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3.1函数的概念及其表示
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念，在此过程中培养学生的数学抽象素养.
难点：从不同的问题情境中提炼出函数要素，并由此抽象出函数概念；理解函数的对应关系.
三、教科书编写意图及教学建议
在初中阶段，学生学习的是具体函数，并且关注的是变量之间的依赖关系，虽然涉及变量之间的对应，但那里的“对应”仅是自然语言，而不是数学中的对应关系，也不关注变量的变化范围.在高中阶段，不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还要从具体问题出发，抽象概括出函数的一般概念，学会用集合与对应的语言刻画函数.
函数概念虽然抽象，但函数现象大量存在于人们周围.因此，教科书采用了从实际例子出发，让学生通过对具体问题的观察与分析，归纳函数的要素，并由此抽象出函数概念.这样做不仅可以加强学生对函数概念的理解，更重要的是培养了学生数学抽象的能力，使数学抽象素养的培养落到实处.
函数中蕴含着许多重要的数学模型.学习函数是学生进一步认识数学模型的重要过程，也是学生学会运用数学模型表述、思考和认识现实世界中蕴含的规律，学会数学表达和交流，发展数学应用意识和创新意识的过程.
教科书从建立函数概念开始就注重函数的不同表示，所选例子包含了解析法、图象法、列表法等多种表示法，这样做不仅可以让学生丰富对函数的认识，加深理解对应关系的本质，还可以更好地体会数形结合思想.教学时应注重信息技术的使用，使图象的直观性、表格的简洁性与代数刻画的精准性结合起来.
3.1.1函数的概念
教科书在安排函数内容时，期望学生通过学习达到以下目标：
在“变量说”的基础上，理解函数的“对应关系说”；经历函数概念的抽象过程，培养学生的数学抽象素养；从数学模型构成要素的角度认识具体函数，并通过函数的表示，进一步加深对函数概念的认识.
1.函数概念的建构
初中学习的函数概念依赖于实际背景，对“对应关系”的抽象要求较低，而且没有提及变量的变化范围，这就无法确切地表达变量之间的对应关系.另外，从“变量说”到“对应关系说”的必要性，学生最容易接受的也是关注变量变化范围的必要性.因此，教科书采用了四个实例，从强调变量变化范围入手，引导学生经历函数概念的建构过程.在对实例的分析中，都是先引导学生用初中所学函数概念进行解释，再通过问题激发认知冲突，使学生感受进一步研究函数的必要性.
选取问题1，是基于学生在初中学习了一次函数，对解析式不陌生，并且容易说明对确定的时刻有唯一的路程与之对应.
但在初中，并不强调变量和变量的变化范围.因此，教科书对问题1安排了一个“思考”，目的是引导学生关注问题1中自变量的变化范围，并由此考虑相应的变量的取值范围.在此基础上，提出用精确的语言表述的问题，并给出用集合与对应关系刻画的方式，为提炼函数要素作准备.
问题2的解析式与问题1一致，但因为自变量的变化范围不同，所以是两个不同的函数.因此，对于函数而言，解析式和自变量的变化范围都是确定函数的要素.
在问题2的边空中提出的问题“问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么”，就是为了引导学生得出上述结论.
安排问题3，4的目的是给学生提供更多的从不同角度认识函数要素的机会，特别是认识对应关系对于函数的重要性.具体教学时，不能简单地告诉学生：问题3中的对应关系是图3.1-1，而问题4中的对应关系是表3.1-1（“（%）”指表中第二行数据除以100，恩格尔系数为百分数）.要充分运用类似边空中的问题“你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗”，让学生在确定具体时刻所对应的AQI值的过程中，发现由图所确定的对应关系符合函数定义的要求.对于问题4，也可以提出问题“你能根据表3.1-1找到该地区2012年的恩格尔系数吗”“你能根据表3.1-1找到该地区2016年的恩格尔系数吗”，让学生通过表格确定具体年份与恩格尔系数之间的对应关系，以促进学生体会对应关系的本质，理解变量的变化范围对于确定一个函数的重要性.
教科书在安排4个实例时，都用集合与对应的语言对其中的函数进行了精确刻画，引导学生发现函数的三要素，为抽象函数概念作好准备.教学中，教师可以先给出问题1的示范，后面的几个实例都要求学生在独立思考的基础上进行模仿性表述，让他们熟悉这种语言表述方式.
