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《一元二次函数、方程和不等式》评价建议
一、本章学业要求
1.能够理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
2.能够掌握基本不等式，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
4.能够借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
5.能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
6.能够从函数的观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，体会数学的整体性.
7.能够在本章的学习中，重点提升逻辑推理、数学运算和数学建模素养.
二、本章评价建议
为落实本章的学业要求，以下从核心知识评价要求、思想方法评价要求和关键能力评价要求的三个维度，提出具体的评价建议.
1.核心知识评价要求
依据本章学习目标和学业要求，可列出本章的7个核心知识按照了解、理解、掌握的三个认知层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求.具体评价要求详见表1.
表1
主题 知识单元 核心知识 评价要求 个数
了解 理解 掌握
预备 知识 一元二次函数、方程和不等式 等式与不等式的性质 不等式的概念 √ 2
不等式的性质 √
基本不等式 基本不等式及其应用 √ 1
二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式的概念 √ 4
二次函数的零点 √
一元二次不等式与相应函数、方程的联系 √
一元二次不等式的解法 √
总计 3 2 2 7
对数学知识技能的评价，本章应关注学生能否把握知识之间的内在联系.如学生能否真正理解从等式性质通过类比得到不等式性质的过程，能否体会到等式与不等式的共性与差异；学生能否由具体的二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，进一步推广，探索一般的二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.
为此，我们对本章7个核心知识的评价要求，分别按照了解、理解和掌握三个层次的具体含义进行了细化解析，使其对教学具有有效的评价和指导作用.
（1）理解不等式的概念：能类比等式表示相等关系，举例说明不等式可以表示不等关系；知道实数大小关系的基本事实；能根据实数大小关系的基本事实，比较两个代数式的大小.
（2）掌握不等式的性质：能类比等式的基本性质，猜想并证明不等式的基本性质；能根据实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明简单不等式问题.
（3）掌握基本不等式及其应用：能描述基本不等式的内容；能利用不等式的性质证明基本不等式；能说明基本不等式的几何解释；能结合具体实例，用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
（4）了解一元二次不等式的概念：知道一元二次不等式的含义，初步认识一元二次不等式的现实意义.
（5）了解二次函数的零点：知道二次函数的零点定义，能发现二次函数的零点与方程根的关系；会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
（6）了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系：能借助二次函数的图象，初步认识一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
（7）理解一元二次不等式的解法：能够借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；会利用一元二次不等式解决简单的实际问题.
2.思想方法评价要求
本章的数学思想方法主要包括函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想等4种，具体评价要求详见表2.
表2
思想方法 评价要求
函数与方程 能分析实际问题中的数量关系，并通过设自变量建立函数模型或不等式模型解决实际问题；能运用函数、方程和不等式的关系，从函数观点看一元二次方程，从函数观点看一元二次不等式，体会函数的统领作用.
数形结合 能说明基本不等式的几何解释；能借助二次函数图象，说明二次函数与一元二次方程、不等式的联系；能根据二次函数二次项系数和一元二次方程的根画出二次函数图象，能够借助函数图象，求解一元二次不等式.
化归与转化 能将比较两个代数式大小的问题转化为两个代数式的差与0比大小的问题；能将解方程的问题转化为研究函数，当自变量为何值时，函数值的问题；能将解不等式的问题转化为研究函数，当自变量在什么范围时，函数值的问题.
特殊与一般 在基本不等式的应用中，能利用一般结论求特殊实例中的最大值或最小值问题；能将特殊的二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的联系，推广为一般的二次函数与一元二次方程、不等式的联系；能将具体的一元二次不等式的求解过程推广至一般的一元二次不等式的求解过程.
（1）要特别关注学生是否掌握应用基本不等式求最值问题.如学生是否清楚基本不等式的使用条件，基本不等式可以解决哪类最值问题，利用基本不等式求最值时为什么需要验证相等条件，学生是否真正理解“一正、二定、三相等”的含义.
（2）要特别关注学生是否会用函数的思想统领方程和不等式.如学生在解一元二次不等式的过程中，是否能通过函数方法，借助二次函数图象的直观，正确得到一元二次不等式的解集.
3.关键能力评价要求
本章的关键能力主要包括抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、直观想象能力和数学建模能力等5个，具体评价要求详见表3.
