资源简介

2023届高考数学复习专题 ★★
解析几何的20个微专题
专题1：直线与方程
知识梳理：
（1）直线的倾斜角
定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.倾斜角的范围为.
（2）直线的斜率：
定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即.
倾斜角是的直线，斜率不存在.
（3） 过两点的直线的斜率公式：
经过两点的直线的斜率公式：当时，；
当时，斜率不存在.
注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是的直线的斜率不存在.
②斜率随倾斜角的变化规律：
倾斜角
斜率 ，增大，增大 不存在 ，增大，增大
③可以用斜率来证明三点共线，即若，则三点共线.
直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴
斜截式 是斜率，是直线在轴上的截距 不垂直于轴
两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴
截距式 分别是直线在轴上和轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点
一般式 时，斜率为，在轴上的截距，在轴上的截距为 任何直线
注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.
但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.
②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与轴交点的纵坐标，横截距是直线与轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.
直线与直线位置关系
1．两条直线的交点
若直线：和：相交，则交点坐标是方程组的解.
2．两条直线位置关系的判定
（1）利用斜率判定
若直线和分别有斜截式方程：和：，则
①直线∥的等价条件为.
②直线与重合的等价条件为.
③直线与相交的等价条件为；特别地，的等价条件为.
若与斜率都不存在，则与平行或重合.
若与中的一条斜率不存在而另一条斜率为，则与垂直.
（2）用直线一般式方程的系数判定
设直线：，：，则
①直线∥的等价条件为.
②直线与重合的等价条件为.
③直线与相交的等价条件为；特别地， 的等价条件为
.
注：与平行的直线方程一般可设为的形式，与垂直的直线方程一般可设为的形式.
（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定
设直线：，：，将这两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有惟一解，则与相交，此解就是，交点的坐标；若方程组无解，此时与无公共点，则∥；若方程组有无数个解，则与重合.
3. 直线系问题
（1）设直线：和：
若与相交，则表示过与的交点的直线系（不包括）；若∥，则上述形式的方程表示与与平行的直线系.
（2）过定点的旋转直线系方程为（不包括）；斜率为的平行直线系方程为.
注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程.
距离公式与对称问题
1.距离公式
（1）两点间的距离公式
平面上的两点间的距离.
特别地，原点与任一点的距离.
若轴时，；若轴时，.
（2）点到直线的距离公式
已知点，直线：，则点到直线的距离.
已知点，直线：，则点到直线的距离.
已知点，直线：，则点到直线的距离.
注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式.
（3）两条平行直线间的距离公式
已知两平行直线：和：，若点在上，则两平行直线和的距离可转化为到直线的距离.
已知两平行直线：和：，则两直线和的距离.
注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且项的系数必须对应相等.
2.对称问题
（1）中心对称
①点关于点的对称
点关于的对称点为.
②直线关于点的对称
在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用∥，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程.
(2）轴对称
①点关于直线的对称
点关于的对称点为,则有,由此可求出.
特别地, 点关于的对称点为，点关于的对称点为.
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行.
本章知识结构
专题2：圆的标准方程与一般方程
知识梳理:⑴.圆的一般方程的概念：
当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程。
⑵.圆的一般方程对应的圆心和坐标：
圆的一般方程表示的圆的圆心为 ，
半径长为 .
专题3：直线与圆的位置关系及判定
知识梳理.
直线：；圆判定方法:
方法1：几何法．利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d＞r ； d＝r ； d＜r .
方法2：代数法.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
设方程组的解的个数为n，则有
△ 0 n= 相交； △ 0 n＝ 相切； △ 0 n＝ 相离．
圆的弦长计算
知识梳理
1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.
弦长的计算：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长.
