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幂函数图象与性质与指对幂比大小
幂函数图象与性质
知识与方法
1.幂函数定义：，其中a为常数.
2.幂函数性质：
（1）单调性：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.
（2）定点：过点.
（3）第一象限的图象趋势：时，增长趋于平缓；时，增长趋于陡峭.
（4）图象：第四象限没有图象.
（5）五个幂函数的图象必须熟悉：，，，，.
1.（★）
函数的图象是（ ）
2.（2021·新高考Ⅱ卷·14·★★★）
写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______.
①；②当时，；③是奇函数.
3.（★★）
图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取，四个值，则相应于曲线，，，的n依次为（ ）
A.，，，2
B.2，，，
C.，，2，
D.2，，，
指对幂比大小
知识与方法
1.核心中间量：指对混合比大小，一般先判断每个数跟0和1的大小关系.
2.其他中间量：，，，，2是除了0和l之外的常见中间量.
3.整数两边夹：找出题目给的数落在哪个整数区间，例如，给一个数，易知，所以.
4.图象法：画出函数图象，数形结合分析更直观.
5.作差法：例如，，.
6.作商法：例如，，.
7.函数法：构造函数，利用单调性比大小.
解题时，先大致估算范围，若在同一个范围内，再利用其他方法解决.
题组一
1.（2020·天津·6·★★）
设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
2.（★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
3.（★★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.（★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.（★★）
已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6.（★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.（2020·新课表IIII卷·文·10·★★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
题组二
8.（★★）
已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
9.（★）
设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
10.（★）
已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
11.（★★★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
12.（016·新课标I卷·文·8·★★）
若，，则（ ）
A. B. C. D.
13.（★★★）
若，，则（ ）
A. B. C. D.
14.（★★）
设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
15.（★★★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
题组三
16.（★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
17.（★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
题组四
18.（★★★）
设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A.
B.
C.
D.
19.（★★★）
定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
20.（★★★）
已知奇函数在R上的增函数，，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.幂函数图象与性质与指对幂比大小
幂函数图象与性质
知识与方法
1.幂函数定义：，其中a为常数.
2.幂函数性质：
（1）单调性：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.
（2）定点：过点.
（3）第一象限的图象趋势：时，增长趋于平缓；时，增长趋于陡峭.
（4）图象：第四象限没有图象.
（5）五个幂函数的图象必须熟悉：，，，，.
1.（★）
函数的图象是（ ）
【解析】为幂函数必过点，排除A，D；在第一象限的图象是增长趋于平缓的情形，故选B.
【答案】B
2.（2021·新高考Ⅱ卷·14·★★★）
写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______.
①；②当时，；③是奇函数.
【解析】是幂函数的性质，故可取，结合②③知可取a为正偶数，如.
【答案】（答案不唯一）
3.（★★）
图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取，四个值，则相应于曲线，，，的n依次为（ ）
A.，，，2
B.2，，，
C.，，2，
D.2，，，
【解析】和在上单调递增，容易判断是，是；和在上单调递减，谁是，谁是呢？可以这样判断，画出直线，看和，的交点，由于，所以交点在上方的是，下方的是，即是，是，故选A.
【答案】A
指对幂比大小
知识与方法
1.核心中间量：指对混合比大小，一般先判断每个数跟0和1的大小关系.
2.其他中间量：，，，，2是除了0和l之外的常见中间量.
3.整数两边夹：找出题目给的数落在哪个整数区间，例如，给一个数，易知，所以.
4.图象法：画出函数图象，数形结合分析更直观.
5.作差法：例如，，.
6.作商法：例如，，.
7.函数法：构造函数，利用单调性比大小.
解题时，先大致估算范围，若在同一个范围内，再利用其他方法解决.
题组一
1.（2020·天津·6·★★）
设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】观察发现a，b可变成同底，，因为，所以，即，而，所以，故.
【答案】D
【提炼】①核心中间量“1”；②a，b用函数的单调性比大小.
2.（★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】；；，故.
【答案】C
【提炼】选取0，1作为中间量来必经的大小.
3.（★★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】；；，所以.
【答案】B
【提炼】以0和1作为中间量.
4.（★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】；；，故.
【答案】C
【提炼】0和1是最常见的中间量.
5.（★★）
已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由；由；，故
【答案】A
【提炼】1和2是常见的中间量.
6.（★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】；；，故.
【答案】B
【提炼】1和2是常见的中间量.
7.（2020·新课表IIII卷·文·10·★★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，这个数值的大小很清晰，所以就以它为中间量，只需将a，b分别与c比较即可.要比较与，则把变成与同底的对数，即把变成，再比较2与的大小即可.
，同理要比较与，则把变成，再比较3与的大小即可.
，故
【答案】A
【提炼】要比较与对数的大小，只需化同底，把变为，结合对数函数的单调性来比.
题组二
8.（★★）
已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据，可得，，.
【答案】D
9.（★）
设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】观察发现a，b，c可化为“同底”.，，，.
【答案】B
【提炼】化成同底的对数，利用函数的单调性求得它们的大小关系.
10.（★）
已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，所以.
【答案】A
11.（★★★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】观察发现，a，b可化同底，a，c可化同指.，，，故.在上，，，故，所以.
【答案】A
【提炼】要擅于观察，化“同底”可利用指数函数单调性比大小，化“同指”可利用幂函数单调性比大小.
12.（016·新课标I卷·文·8·★★）
若，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】A项，当时，，
故，即，故A项错误；
B项，，因为，所以，故B项正确；
C项，在上单调递增，，故C项错误；
D项；，，故D项错误.
【答案】B
13.（★★★）
若，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】取，，，代入选项可排除A，B，D，故选C.
解法2：A项，在上，，故A项错误；B项，，函数在上，故B项错误；
C项，，因为，所以成立，故C项正确；
D项，，而故D项错误.
【答案】C
14.（★★）
设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，所以.
【答案】C
【提炼】要擅于观察，化成“同底”或“同指”，利用指数函数、幂函数判断大小.
15.（★★★）
已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】将c的底数也化为5，，要比较a，b，c的大小，只需比较，，的大小，；;.
所以，故.
【答案】C
【提炼】①观察化同底单调性；②当两个数都在1和2之间时，考虑以“”作为中间量比较大小.
题组三
16.（★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，
，而，所以.
【答案】C
17.（★★）
设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，
，故只需比较，，的大小即可，可用公式来化同底，，，，
.
【答案】D
题组四
18.（★★★）
设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】先把选项中的自变量全部化到这个减区间上来，再利用单调性比较大小.是偶函数，
.
【答案】C
19.（★★★）
定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】为偶函数恒成立
，易得在上单调递增，，，
.
【答案】C
20.（★★★）
已知奇函数在R上的增函数，，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【解析】为奇函数且为偶函数，在R上递增当时，.下面判断在上的单调性，当x增大时，也增大，且都是正的，x和乘起来肯定变大，所以在上也是增函数，将a的自变量化到上得，因为，所以，即.
【答案】C

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