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专题08 计数原理与二项式定理
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2021 全国甲卷 排列组合 排列组合
全国乙卷 排列组合 组合问题
2022 新高考1卷 二项式定理 二项式的乘积
⑴ 二项展开式共项：
⑵ 展开式中的通项公式： （第项）
⑶ 二项式系数：， 二项式系数之和：；
偶（奇）数项的二项式系数之和相等，即
⑷ 中间项的二项式系数最大. 当两项的系数均为1时，各项的系数等于二项式系数。
当是偶数时，中间项仅有一项为；当是奇数时，中间项有两项和.
⑸ 各项的系数：是指未知数前面的系数。
赋值法：① 令；
② 令； （各项的系数之和）
③ 令；
由①③得 偶次项系数和：(②＋③) 即:
奇次项系数和：(②－③) 即：
题组一、排列、组合问题
（1）多位数问题
1．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是
2．用这六个数字，能组成多少个无重复数字且比大的四位数
（2） 分组、分配问题
3.学校计划在全国中学生田径比赛期间，安排6位志愿者到4个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种
（3）捆绑法、插空法、涂色问题
4.现有语文书第一二三册，数学书第一二三册共六本书排在书架上，语文第一册不排在两端，数学书恰有两本相邻的排列方案种数
5．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．64种 D．72种
（4） 选人问题
6．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，则不同的安排种数为
（5） 定序问题
7.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 架“歼— ”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为
（6） 正难则反策略
8．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为
9．把7个字符1，1，1，A，A，，排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有
（7）相同元素插空法
10、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？
11、（1）方程的正整数解有多少组？
(2) 方程的非负整数解有多少组？
练习
1、（2021·湖北高三期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（ ）
A． B． C． D．
2、（2021·全国高三专题练习）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
3、（2021·山东德州市·高三二模）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排1名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）．
A．120种 B．90种 C．80种 D．60种
4、（2020·广东广州市·高三月考）广东省2021年的新高考按照“”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为______．
5、（多选题）（2021·江苏省滨海中学高三月考）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
6．（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·模拟预测（理））由于全球新冠肺炎疫情呈高发态势，我国零星散发病例和局部地区聚集性疫情明显增加，为了全面抗击，做到网格化管理，要求在2021年1月28日至3月8日春运期间必须持新冠病毒核酸检测阴性证明才能出行．若甲、乙两人去，，，四个医院中的一个做检测，则他们不在同一个医院做检测的概率为（ ）
A． B． C． D．
题组二、二项式定理展开式项与系数的问题
1、(多选题)（2021·山东济南市·高三一模）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．第项的二项式系数最大
C．第项的系数最大 D．所有项的系数和为
2、（2021·山东济南市·高三二模）的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
3、（2020·河北邯郸市·高三期末）已知的展开式中的常数项为60，则__________.
4、（2021·山东威海市·高三期末）在的展开式中，常数项等于____．
5、（2021·山东淄博市·高三二模）已知展开式中的系数为11，当的系数取最小值时，的系数是______．
6．(4分)展开式的常数项为（ ）
A.120 B.160 C.200 D.240
7．(4分)展开式中x2的系数为 ．
题组三、二项式定理展开式的综合性问题
（多选题）（2021·江苏常州市·高三期末）若，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
2、（多选题）（2021·山东德州市·高三期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．(4分)已知，则 ．
4．(4分)已知，则
5．(4分)已知，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2018|＝ ．
1、（2021·山东滨州市·高三二模）甲 乙两人做从装有14个玻璃球的盒子中抓取玻璃球的游戏，规定：甲 乙两人轮流抓取，每次至少抓取1个，最多抓取4个，最后一次取完者获胜.若甲先抓取，为确保甲一定获胜，则甲第一次应该抓取的玻璃球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、（2021·湖南长沙市·长郡中学高三其他模拟）车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最完美、最平衡的组合.一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（ ）
A．26 B．46 C．52 D．126
3、（2021·山东滨州市·高三二模）2020年是实施脱贫攻坚的最后一年，某地区针对最后深度贫困的A，B，C，D，E五个自然村引入五个脱贫项目(其中林果，茶园，养殖，旅游，农业特色深加工各一个项目)进行对口帮扶，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目.由于自然村条件限制，A，B两个村无法实施农业特色深加工项目，C村无法实施养殖项目，D，E两个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有（ ）
A．48种 B．54种 C．60种 D．72种
4、（2020·广东广州市·高三月考）的展开式中的常数项为160，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
5、（2021·山东潍坊市·高三三模）定义：两个正整数，，若它们除以正整数所得的余数相等，则称，对模同余，记作，比如：．已知，满足，则可以是（ ）
A．23 B．21 C．19 D．17
6、（多选题）（2021·山东高三其他模拟）已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A． B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中常数项为 D．展开式系数的绝对值的和为
7、（2021·山东济宁市·高三二模）已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是______．
8、（2021·山东泰安市·高三其他模拟）石家庄市疫情期间，全国各地援石医疗队不顾危险，不畏艰辛，穿梭在城市、乡村的大街小巷，争分夺秒救助患者，充分体现了对党和人民高度负责的使命担当，展现了顽强拼搏的斗志、甘于奉献的精神．抗疫任务完成后，石家庄交警列队礼送、铁骑引领、警车护航、敬礼致敬，以“最高礼遇、最深敬意、最佳形象”送行支援队伍.7辆医护人员所乘车辆排成一列，若排在最前面的必须是甲车或乙车，丙车不在最后面，则该7辆车不同的排列方法共有_______种．
9、（2021·山东青岛市·高三三模）若二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是___________.
10、（2021·山东青岛市·高三二模）若，则___________；
11、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______.
排列组合
1、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
2、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
3、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
5、【2020全国Ⅱ理14】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．
6.（2022·全国甲（理）T15） 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
7.（2022·全国乙（文T14)(理T13)） 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
8.（2022·全国甲（文）T6）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.（2022·新高考Ⅰ卷T5） 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.（2022·新高考Ⅱ卷T5） 有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
二项式定理
1、【2020全国Ⅲ理14】的展开式中常数项是　 　　 　（用数字作答）．
2、【2020浙江卷12】设，则 ； ．
3、【2020天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．
4、（2020全国Ⅰ理8）的展开式中的系数为 （ ）
A． B． C． D．
5、【2020北京卷3】在的展开式中，的系数为 （ ）
A． B． C． D．
6、（2019全国I理II理4）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
7、（2019浙江理13）在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______．
8．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.
9.（2022·北京卷T）8. 若，则（ ）
A. 40 B. 41 C. D.
10.（2022·浙江卷T12） 已知多项式，则__________，___________．
11.（2022·新高考Ⅰ卷T13） 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

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