的最大值为，即的最大值为.解三角形综合最值问题
知识与方法
高中数学中的求最值基本思路不外乎两个：
1.变量函数思想：选取合适的变量表示求最值的目标，用函数的观，点来研究最值，
2.不等式求最值：将求最值的目标用一个或两个变量表示出来，利用均值不等式（或其它不等式）求最值.需要注意的是，用不等式求最值，一定要验证等号能取到.
典型例题
1.（★★★）
若的内角满足，则的最小值是 .
2.（★★★）
在中，内角的对边分别是，且.
（1）求；
（2）设为的面积，求的最大值，并指出此时的值.
强化训练
1.（★★★）
在中，的平分线交边于点，则而积的最小值是 .
2.（★★★★）
锐角中，内角的对边分别为，则的面积的取值范围为 .
3.（★★★★）
在中，为中点，且，则面积的最大值为 .
4.（★★★）
四边形中，，，则四边形的面积的最大值为 .
5.（★★★★）
如下图所示，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，所得梯形的最大面积为 .
6.（★★★★）
某小区拟将如下图所示的一直角三角形区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形，在其内建造文化景观.已知，则面积（单位：）的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
7.（★★★★）
如下图所示，在中，，分别在边上，且.则面积的最大值为 .
8.（★★★）
在中，若，则的最大值为 .
9.（★★★★）
已知的外心为，若，则的最小值.是 .
10.（★★★★）
在中，的面积为，则的最大值是 .
11.（★★★★）
在中，若，则的最小值为 .
12.（★★★★）
在中，内角所对的边分别为，则面积的最大值为 .
13.（★★★★）
四边形中，，，则四边形面积的最大值为 .
14.（★★★★）
在中，是角的对边，点在上，且.
（1）若，求；
（2）求的最大值.

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