专题4：圆与圆的位置关系
知识梳理
圆与圆位置关系的判定
圆与圆的位置关系有几种，各有几条公切线，分别画出来？
（1）几何法：设圆两圆的圆心距设为d，半径分别为r，R，（R>r）则当时，两圆
当时，两圆 当 时，两圆
当时，两圆 当时，两圆
（2）设两圆的方程分别为，，两圆作差得公共弦所在直线，将直线方程代入其中任一圆的方程，消去得到关于的一元二次方程式，则当时，圆与圆 ；当时，圆与圆 ；当时，圆与圆 。
专题5：椭圆的标准方程
概念梳理.
1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.
2.根据椭圆的定义可知：集合，，且 为常数.当时，集合P为_______；当时，集合P为 当时，集合P为 .
3.焦点在轴上的椭圆的标准方程为　　　　　　　.焦点在轴上的椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　.其中满足关系为　　　　　　.
椭圆的焦点三角形初探
概念梳理:
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
(1). .
(2). 焦点三角形的周长为
(3)..
(4). 焦点三角形的面积为：.
①．当，即点P为短轴端点时，θ最大；
②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
(5). 假设焦点的内切圆半径为，则.
专题6：椭圆的简单几何性质
知识梳理
标准方程 +=1（a＞b＞0） +=1（a＞b＞0）
图形
性 质 焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点 ，， ，，
轴 长轴的长为，短轴的长为
离心率 ，其中
椭圆几何性质再探
焦半径公式.
1.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有
2.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
专题7：直线与椭圆的位置关系及弦长计算
知识梳理.
1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
判定方法——代数法。将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：
△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交；
△＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切；
△＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．
2.弦长的一般形式
设A(),B()
弦长=
=
3.椭圆弦长:
相切条件：,
椭圆的焦点弦
知识剖析
(1).椭圆其中两焦点为（过左焦点）（过右焦点）其中e是椭圆的离心率.
(2).椭圆（过左焦点）（过右焦点）
(3).若，则.
(4).若,找出或者（可正可负），利用构建，联立利用韦达定理求解）或者利用韦达定理分别解出
专题8：中点弦问题——椭圆垂径定理
知识梳理:
1.中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）
椭圆：交点在x轴上时
直线与椭圆相交于点A、B
设点A(),B() ∵A、B在椭圆上
∴……① 则
……② 即
①-②得： 即
则 （其中M为A、B中点，O为原点）
同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为
当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点
则
椭圆垂径定理：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于下的系数比上下的系数的相反数.
面积计算
知识梳理:
1.三角形面积
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积
处理方法：
①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）
=（直线为斜截式y=kx+m）
=
②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。
2.四边形面积
在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.
专题9：椭圆离心率的计算
小结：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则
专题10：双曲线的标准方程
知识梳理
1.定义：平面内与两定点、的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点、叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
设为双曲线上的任意一点,
若点在双曲线右支上,则；
若在双曲线的左支上,则；
因此得.
2.标准方程：焦点在轴上:
焦点在轴上:,
可以看出,如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上；如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上.
3.标准方程中的三个量满足
4.方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴
上或在轴上两种情形。若将方程变形为,则当，时,方程为，它表示焦点在轴上的双曲线,此时；当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。
因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.
专题11：双曲线的几何性质
知识梳理
1.范围、对称性
2.顶点
顶点：，特殊点：.
实轴：长为，叫做半实轴长；虚轴：长为，叫做虚半轴长.
3.渐近线
如上图所示，过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是，这两条直线就是双曲线的渐近线.
4.离心率:焦点在轴：.
焦点在轴:___________.
5.焦点到渐近线的距离:
到直线的距离为.
专题12：直线与双曲线的位置关系
知识梳理:
1. 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？
当直线与椭圆相交时，如何求弦长？
涉及弦的中点问题，如何解决？
专题13：双曲线的离心率计算
知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法.
专题14：抛物线的标准方程
知识梳理
1.抛物线定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.
（1）.定义可归结为”一动三定”：一个动点设为；一定点(即焦点)；一定直线(即
准线)；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为1）.
