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5.1.2 弧度制
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　弧度制
1.角度制与弧度制的定义
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
注意点：
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点二　角度制与弧度制的换算
常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
注意点：
(1)弧度单位rad可以省略．
(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用．
(3) 一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：
角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
知识点三　扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝α·R
扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2
知识点四　利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．
注意点：
(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合如下：
终边所在的位置 角的集合
x轴 {α|α＝kπ，k∈Z}
y轴 {α|α＝kπ＋，k∈Z}
坐标轴 {α|α＝，k∈Z}
(2)利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合：.
α终边所在的象限 角α的集合
第一象限 {α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}
第二象限 {α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z}
第三象限 {α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}
第四象限 {α|2kπ＋<α<2kπ＋2π，k∈Z}
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列各命题中，真命题是(　　)
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
答案：D
解析：根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确．
2.用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为.
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　)
A.π B.－π C.π D.－π
答案：B
解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
4.集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案：C
解析：当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分(包含边界)；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．
5.(多选)下列表示中正确的是(　　)
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y＝x上的角的集合是
答案：ABC
解析：A，B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；对于D，终边在y＝x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确．
6.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A.(2－sin 1 cos 1)R2 B.R2sin 1cos 1
C.R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
答案：D
解析：∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.∵S弓形＝S扇形－S△＝αR2－(2Rsin )·(Rcos )＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．
7.将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A.－－8π B.－8π C.－10π D.－10π
答案：D
解析：－1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π.
8.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：表有12个刻度，相邻两个刻度所对的圆心角为＝，当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×＝；但当分针指向2时，时针由10向11移动了×＝，故该时刻的时针与分针所夹的钝角为－＝.
9.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意，知当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，则小链轮转过的弧度数是×2π＝.
10.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α－β＝2kπ＋(k∈Z)
答案：D
解析：因为α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
二、填空题
11.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________．
答案：[－4，－π]∪[0，π]
解析：如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
12.已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形圆心角的弧度数为________．
答案： rad
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，依题意有整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8(rad)>2π rad，舍去．当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
13.把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．
答案：－π
解析：∵－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋，∴θ＝－π.
14.已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．
答案：(－1.5π，－π)∪(0.5π，2]
解析：∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k＝0时，0.5π＜α≤2，当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．
15.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
答案：
解析：如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，
∴弧长l＝R，∴α＝＝＝.
三、解答题
16. 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π<<，∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；当k＝－1时，γ＝－π.
故在区间[－5π，0)上与角α终边相同的角是－π，－π.
17. 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
解：设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
18.已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；
(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值．
解：(1)由题意，可得2r＋αr＝C，即αr＝C－2r，
则扇形面积S＝αr2＝(C－2r)r＝－r2＋Cr＝－2＋C2，
故当r＝C时，S取得最大值C2，此时α＝－2＝2.
(2)由题意，可得S＝αr2，即αr＝，
则扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋≥4，
当且仅当2r＝，即r＝时取等号，
故当r＝时，C取得最小值4，此时α＝＝2.
19.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10 m，OB＝x(0＜x＜10)，线段BA，CD，与弧BC，弧AD的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
解：(1)根据题意，可算得＝θx(m)，＝10θ(m)．
∵AB＋CD＋＋＝30，∴2(10－x)＋θx＋10θ＝30，
∴θ＝(0＜x＜10)．
(2)根据题意，可知y＝S扇形AOD－S扇形BOC＝θ(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2＋，
当x＝(m)时，ymax＝(m2)．
综上所述，当x＝ m时铭牌的截面面积最大，且最大面积为 m2.
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高中数学(新RJ·A)必修第一册5.1.2 弧度制 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.1.2 弧度制
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　弧度制
1.角度制与弧度制的定义
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
注意点：
一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点二　角度制与弧度制的换算
常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数
注意点：
(1)弧度单位rad可以省略．
(2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用．
(3) 一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：
角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
知识点三　扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝α·R
扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2
知识点四　利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．
注意点：
(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合如下：
终边所在的位置 角的集合
x轴 {α|α＝kπ，k∈Z}
y轴 {α|α＝kπ＋，k∈Z}
坐标轴 {α|α＝，k∈Z}
(2)利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合：.
α终边所在的象限 角α的集合
第一象限 {α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}
第二象限 {α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z}
第三象限 {α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}
第四象限 {α|2kπ＋<α<2kπ＋2π，k∈Z}
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.下列各命题中，真命题是(　　)
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
2.用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为(　　)
A. B.
C. D.
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　)
A.π B.－π C.π D.－π
4.集合中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
5.(多选)下列表示中正确的是(　　)
A.终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线y＝x上的角的集合是
6.如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A.(2－sin 1 cos 1)R2 B.R2sin 1cos 1
C.R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
7.将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A.－－8π B.－8π C.－10π D.－10π
8.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　)
A. B. C. D.
9.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　)
A. B. C. D.
10.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α－β＝2kπ＋(k∈Z)
二、填空题
11.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________．
12.已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形圆心角的弧度数为________．
13.把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．
14.已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．
15.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
三、解答题
16. 已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
17. 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
18.已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；
(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值．
19.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10 m，OB＝x(0＜x＜10)，线段BA，CD，与弧BC，弧AD的长度之和为30 m，设圆心角为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数解析式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
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