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《函数的概念及其表示》能力探究
分析计算能力 函数定义域的求法
1.求函数定义域问题的思路
(1)先列出使有意义的不等式或不等式组.
(2)解不等式或不等式组.
(3)将解集写成集合或区间的形式.
2.求函数定义域的一般原则
(1)若为整式,则其定义域为实数集.
(2)若是分式,则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.
(3)若是偶次根式,则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合.
(4)若是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,即交集.
(5)的定义域是.
3.抽象函数定义域的求法
(1)若的定义域为,则中,从中解得的取值范围即为的定义域.
(2)若的定义域为,则由可确定的范围,设,则,又与是同一函数,所以的范围即的定义域.
(3)求运算型抽象函数(由有限个抽象函数经四则运算得到的函数)的定义域,应先求出各个函数的定义域,再求交集.
典例1 [数学运算](2018湖北襄阳四校高一联考)
(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域.
(2)已知函数的定义域是,求函数的定义域.
(3)若函数的定义域为,求函数的定义域.
解析:本题为求函数定义域的问题,分析题意,列出使或的抽象函数成立的不等式或不等式组,经过分析计算解出不等式,写出解集,必要时要进行分类讨论是解题关键.具体解题过程如下:
(1)由,得,所以函数的定义域是.
(2)由,得,所以函数的定义域是.
(3)由题意得
∵,而与的大小不确定,
∴对与的大小进行讨论.
①若,即,则.②若,即,则.③若,即,则,与题意不符,故不可能大于.综上所述,当时,函数的定义域为.
分析计算能力 函数值域的求法
求函数的值域时要明确两点,一是值域的概念,二是函数的定义域和对应关系.
常用的方法有:观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等.
(1)观察法:有的函数的结构并不复杂,可以通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的函数的值域求出函数的值域.如函数的值域是.
(2)换元法:运用换元,将已知函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,一定要注意换元后新元的取值范围.例如,形如,均为常数,的函数常用此法.
(3)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为型的函数,则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间上二次函数最值的求法.
(4)判别式法:求形如不同时为0的值域,常利用去分母的形式,把函数转化成关于的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出的取值范围,即得到函数的值域.
(5)数形结合法:有些函数的图象比较容易画出,可以通过函数的图象得出函数的值域.
(6)分离常数法:分离常数的目的是减少“变量”,形如的函数,经常采用分离常数法,将变形为,再结合的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域.
(7)反表示法:如求函数的值域,由解出,得.而,所以,即,所以,故所求函数的值域为.
(8)中间变量值域法:如求函数的值域,由得,而,所以.所以或.故所求函数的值域为.
典例2 [数学运算]求下列函数的值域:
(1).(2).(3).(4).
(5).(6).
解析:通过观察分析函数的结构特征,选择最适合的方法分析计算求值域.具体解题过程如下:
(1)(观察法)利用我们熟知的的取值范围求解.
∵的值域为.
(2)(分离常数法).
∵函数的值或为.
(3)(分离常数法),而.
∵,
∴函数的值域为且.
(4)(判别式法)该函数的分子,分母都是关于的二次式,因而可考虑将其转化为关于的二次方程,然后利用判别式法求值域.
∵恒成立,∴原式可变形为,即,当时,等式不成立;当时,上式为关于的一元二次方程,∵,即,解得,∴函数的值域为.
(5)(换元法)设,则.
由知函数的值域为.
(6)(配方法)将原式配方,得,函数图象如图所示,∴函数的值域为.
简单问题解决能力 定义域、值域的逆向问题求解
1.代入法
已知的解析式,求的解析式常用此法.如已知,求时,有.
2.配凑法
已知的解析式,要求的解析式时,可从的解析式中配凑出,即用来表示,再将解析式两边的用代替即可.如已知,可以将右边凑成的形式再求解.
3.换元法
已知的解析式,要求的解析式时,可令,再求出的解析式,然后用代替即可.如已知,我们可以设,解出代入求解.
4.待定系数法
如果已知函数类型,可设出函数解析式,再代入条件解方程(组),求出参数,即可确定函数解析式.
5.方程组法
已知与满足的关系式,要求时,可用代替两边所有的,得到关于与的方程组,消去解出即可.常见的有:已知与与满足的关系式时,可将原式中的用或代替,从而得到另一个同时含与,与的关系式,将这两个关系式联立,列方程组解出.
当所给函数关系式含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等再代入,然后利用已知条件,可求出未知的函数.至于取什么特殊值,应根据题目特征而定.
典例3-1 [数学运算](1)已知函数,则的解析式为______.
(2)已知,则的解析式为__________.
解析:本题为求函数的解析式.(1)题中的函数类型可用换元法或配凑法.(2)题中的函数类型可考虑用换元法.具体解题过程如下:
(1)方法一(换元法):令,则,所以,即
方法二(配凑法):因为,所以,即.
(2)设,则,代入函数式中得.
答案:(1) (2)
典例3-2 [数学抽象、数学运算](1)(2019湖北部分重点中学高一联考)已知一次函数满足,则的解析式为_____.
(2)已知函数满足,则函数的解析式为________.
解析:本题为求函数的解析式.根据函数解析式的特点,选择恰当的方法计算是快速解决本题的关键.
(1)设,则,于是有解得或所以或.
(2)在已知等式中,将换成.得.与已知方程联立,得消去,得.
答案:(1)或 (2)
分析计算能力 函数解析式的求法
1.函数定义域的逆向问题
已知函数的定义域,求函数中字母取值范围的问题,解法与求函数的定义域类似.
2.函数值域的逆向问题
有些问题虽然不是直接求函数的值域,而是已知函数的值域,求函数中某个参数的取值范围,但仍离不开求函数值域的常用方法.
3.已知函数定义域或值域求参数问题的解题思路
(1)注意调整思维方向,根据定义域或值域的含义,将给出的定义域或值域转化为方程的解或不等式的解集的问题.
(2)根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的取值或取值范围.
典例4 [数学运算、逻辑推理](1)(2019山东曲阜一中月考)若函数的定义域为实数集,则实数的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山东青岛二中月考)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为,值域为的“孪生函数”共有( )
A.10个
B.8个
C.9个
D.4个
解析:已知函数的定义域、值域,逆向求解函数中参数的取值或取值范围,需运用分类讨论、数形结合以及转化与化归的方法.具体解题过程如下:
(1)函数的定义域是实数集,则恒成立,即.解得,即实数的取值范围是.
(2)由,得.由,得,因为定义域为2个元素的集合有4个,定义域为3个元素的集合有4个,定义域为4个元素的集合有1个,所以共有9个“孪生函数”.
答案:(1)D (2)C
简单问题解决能力 作函数图象的步骤
作图通常有列表、描点,连线三个步骤:
(1)列表.先找出一些有代表性的自变量的值,并计算出与这些自变量相对应的函数值,用表格的形式表示出来.
(2)描点.从表中得到一系列的点,在坐标平面上描出这些点.
(3)连线.用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.要作出更精确的图象,常常需要描出更多的点.
【要点辨析】
作函数图象的注意事项:
(1)先确定函数的定义域,要在定义域内作图.
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点.
(4)作分段函数的图象时,应根据不同定义域上的解析式分别作图.
(5)函数图象可以是连续的曲线,也可以是直线、折线离散的点等.
典例5 [直观想象]下列图象是函数的图象的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:通过分析分段函数的解析式,根据其不同定义域上的解析式分别作图,要注意定义域上的两端点是空心点还是实心点.由于,所以函数图象过点;当时,,则函数图象是开口向上的抛物线在轴左侧的部分.因此只有图象符合.
答案:
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