（2）.定义中的隐含条件：焦点不在准线上。若在上，抛物线退化为过且垂直于的一条直线。
（3）.抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
2.抛物线标准方程：
（1），焦点：，准线；
（2），焦集点：，准线；
（3），焦点：，准线；
（4），焦点：，准线.
专题15：抛物线的几何性质
知识梳理
1.几何性质
标准方程
图象
性质 焦点
准线
范围
轴 轴
顶点
离心率
开口方向 向右 向左
类型
图象
类型
性质 焦点
准线
范围
对称轴 轴
顶点
离心率
开口方向 向上 向下
直线与抛物线位置关系
专题16：抛物线的焦点弦
知识梳理:
(1).抛物线弦长计算的基本方法:设A(),B()
弦长=
=
若直线的斜率存在，假设直线方程为，代入，消去并化简整理得到：
，，最后利用韦达定理，代入弦长公式即可解得弦长.
(2).由于，故，
所以有：.
3.典例分析
案例分析.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，求线段的长度.
方法1.(弦长公式).
方法2.(抛物线定义).注意到直线经过抛物线的焦点，即焦点弦.
抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:
性质1.,.
性质2.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则.
性质3.抛物线的通径
(1).通径长为.
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
性质4.
性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.
性质7.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
例.（2018年全国2卷）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或．
专题17：阿基米德三角形
1.知识要点：如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:
结论1.直线过抛物线的焦点.
证明：参见下面的例1.
结论2.直线的方程为.
证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.
进一步，设：，则.
则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.
上述结论的逆向也成立，即：
结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.
结论4..
证明：由结论3，，.那么.
结论5..
证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.
结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.
（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
(1)证明：设,,则．又因为，所以.
故，整理得.
设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.
由，可得，
于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.当时，；当时
因此，四边形的面积为或.
专题18：极点极线结构及非对称韦达定理
1.基础知识:极点极线
椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（a＞b＞0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.
从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:
（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么
（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么
（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？
如图，若点在曲线外，过点作两条割线依次交曲线于且与交于，延长交于点,则直线即为点所对应的极线.
假设椭圆方程为
（1）焦点与准线：点与直线；（2）点与直线
2.非对称韦达定理
在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理、、之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求、之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.
3.典例
（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
解析：由椭圆方程可得：， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点．
4.练习：（2010江苏）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F. 设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,.
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：
M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即
联立方程组，解得：，所以点T的坐标为
（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、
（方法1）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法2）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）.
专题19：与斜率和、斜率积有关的定点定值
1.基本结论：设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；
若，则有，
若，则直线过定点，
若，则有，
若，则直线过定点.
典例分析（2017一卷）
已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线过定点.
解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得. 故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
，由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而.
由题设，故.
即.解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
专题20：解析几何中的几何方法
1.基本知识:“一线三垂直”的证明
1.如图，AB⊥BD，AC⊥CE，ED⊥BD，且AC=CE
求证：Rt△ABC≌Rt△CDE．
证明：在Rt△ABC中， ∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵∠BCD是平角 ∴ ∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°
∵∠ABC= ∠ACE= 90° ∴∠A=∠DCE，∵AC=CE
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS）．
典例（2020三卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【详解】
（1），，
根据离心率，解得或(舍)，
的方程为：，即；
（2）不妨设,在x轴上方
点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，，
又，，，
根据三角形全等条件“”，可得：，，
，，设点为，
可得点纵坐标为，将其代入，可得：，
解得：或，点为或，
①当点为时，故，，，
可得：点为，画出图象，如图
,，可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点为时，故，，，
可得：点为，画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，综上所述，面积为：.
