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向量几何
知识与方法
向量兼具代数、几何双重特征，在诸多平面向量的最值问题（数量积最值、模最值）中，分析已知条件并画出图形，寻找最值，是一种速解的方法
典型例题
1.（★★★）
已知是圆上的三点，若，则与的夹角为 .
2.（★★★）
设是单位向量，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
3.（★★★）
若均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A. B.1
C. D.2
4.（★★★★）
设向荲满足，，则的最大值为（ ）
A.2 B. C. D.1
5.（★★★★）
已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A. B.
C.2 D.
强化训练
1.（★★★）
已知平面向量和的夹角为，在方向上的投影为4，则 .
2.（★★★）
已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3.（★★★）
已知，且，则的最小值为 .
4.（★★★★）
若平面向量满足，则的最大值为（ ）
A.10 B.12
C. D.向量几何
知识与方法
向量兼具代数、几何双重特征，在诸多平面向量的最值问题（数量积最值、模最值）中，分析已知条件并画出图形，寻找最值，是一种速解的方法
典型例题
1.（★★★）
已知是圆上的三点，若，则与的夹角为 .
【解析】如图，三点共线是圆的直径与的夹角为.
【答案】90°
2.（★★★）
设是单位向量，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】解法1：由题意，可设，
则，所以
，故当时，取得最小值.
解法2：由题意，，
如图1，设三点都在半径为1的圆上，
由图可知当点在处时，取得最大值，此时取得最小值.
解法3：如图2，设三点都在半径为1的圆上，为中点，，由极化恒等式，，
当在圆上运动时，的最小值为，所以的最小值为.
【答案】D
3.（★★★）
若均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A. B.1
C. D.2
【解析】解法1：由题意，可设，则，所以①，，因为，所以，
从而，将①代入整理得：，
而，所以，
当且仅当时取等号，结合式①可得此时或，即或，
故.
解法2：设，由题意，三点均在以为圆心，1为半径的圆上，，因为，所以，
从而点在以为直径的圆内或圆上，故点只能在如图1所示的圆的劣弧上运动，
设，则，所以，
显然当点与点或点重合时，取得最大值1，如图2，即
【答案】B
4.（★★★★）
设向荲满足，，则的最大值为（ ）
A.2 B. C. D.1
【解析】，设，则
可能的情形有两种，若为图三点均在以为圆心，1为半径的圆上，其中在优弧上
满足，显然此时恒有
若为图2，的外接圆为圆，向量的终点在优弧上运动
满足，易求得
当最大时，恰为圆的直径，由正弦定理，，即此时
综上所述，的最大值为2.
【答案】A
5.（★★★★）
已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A. B.
C.2 D.
【解析】不妨设，因为向量与的夹角为，可设，
且点在射线上运动，设，
因为，所以，即，
记，则点在圆上运动，
所以，所以的最小值等于射线上的动点和圆上的动点之间距离的最小值，如图即为该距离最小的情形，易得，所以，从而.
【答案】A
强化训练
1.（★★★）
已知平面向量和的夹角为，在方向上的投影为4，则 .
【解析】解法1：设和的夹角为，则在方向上的投影为，而，
所以，即，解得：.解法2：如图，设，则和的夹角为在方向上的投影为，又，所以，从而，故，即.
【答案】4
2.（★★★）
已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】解法1：由题意，可设，则，
，而，
故问题可以看成点在圆上运动，求的取值范围，
如图1，因为，所以，即.
解法2：设，则，
所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，如图，
结合可得和都是边长为2的正三角形，
所以，从而，即.
【答案】D
3.（★★★）
已知，且，则的最小值为 .
【解析】解法1：由题意，是以为顶点的等腰三角形，设为中点，
以为原点建立如图1所示的平面直角坐标系，，又，
所以，故，从而，
故，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
解法2：
，
从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为.解法3：设，则是直线上的动点，且，故问题等价于求直线上的动点到点距离的最小值，显然当时该距离最小，如图2，，
所以的最小值为.
【答案】
4.（★★★★）
若平面向量满足，则的最大值为（ ）
A.10 B.12
C. D.
【解析】解法1：由题意，不妨设，
则，
当时等号成立，所以的最大值为12.
解法2：设，以为圆心，1和2为半径作两个圆，如图1，
由题意，两点在大圆上运动，在小圆上运动，能够满足，
而，所以，
当三点的位置为如图2所示的情形时，最大，最大，且与同向，
所以取得最大值，且最大值为，故的最大值为12.
【答案】B

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