教科书给出的，，，分别是四个实例中自变量的变化范围，但相应的，，，不全是函数值的取值范围.这样安排的目的，一方面是让学生认识到函数值的变化范围可以由自变量的变化范围与对应关系确定，为今后判定两个函数是否相同提供必要基础；另一方面是为学生理解函数定义中集合称为定义域，而值域是集合的一个子集提供认识基础.这一点，在给出函数定义后，教科书作了特别说明，教学时还可以让学生由此体会函数各要素之间的独立性与相互依赖性.
接着，教科书安排了一个归纳栏目：“上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？”
这是教学中值得特别重视的环节，是用函数概念教学落实数学抽象的一个重要机会，切忌由教师取而代之.可以安排活动，让学生体会从集合，，，到集合，从集合，，，到集合，从具体的解析式、图、表到对应关系的抽象过程，并在此基础上整理出下列表格，以方便学生观察共性.
问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 函数值的集合
问题1
问题2
问题3 图
问题4 表
通过上表，引导学生得出它们的共同特征：
（1）都包含两个非空数集，；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应.
运用集合与对应的语言，采用统一的符号，就可以得到函数的一般概念.
2.函数概念的理解
（1）定义域、值域和对应关系是函数的三个要素，它们是一个不可分割的整体，而对应关系是函数的灵魂，虽然函数的对应关系可以用解析式、图象、表格等不同形式表示，但它们的实质是相同的.另外，教学时应通过具体例子让学生了解，对应关系还可以用解析式、图象、表格以外的形式来表示，如Venn图的形式，也可以用文字语言表述（如习题3.1第18题）.
教学中可以通过具体的函数，引导学生思考“，”与“，”的异同.通过讨论使学生认识到，两个函数只要对应关系相同、定义域也相同，那么它们就是同一个函数（也可以用“两个函数相等”来描述），与用什么字母符号表示无关.通过这样的辨析，可以促进学生对函数概念的理解.
（2）记号是“是的函数”这句话的数学表示，具体而言是：变量在对应关系的作用下对应到，不能理解为“等于与的乘积”.
通常情况下，表示变量.在不引起混淆的情况下，也将函数简记为.
符号与既有区别又有联系，表示当自变量时函数的取值，是一个确定的数；而表示变量.所以，是的一个特殊值.
（3）教科书在给出函数的定义后，安排了用函数的定义去解释学过的一次函数、二次函数，并设计思考栏目让学生用定义去解释反比例函数，其目的是引导学生用新的函数定义重新认识已学的函数，以加深对函数概念的理解.
对于这部分教科书的处理，可以设计下列表格让学生填写：
函数 一次函数 二次函数 反比例函数
对应关系
定义域
值域
同时，可以利用信息技术画出函数的图象，或列出数据表格帮助理解上述函数的三个要素.
在函数概念教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题.
3.区间
区间概念的教学要使学生明确以下几点：
（1）区间是集合；
（2）区间的左端点必小于右端点；
（3）区间中的元素都是数字，并且必有无限多个；
（4）任何区间均可在数轴上表示出来，一个区间对应数轴上的一条线段，区间中的每个元素均对应数轴上的一个点；
（5）以“”或“”为区间的一端时，这一端必须是圆括号.
虽然这段内容记号多，但并不难理解，所以可先让学生自己阅读，再进行不等式、区间与数轴表示的互相转化，来熟悉区间的概念.教师可以把教科书上与区间对应的表格进行变化.例如，让学生阅读后填写下表：
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭
4.例题与习题
（1）例1的教学
抽象函数概念时，都是从实际问题中得到对应关系.反过来，给定一个函数解析式，例如，它可以用于刻画许多实际问题：
自由落体运动中，落体的运动规律是（路程是时间的函数）；
质量一定的运动物体的能量是速度的函数；
电阻为的导线中，电流通过时单位时间内产生的热量与电流强度有确定的对应关系；
给定锐角的Rt△的面积是角的邻边长的函数；等等.
上述实例中，变量，，，，，，，有各自特定的物理意义或几何意义，把它们一般化，用，分别代表自变量和对应的函数值，则它们之间的对应关系都具有的形式.因此，就是一个具有广泛应用的数学模型.
