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解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
——形成精准思维模式，快速解题
类型一　利用“三线合一”作辅助线　　　　　　　　　　　　　　　
一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝ .【方法16】
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.【方法16】
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)
3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
二、构造等腰三角形
4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为【方法16】（ ）
A．0.4cm2
B．0.5cm2
C．0.6cm2
D．0.7cm2
类型二　利用等腰直角三角形构造全等
5．★如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P.求证：BP＝PE.
类型三　等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等
6．★如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.
参考答案与解析
1．40°
2．(1)证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD(AAS)．∴DE＝DF；
(2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段AE，AF，BE，CF，DF.
3．证明：作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)．∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.
4．B
5．证明：作EM⊥AP于M.∵∠ACB＝90°，∴∠M＝∠ACD.∵AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴∠EAM＋∠AEM＝90°，∠EAM＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠AEM.在△ADC和△EAM中，∴△ADC≌△EAM(AAS)．∴AC＝EM.∵AC＝BC，∴BC＝EM.∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠M.在△BCP和△EMP中，∴△BCP≌△EMP(AAS)．∴BP＝PE.
6．证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)．∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝180°－108°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.类比归纳专题：证明线段相等的基本思路
——理条件、定思路，几何证明也容易
类型一　已知“边的关系”或“边角关系”用全等
1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：
(1)AC＝AD；
(2)CF＝DF.
2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D、E分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形．
类型二　已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边”
3．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF.
4．(2015－2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N.
(1)求证：AN＝AC；
(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．
类型三　已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质
5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
参考答案与解析
1．证明：(1)在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD；
(2)在Rt△ACF和Rt△ADF中，AC＝AD，AF＝AF，∴△ACF≌△ADF，∴CF＝DF.
证明：连接CM，则BM＝CM，且CM⊥MB，∴∠B＝∠MCE＝45°，∴BM＝AM＝CM.在△MBD和△MCE中，BM＝CM，∠B＝∠MCE，BD＝CE，∴△MBD≌△MCE，∴DM＝EM，∴△MDE是等腰三角形．
3．证明：∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE.∵CF为△ABC外角∠ACG的平分线，∴∠ACF＝∠GCF.∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE＝∠CEF.∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF，∴CD＝ED，CD＝DF，∴DE＝DF.
4．(1)证明：∵CN⊥AD，∴∠AHN＝∠AHC＝90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠NAH＝∠CAH.又∵在△ANH和△ACH中，∠AHN＋∠NAH＋∠ANH＝180°，∠AHC＋∠CAH＋∠ACH＝180°∴∠ANH＝∠ACH，∴AN＝AC；
(2)解：BN＝CD.理由如下：连接ND.在△AND和△ACD中，∴△AND≌△ACD(SAS)，∴DN＝DC，∠AND＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠AND＝2∠B.又∵△BND中，∠AND＝∠B＋∠NDB，∴∠B＝∠NDB，∴NB＝ND，∴BN＝CD.
5．证明：连接BD、CD.∵AD是∠FAE的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵DG是BC的垂直平分线，∴BD＝CD.∴Rt△CDF≌Rt△BDE.∴BE＝CF.
6．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.又∵BD＝DF，∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)．∴CF＝EB；
(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.模型构建专题：共顶点的等腰三角形
——明模型，悉结论
类型一　共直角顶点的等腰直角三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．
类型二　共顶点的等边三角形
2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，
∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.
解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.
2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．
(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.
(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.难点探究专题：动态变化中的三角形全等
——以“静”制“动”，不离其宗
类型一　动点变化
1．如图甲，已知AB＝AC，M是BC的中点，点D是线段AM上的动点．
(1)求证：BD＝CD；
(2)如图乙，若点D在线段MA的延长线上，BD与CD还相等吗？为什么？
(3)如图丙，若M不是BC的中点，且BM＝CM，则(1)中的结论还成立吗？请你直接写出结论．
类型二　图形变换
一、平移
2．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD.
(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；
(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请直接写出结论．
二、旋转
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.求证：△BCD≌△FCE.
三、翻折
4．★(启东月考)如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【方法14】
参考答案与解析
1．(1)证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.在△ABM和△ACM中，∵AB＝AC，AM＝AM，BM＝CM, ∴△ABM≌△ACM(SSS)，∴∠BAM＝∠CAM. 在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD；
(2)解：相等．理由如下：由(1)得∠BAM＝∠CAM，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD＝CD；
(3)解：结论依然成立．
2．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在△BFO和△DEO中，∵∠BFO＝∠DEO，∠BOF＝∠DOE，BF＝DE，∴△BFO≌△DOE(AAS)，∴OE＝OF；
(2)结论依然成立．
3．证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，∵CB＝CF，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)．
4．解：DE＋BF＝EF.证明如下：延长CB至G，作∠5＝∠1，如图．∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，∠EAF＝∠DAB，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADE，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠2＋∠3＝∠1＋∠4.∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF＝∠EAF.在△AGB和△AED中，∵∠5＝∠1，AB＝AD，∠ABG＝∠ADE，∴△AGB≌△AED(ASA)．∴AG＝AE，BG＝DE.在△AGF和△AEF中，∵AG＝AE，∠GAF＝∠EAF，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF(SAS)．∴GF＝EF.∴BG＋BF＝EF，∴DE＋BF＝EF.易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题
——易错归纳，各个击破　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　求长度时忽略三边关系
1．等腰三角形的两边长分别为5和12，则其周长为（ ）
A．22 B．29
C．22或29 D．17
2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6或4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确： ，理由是 ．
3．已知等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．
类型二　当腰或底不明求角度时没有分类讨论
4．(双柏县模拟)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为【易错7】（ ）
A．100° B．40°
C．40°或100° D．60°
5．(淮北期末)等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20°
C．80°，80° D．50°，50°或80°，20°
6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为 .【易错7】
7．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数．
类型三　三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论
8．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是【易错5】（ ）
A．25° B．40°
C．25°或40° D．不能确定
9．★已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．
参考答案与解析
1．B
2．不正确　没考虑三角形三边关系
3．解：设腰长为xcm，①腰长与腰长的一半是9cm时，x＋x＝9，解得x＝6，∴底边＝15－×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm时，x＋x＝15，解得x＝10，∴底边＝9－×10＝4(cm)，∴三角形的三边为10cm，10cm，4cm，能组成三角形．综上所述，三角形的腰长为10cm，底边长为4cm.
4．C　5.D　6.120°或20°
7．解：(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD.∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝DC，∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD.∵∠CDA＝2∠B，∴∠CAB＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；
(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD.∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°；
(3)如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC.∵AB＝AC，BD＝AD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C.∵∠BDC＝2∠A，∴∠C＝2∠A＝∠ABC.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°；
(4)如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.假设∠A＝x，AD＝BD，∴∠DBA＝x.∵AB＝AC，∴∠DBC＝，CD＝BC，∴∠BDC＝2x＝∠DBC＝－x，∴x＝.
综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或.
8．C
9．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在外部．根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综上所述，顶角的度数为110°或70°.

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