江苏高考数学真题讲析[2]
文/刘蒋巍
分析高考数学难点，把握高考数学热点，了解试题来源，理解命题背景，对高三数学复习大有裨益！
1、培养学生代数式的变形与转化能力
《2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明》（以下简称：江苏高考考试说明）样卷中第14题选取的2012年江苏卷第14题。该题考查不等式、函数的导数等基本知识，考查代数式的变形和转化能力，考查灵活运用有关知识解决问题的能力。问题如下：
2012江苏.14．已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ．
命制思路简析：
已知正数满足：，，求的范围。
（令，，则问题衍变为：已知正数满足：，，求的范围。）
类似的，考查代数式的变形和转化能力的试题还有2016年江苏卷第14题。问题如下：
2016江苏14.在锐角三角形中，，则的最小值是 ．
【试题命制】
（苏教版必修4第117页感受理解第4题）
在锐角三角形ABC中，，垂足为，，求的度数.
（改编1）在锐角三角形中，，垂足为，，则的最小值是_______
由于，，所以“，垂足为，”还可表述为“”，由正弦定理得：，形成2稿
（2稿）在锐角三角形中，，则的最小值是______
【解法探究】
解法1 以形助数
过点作于点，令，
，；则；由，得：
而，则；；又，
，
；所以；
不妨令；则
解法2 运用基本不等式
因为，，
所以，；
两边同除以得：
而
所以，
不妨设，则
，当且仅当时，即时取等号
思考：还有其他解法么？
2、引导学生关注教材中的基本模型
江苏高考考试说明样卷中第18题选用的2014年江苏高考的应用题。本题考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力和运算求解能力，以及学生的数学应用意识。
源于教材：“多题合一”+“改造”
2014江苏18.(本小题满分16分)
如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？
命题背景解析
背景1 苏教版教材必修2第92页例5
在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120。角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m）
背景2 苏教版教材必修2第113页例2
自点A作圆的切线，求切线的方程.
本题源于教材，高考题的第一问取自课本的灯罩轴线与灯杆垂直的模型。高考题与教材的例题，在给出的背景上非常相似，都是过定点的直线与圆相切；同时又是直线的方程与圆的方程两者知一求一。
思考：2014江苏卷第18题，如何求解呢？有几种解法呢？
3、注重学生运算能力的培养，引导学生思考简捷的算法
高三复习中，圆锥曲线常出现的问题是：学生通性通法的思路都懂，就是算不出来？如何运算、选择怎样的算法打开运算死结呢？请看以下江苏高考题：
（2011江苏18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
命制思路简析：
（有心圆锥曲线中点弦的统一性质）设椭圆（双曲线）且m、n不同时为负数）过中心的弦为AP，曲线上异于A，P的任意一点为B，则
因为，所以，又因为；则
（令椭圆方程为：，则，）
思考：除命制思路外，还有其他解题思路吗？
2012江苏19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用参数方程、极坐标等方法求解？
2015江苏18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.
思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用参数方程、极坐标等方法求解？
4、掌握通性通法的同时，了解试题的高等数学背景
江苏高考考试说明样卷中第19题选用的2013年江苏高考第20题。该题考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法。
2013江苏20.（本小题满分16分）设函数，其中为实数。
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
命制思路简析：
函数的图像在单调递增，在单调递减，最大值为，，（此处极限值用洛必达法则求得）
（若，则当或时，方程的根个数为1，当时，方程的根个数为2）
思考：除命制思路外，还有其他解题思路吗？用通性通法如何求解？
2012江苏20．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列和满足：．
（1）设，求证：数列是等差数列；
（2）设，且是等比数列，求和的值．
命制思路简析：
①正项数列为大于1的有界数列，且为等比数列，求证：为常数列.