通过由解析式（数学模型）“还原”实际问题的训练，在加深学生对函数概念理解的同时，还可以增强他们对学习函数重要性的认识.
例1安排在第1课时，主要是加深学生对函数三个要素的认识，特别是加强函数定义域、对应关系对确定函数的认识.
教学时要认真对待这里安排的“探究”，让学生亲身经历构建函数的过程，通过不同的实际情境产生函数，明确函数要素对函数的影响，以及同样的函数模型可以用于刻画不同的实际问题，使学生体验函数的力量，领悟函数应用的广泛性.
如果学生构建的情境比较单一，可以为学生提供以下情境，让学生看到“不同”的情境：
若干人站成三角形状进行表演，第1排站9人，第2排站7人，往后每一排都比前一排少2人，最后一排站1人，如图3-1.
用表示排数，表示第1排至第排所站人数的和，是的函数吗？若是函数，请给出这个函数的对应关系、定义域与值域.
在这里，是的函数，对应关系是，定义域是，值域是.
（2）例2的教学
例2是求简单函数的定义域.在中学阶段，所研究的函数通常是能用解析式表示的.如果未加特别说明，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体量的允许值范围.
通过例2，对用解析式表示的函数，还要求学生会由给定的自变量与函数的解析式计算函数值，进一步体会函数记号的含义，能区别，，.
（3）例3的教学
例3是通过判断函数是否相同来认识函数的整体性，以进一步加深学生对函数概念的理解.需要指出的是，数学中常把函数中的数集用代替，这样，在函数的三个要素中，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系完全一致，这两个函数就相同.
5，本小节最后的“思考"
本小节最后安排的“思考”，目的是让学生通过对初中、高中两个函数定义的比较，理解引入新定义的必要性，提升对函数的认识.
事实上，初中给出的函数定义与高中的函数定义在实质上是一致的，两个定义都会涉及变量的变化范围，对应关系的实质也一样，只不过叙述的出发点不同.初中是从运动变化的观点出发，自变量的每一取值与唯一确定的函数值对应实际上就能确定一个对应关系；高中是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是两个实数集之间的元素对应.从历史上看，初中的函数定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间相依变化的关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制，如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如
对这个函数，如果用变量观点来解释，那么会显得十分勉强，也说不出的物理意义是什么.但用集合与对应的观点来解释，就十分自然，从这个意义上来说，高中的函数定义更具一般性.实际上，初中的函数定义已经渗透了集合与对应的观点.由于用变量观点描述函数比较生动、直观，所以初中阶段仍然广泛使用着函数的“变量说”定义.
教学时，可以组织学生小组讨论、交流所获得的认识.
6.练习
第1课时的练习可以这样处理：第1题，第2题，第3题结合用函数定义解析一次函数、二次函数与反比例函数时同步处理，要让学生通过第3题理解对应关系呈现方式的多样性；第4题结合例1进行，要让学生从不同情境中加深对函数的认识.
第2课时的练习，第1题、第2题结合例2进行，第3题结合例3进行，以此加深对函数相同的理解，并通过第2题发现函数的一些性质（奇函数性质），为后面学习函数性质积累认识.教学时还可让学生举一些函数相同的具体例子.
3.1.2函数的表示法
学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识的需要.同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是向学生渗透数形结合思想，培养学生直观想象素养的重要过程.
1.函数的表示法
教科书主要介绍解析法、列表法和图象法这三种常用的表示方法.
（1）教科书3.1.1中的四个实例为学习函数的三种表示法作了铺垫.实际教学时，可以先引导学生比较三种表示方法各自的特点，再师生一起进行评价并总结.
（2）“解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系”，即将两个变量之间的对应关系，用一个等式来表示.在中学阶段，所研究的函数主要是能够用解析式表示的函数.
解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
（3）“图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系”，如教科书3.1.1中的问题3，用图3.1-1中的曲线表示了北京市2016年11月23日空气质量指数的变化.图象法也常常用于生产和生活中，如工厂的生产图象及股市走势图等都是这样的例子.
图象法的优点是直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质.
（4）“列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系”，学生在生活中也经常遇到使用列表法的实例，如银行中利率表、列车时刻表等.教科书3.1.1中的问题4，通过表3.1-1直观反映了2006～2015年我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况.
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
在这个阶段的教学中，了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于使学生面对实际情境时，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析式）表示函数.
