资源简介

《一元二次函数、方程和不等式》本章教材分析
一、本章知能对标
必备知识 学科能力 学科素养 高考内容
1.等式性质与不等式性质 学习理解能力 观察记忆、概括理解、 说明论证 应用实践能力 分析计算、推测解释、 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决、 猜想探究、 发现创新 数学抽象 数学运算 逻辑推理 不等式性质的应用,尤其是比较两式的大小和利用性质进行不等关系的变形
2.基本不等式 数学运算 逻辑推理 数学建模 利用基本不等式求最值或证明不等式(比较大小),并与应用问题结合起来
3.二次函数与一元二次方程、不等式 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学抽象 解一元二次不等式是考试的基础内容,并能应用于恒成立等问题上
二、本章教学规划
本章主要内容包括“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”.相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础;方程和不等式都是重要的数学工具,在解决问题中有广泛的应用,用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.
在本章的学习中,学生将通过类比初中学过的等式和方程,学习不等式的性质,理解等式与不等式的共性与差异,掌握基本不等式;并将在初中学习一元一次函数与方程、不等式的联系的基础上,用二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式,理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,借助二次函数求解一元二次不等式.通过本章的学习,学生的逻辑推理和数学运算学科核心素养将得到进一步提升.
三、本章教学目标
1.等式性质与不等式性质
梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
2.基本不等式
掌握基本不等式.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
3.从函数观点看一元二次方程
会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
4.从函数观点看一元二次不等式
(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义;能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
(2)借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
四、本章教学重点难点
重点:
1.不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异.
2.基本不等式的定义、证明方法和几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题.
3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系,借助二次函数求解一元二次不等式.
难点:
1.类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法,研究不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异.
2.基本不等式的几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题.
3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系,借助二次函数求解一元二次不等式.
五、课时安排建议
本章教学约需5课时,具体安排如下:
名称 课时
第1节 等式性质与不等式性质 约1课时
第2节 基本不等式 约1课时
第3节 二次函数与一元二次方程、不等式 约1课时
小结 约2课时
六、本章教学建议
本章要在回顾、梳理初中的一些重要知识、提炼其中的思想方法的基础上,以不等式的相关内容为载体,提升学生对数学学习的认识水平,为高中的数学学习做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,所以本章的教学,要重点关注与初中内容的衔接,以及在衔接基础上的提升.具体说来,有以下四个方面的建议.
1.类比方程研究不等式,渗透研究一个数学对象的基本路径.
本章教学要注意引导学生借助已有经验构建研究不等式的基本路径,包括研究对象的抽象、研究内容的确定、研究过程的安排、研究方法的获得等.
不等式的类比对象是等式,等式的研究路径大致是“现实背景相等关系与等式性质方程及其解法应用”,这个过程实际是“获取代数对象、性质、运算、应用”.据此,可以在学习本章内容之前,先让学生在回顾和总结初中等式学习过程的基础上,提出研究不等式的研究路径.
2.抓住关键点,让学生充分经历研究过程
如前所述,本章的重点内容是不等式基本性质的发现过程及性质本身,以及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系,对这两个内容的教学都要注意在初高中内容之间建立连接,并提升对已学内容的认识,在此基础上进行拓展,也就是“回顾——梳理——提炼——迁移”的过程,其中“提炼”是关键.该过程可以借助特例验证、修正猜想的性质,再证.
对于二次函数与一元二次方程、不等式的联系的教学,可以先让学生回顾从一次函数的观点看一元一次方程和一元一次不等式的含义,体会三者的联系中蕴含的一般规律.函数图象与x轴的交点的横坐标即是相关方程的根,在x轴上方或下方的点的横坐标的取值范围就是相应不等式的解集.再引导学生借助这个规律,探究二次函数与一元二次方程、不等式的关系,学生将不难从二次函数图象的关键点上去寻找解决问题的“突破口”.
3.处理好不等式证明的教学,为后续学习打下基础
用不等式的性质证明？简单命题不是本章的重点内容,但是学生在今后的学习中难免遇到代数证明的问题,而他们在初中又缺少代数证明的经验,因此本章有必要借助不等式的证明为学生打下这方面的基础.对于不等式证明的教学,一方面,要注意控制难度.教科书只介绍了三种不等式的证明方法——作差法、两头夹逼法和分析法,而且每种方法都是蕴含在具体例子里的,教科书对方法本身都没有特别说明.这样编排主要是为了不冲淡本章的主题.因此教学中也没有必要补充过多的方法和过难的问题;另一方面,教学中可以结合更多的典型例子,对这三种证明方法或思路多做些介绍.例如,“作差法”依据的是实数大小比较的基本事实,是最基本、最重要的不等式证明方法,用这种方法进行证明时需要对代数式进行正确的恒等变形,把两个式比大小的问题转化为判断代数式的符号问题;而“两头夹逼法”的证明思路适用于不容易从要求证的不等式看出应该对给定的不等式做什么样的变形的情况,通过结合已知条件,寻求使结论成立的充分条件,再利用不等式的性质,由已知条件推出这个充分条件,这实际上是分析法与综合法的综合应用;“分析法”的证明过程是“执果索因”,即寻求使当前命题成立的充分条件,直至明显成立的条件为止.
4.重视不等式实际应用的教学,充分发挥不等式的工具价值
本章对不等式实际应用的编排主要体现在用两种具体的不等式——基本不等式和一元二次不等式解决实际问题.应用基本不等式解决实际问题是本章的一个难点,教学中可以结合基本题和变式题,引导学生对实际问题进行简化,用基本不等式的数学模型去理解和识别实际问题中的数量关系,看它们是否符合模型中的条件,再示范如何用基本不等式解决问题;还可以比较基本不等式模型与方程模型在解决实际问题中的异同,使学生加深对前者的理解,从而利用一元二次不等式解决实际问题.
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