②，求证：
思考：如何证明为常数列？正难则反？
还有哪一年高考题考查反证法？2015年？2016年？如何书写证明过程？
2016江苏卷19题命制思路简析：
2016年江苏高考第19题是以苏教版必修5教材第98页练习2（3）为原型生长而成的。
试题原型 设是实数，求证：
分析可知当且仅当时取等号，即函数有且只有1个零点。从“语言互译”[1]的角度命制“邻近问题”，形成1稿。
1稿 设，求证：函数有且只有1个零点.分析可知：若记，则有且只有1个零点，此时.将“”推广到“”，若有且只有1个零点，则值依然为1。从“命题推广”与“条件与结论互换”[2]的角度命制“一般性问题”，形成2稿。
2稿 已知，其中，函数有且只有1个零点，求的值
思考：2015年第几题考查反证法？如何书写证明过程？
（2010江苏18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,．
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
命制思路简析：
前两问比较简单，这里从略。对于第（3）问，由高等几何知识知：点T（）关于椭圆的极线方程为：，此直线恒过轴上一定点，从而直线MN必过定点。（令椭圆方程为：，，则直线MN必过定点）
第（3）问标准解答：
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：，即，
直线NTB 方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：、。
（方法一）当时，直线MN方程为：
令，解得：。此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。
运用向量法打开运算“死结”：
解第（3）问：设，，MN与x轴交于D（x，0），
（﹡），由在椭圆上，∴
消去，得，代入（﹡），∴．
运用合分比性质打开运算“死结”：
解第（3）问：分析：从“标解”可以看出，命题意图着力考查因式分解及整体消元的基本技能．这里本人给出运用合分比性质打开运算“死结”，盘活思路的解题方案．（为了更能说明问题，考虑一般情形）
解：设椭圆（﹡），直线MN:代入（﹡），
得，设，
，消去m，，
由合分比性质，
（对于本题，．
定点为D（1，0））
注：作为仿射变换的典型示例：上述结论“”也适用于双曲线．
5、抓住基本概念，破解新定义题
2017江苏19.（本小题满分16分）
对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列是“P(k)数列”.
（1）证明：等差数列是“P(3)数列”；
（2）若数列既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：是等差数列.
解析：（1）因为是等差数列，
所以，时，（*），（**），（***）；
（*）、（**）、（***）三式相加，得：
故，等差数列是“P(3)数列”
（2）当时，因为数列是“P(3)数列”，
所以满足：
又因为数列是“P(2)数列”，所以，（****）
还可写成：；
由+-式，得：，即：（）
故，从第三项起为等差数列。
又因为数列是“P(2)数列”，（****）式中，令，得：
所以，
（****）式中，令，得：，
故，
综上，是等差数列.
题源分析：本题解法与2011年江苏高考数学第20题第（2）问方法一致。可见，“一事习得三遍熟”，熟悉往年试题很重要。
2014江苏20.(本小题满分16分)
设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.
(1)若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”;
(2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得
(N)成立.
思考：数列的分拆？如何分拆？
2010江苏20.（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质,给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
解：（2）
，在上是增函数.
注意到
(显然否则||=||,矛盾！）
对于，
，满足题意.
对于，同理有与题设矛盾，舍去
从而
6、复习建议
教师要引导学生做透教材中的例题和习题，并善于寻找高考试题在教材中的原型，探索出高考题与教材题目的结合点，利用这些指导我们的高考复习。
强化运算能力（包括速度和技巧）的训练.要强化到每一天, 每一练,每一题.
在审题方面, 要提升解读层次, 加大穿透题意的力度.
要在乎来自各个方面的信息.除关注考查内容的变动，考纲要求的微调等高考信息外，还应该关注——教材、往年高考题、竞赛题
参考文献：
[1]江苏省新高考数学交流群.解析几何20讲
[2]刘蒋巍.江苏高考数学热点难点浅析——2018年3月高三数学教师培训讲稿[J].课程教育研究,2018(18):116.
直线的倾斜角和斜率
两条直线平行和垂直的判定
直线与方程
两条直线的位置关系
两条平行线间的距离
点到直线的距离
两点间的距离
相交求交点
平行求距离
直线的斜截式方程方程
直角坐标系中画图
直线的截距式方程
方程之间互化
直线的方程
直线的两点式方程
应用
直线的点斜式方程方程
直线的一般式方程方程
170 m
60 m
东
北
O
A
B
M
C
（第18题）
N
M
P
A
x
y
B
C
A
B
P
O
x
y
（第19题）
o
x
y
g(x)
x1
x2
α
β
1

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