2.例题教学
函数的表示一共安排了5个例题，例4、例5、例6为第1课时的教学任务，例7、例8为第2课时的教学任务.
（1）例4介绍了一个可以用三种表示方法表示的函数.通过这个例子，让学生体会三种表示方法各自的优点.并且，例4后面的“思考”为学生比较三种表示方法提供了机会.对于“所有函数都能用解析法表示吗”，学生比较难回答，教学时不妨由教师先举一些例子（如习题3.1中的第17题）启发学生，然后再由学生试着举一些例子.
通过例4，还可以使学生看到函数的图象可以是一些离散的点，这与学生以前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差别，教学时要考虑到学生的认知基础，强调的图象是连续的直线，但的图象却是5个离散的点.由此又让学生看到，在函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，对例4的边框中提出的问题“判断一个图形是不是函数图象的依据是什么”，要组织学生交流讨论，归纳得出结论：若垂直于轴的直线与图形至多有一个交点，则这个图形可以作为某个函数的图象.这个结论，对于学生进一步理解函数概念有着不可忽视的作用.
（2）例5给出了分段函数的概念及其表示.通过例5的教学，让学生通过函数的不同表示，加强数形结合观念，培养学生的直观想象能力.
由于学生理解分段函数比较困难，但它又是普遍存在、比较重要的一类函数，因此教科书专门作了介绍.
（3）例5的分析过程是从数到形的过程，例6则是从形到数的过程.例6的解答过程表明，充分利用图象特征可以简化代数运算.教学时，可以引导学生从纯代数运算的角度寻求函数的解析式表示，通过对比让学生感受这一点.如此，可以进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力.
此外，例6通过对这种符号化表示的理解，可以提高学生的抽象思维能力.
（4）例7用表格给出了四个函数，它们分别表示某次考试中三名学生在一个学年的考试成绩及班平均分.由表格区分三位同学的成绩变化情况并不直观，所以教科书选择了函数图象这种表示方法.根据实际需要选择恰当的方法表示函数是需要给予关注的.
需要注意的是，图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接同一个函数的散点图，主要是为了让三个函数的图象具有整体性，这样方便比较.教学时应当引导学生观察图象，学习如何从图象上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据.
（5）安排例8，有三个目的：一是不仅可以让学生尝试用函数模型去表达实际问题，培养用数学的眼光观察、分析并解决身边问题的能力，而且也渗透了公民意识教育；二是可以进一步体会根据问题的特点恰当选择函数的表示法，能更方便地理解并解决问题；三是进一步学习分段函数的表示，让学生体会分段函数在实际应用中的价值.
例8包含两个问题，第1个问题是将应缴纳个税税额表示为应纳税所得额的函数，这个问题可以直接由表3.1-5得出，得到的是一个分段函数，第2个问题是一个具体的缴纳个税的计算问题，教科书中并未给出应缴纳个税和个人综合收入的函数关系，这个函数关系是在“3.4函数的应用（一）"中给出的.教学时可以结合当地的实际情况，给出各种保险费和住房公积金占综合收入额的比例，给出不同的全年综合收入、专项附加扣除和其他扣除，让学生计算应缴纳的个税税额，以加深学生对此问题的认识.
实际操作时，可以利用信息技术帮助解决计算问题.
3.练习与习题
教科书在函数表示的第1课时安排了3个练习，第1题可结合例4完成，第2题结合例5完成，第3题结合例6完成，学生在求出函数的对应关系（通常是解析式）后，往往不注意函数的定义域，教学时要特别提醒这一点.
函数的表示第2课时安排了2个练习，第1题可结合例7完成，主要是让学生练习运用数学模型进行数学表达；第2题可结合例8让学生完成练习，以进一步提高对分段函数的认识.
本节习题第10题、第18题中的函数，都是难以用解析式表示的函数，教学时要注意利用这些问题加深学生对函数、函数的对应关系以及函数的表示法的认识.
4.信息技术支持下的函数表示
在信息技术环境下，我们可以方便地由函数的解析式画出函数的图象，为学生创设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解函数概念及其表示法.因此，在信息技术环境下创设教学过程时，可以补充一些函数让学生用信息技术画图观察，更深入地理解函数的概念与函数的表示.
例如：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
上述四个函数的图象依次为：

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