表3
关键能力 评价要求
抽象概括 能在具体情境中抽象出基本不等式和一元二次不等式，并利用特殊与一般、具体与抽象的关系，会求简单的最大值或最小值的问题；能借助二次函数图象的直观，得到求解一元二次不等式的通性通法.
推理论证 通过类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，类比一次函数、方程和不等式的关系，研究二次函数、方程和不等式的关系；能通过观察、比较、分析，判断不等式是否成立和证明不等式成立；能利用基本不等式解决简单的最值问题，并能清晰、准确地进行表述.
运算求解 能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题；能够借助二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
直观想象 能借助几何解释理解基本不等式的含义；能借助二次函数图象，求解一元二次不等式，形成数学直觉和数形结合的思想.
数学建模 能通过阅读、理解问题情境，选择合适的变量，建立基本不等式模型和一元二次不等式模型，解决简单的最值问题和实际问题；能运用数学语言表述数学建模的过程以及解决问题的结果.
（1）要特别关注学生能否形成利用类比、特殊与一般的关系来研究新问题的意识.如学生能否类比等式的性质，猜想和证明不等式的性质；能否类比一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的联系，研究二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的联系；能否从具体的一元二次不等式的求解过程推广至一般的一元二次不等式的求解过程.要让学生充分经历观察、操作、类比、推理、归纳、交流的全过程，不应单纯评价求解一元二次不等式的结果，而应注重对数学本质的理解和思想方法的把握，结合具体问题进行评价，避免片面强调机械模仿和复杂技巧.
（2）要特别关注学生能否提升数学建模的核心素养，如学生能否根据实际情境建立相应的函数模型或者不等式模型；能否理解基本不等式这个重要的数学模型，在具体问题中，能否识别这个模型；等等.注重学生学习过程中的阅读与理解、表达与交流的能力是否有提高，是否经历了读模、识模、建模、解模全过程.特别要注意将数学建模渗透在全章的学习过程之中，可以通过典型例子规范学生的建模过程，通过测试检验学生掌握情况，为学生以后进一步提升数学建模素养打好基础.
三、本章命题建议
1.本章学业水平测试的命题意图
（1）以二次函数、方程和不等式的核心知识为素材，突出评价学生对等式性质与不等式性质、基本不等式以及利用基本不等式解决简单的最值问题等的了解、理解和掌握程度；评价学生对一元二次不等式的解法和应用的了解、理解和掌握程度.
（2）以二次函数、方程和不等式的基本问题为载体，突出函数对方程和不等式的统领作用，注重结合具体问题情境融入函数与方程、数形结合、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法，强调通性通法，淡化特殊技巧.
（3）以一元二次函数、方程和不等式的简单应用为特征，突出问题情境中要蕴含数学关键能力的评价，要将一元二次函数、方程和不等式的核心知识、思想方法和实际应用有机地结合，重在评价学生综合运用本章知识解决实际问题的能力.
2.本章学业水平测试题的双向多维细目表
依据上述要求，我们设计了本章学业水平测试题的双向多维细目表（详见表4），编制了一套示范性学业水平测试题，并给出了参考答案，以供教学时选用.
表4
题型 题号 问题情境 核心知识 评价要求 思想方法 关键能力
选 择 题 1 现实（A） 不等式的概念 理解 化归与转化 抽象概括
2 数学（A） 不等式的概念 理解 化归与转化 推理论证
3 数学（B） 不等式的基本性质 掌握 化归与转化 推理论证
4 数学（B） 不等式的基本性质 掌握 化归与转化 推理论证
5 数学（A） 基本不等式 掌握 化归与转化 逻辑思维
6 数学（A） 一元二次不等式的解法 理解 数形结合 运算求解
填 空 题 7 数学（A） 二次函数、方程和不等式的联系 了解 函数与方程 直观想象
8 数学（B） 用基本不等式求简单最值问题 掌握 特殊与一般 运算求解
9 数学（B） 用基本不等式求简单最值问题 掌握 特殊与一般 运算求解
10 数学（B） 一元二次不等式的解法 理解 数形结合 运算求解
解 答 题 11 现实（C） 用基本不等式求简单最值问题 掌握 函数与方程 数学建模
12 现实（C） 二次函数、方程和不等式的联系 了解 函数与方程 数学建模

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