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2.3.3 点到直线的距离公式vs2.3.4 两条平行直线间的距离（同步检测）
一、选择题
1.若点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　　 )
A．(7，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，－3)
C．(－∞，－3)∪(7，＋∞) D．(－3,7)∪(7，＋∞)
2.[多选]已知点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　)
A．(－8,0) B．(－12,0)
C．(8,0) D．(0,0)
3.已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　 )
A.(a－b) B．b－a
C.(b－a) D．
4.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　)
A. B．
C．4 D．2
5.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　 )
A．3 B．2
C．3 D．4
6.若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　 )
A．1 B．
C. D．2
7.[多选]定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题中正确的是(　　)
A．若d1＝d2，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝－d2，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1·d2>0，则直线P1P2与直线l平行或相交
D．若d1·d2<0，则直线P1P2与直线l相交
二、填空题
8.分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________
9.已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________
10.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________
三、解答题
12.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
13.直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程．
14.已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
15.已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．　
16.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离为.
(1)求a的值；
(2)是否存在一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析：
一、选择题
1.C 解析：根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.
2.BC 解析：设P(x0,0)，因为d＝＝6，所以|3x0＋6|＝30，解得x0＝8或x0＝－12.
3.C　解析：∵P(a，b)是第二象限点，∴a<0，b>0，∴a－b<0.
∴点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)．
4.B 解析：∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.
5.A　解析：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，
∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.
6.B 解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝.
7.CD 解析：若d1＝d2＝0，则P1∈l，P2∈l，故A不正确；若d1＝－d2，则P1与P2在直线l两旁. 故P1P2与l相交，不一定垂直，故B不正确；若d1·d2>0，则P1与P2在l同旁，则P1P2∥l或P1P2与l相交，故C正确；若d1·d2<0，则P1与P2在l两旁，则P1P2与l相交，故D正确．
二、填空题
8.答案：5 解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5.
9.答案：或
解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x＋3)，
由两点式得直线AB的方程为＝，即3x＋4y－17＝0.
利用点到直线的距离公式d＝＝4，解得x＝－1或x＝.
10.答案：3
解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，
∴|PQ|min＝3.
11.答案：垂直
解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得·＝1.又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝，因此k1·k2＝·＝－1，所以两条直线垂直．
三、解答题
12.解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
13.解：①若l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.
由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.
则直线l1到l2的距离d＝＝5，所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，解得k＝.
所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．
综上，满足条件的直线方程有两组：或
14.解：因为l1∥l2，所以＝≠，所以或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
所以＝，解得n＝－22或n＝18.
所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
把l2的方程写成4x－8y－2＝0，所以＝，解得n＝－18或n＝22.
所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
15.解：设点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.
因为lAB∥lCD，所以可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝.
又因为m≠－13，所以m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
因为lAD⊥lCD，所以可设lAD：3x－y＋n＝0，
则点P(1,5)到lAD的距离等于点P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，解得n＝5或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
16.解：(1)直线l2可化为2x－y－＝0，则l1∥l2，
所以l1与l2之间的距离d＝＝，则＝，
又a>0，故a＝3.
(2)假设存在这样的点P(x0，y0)同时满足条件①②③.
若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，且＝·，解得C＝或C＝.所以l′：2x－y＋＝0或2x－y＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有＝·，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
由条件①，点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不合题意，舍去．
联立方程解得不合题意，舍去．
联立方程解得满足题意．
故存在点P同时满足题中三个条件．

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