资源简介

《函数的概念及其表示》知识探究
探究点1 函数的概念
1.函数的传统定义
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量与,并且对于的每一个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,那么就称是自变量,是的函数.
2.函数的近代定义
一般地,设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数(function),记作.
其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域(domain);与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(range).显然,值域是集合的子集.
【要点辨析】
1.对应关系的含义
对应关系是函数的本质特征,好比是计算机中的某个“程序”,当)的括号内输入一个值时,在此“程序”作用下便可输出某个数据,即函数值,如表示“自变量的3倍加上”,如.需要注意的是:这里的“”既可以是一个数,也可以是一个代数式,还可以是某个函数符号,如,则等.
2.判断给定的两个变量之间是否具有函数关系的方法
(1)是否给出定义域和对应关系.
(2)根据给出的对应关系,自变量在定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值与它对应.
学科素养:运用集合思想与对应的语言刻画函数概念,提升逻辑推理核心素养.
典例1 [推测解释能力]在下列从集合到集合的对应关系中,不能确定是的函数的是_____________.
①,对应法则.
②,对应法则.
③,对应法则.
④,对应法则.
⑤,对应法则.
⑥,对应法则:.
解析:根据函数的概念及三要素进行推测判断是解决问题的关键.要判断给定的两个变量之间是否具有函数关系,应该先检验题目是否存在定义域和对应关系,再根据此对应关系,计算自变量在其定义域中的每一个值是否都能确定唯一的函数值与之对应.具体解题过程如下:
①在对应法则下,中不能被6整除的数在中没有对应的元素,所以不能确定是的函数.②在对应法则下,中的数在中有两个数与之对应,所以不能确定是的函数.③在对应法则下,中的数(除去4与-4外)在中有两个数或没有数与之对应,所以不能确定是的函数.⑤不是数集,所以不能确定是的函数.④⑥显然满足函数的特征,故能确定是的函数.
答案:①②③⑤
探究点2 区间的概念与应用
设,且.
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
无穷区间
无穷区间
无穷区间
无穷区间
【要点辨析】
理解区间概念时,需注意下列四点:(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开.(2)区间实质上是一类特殊数集(部分实数组成的集合)的符号表示.(3)区间表示实数集的三个原则:①是连续的数集.②左端点必须小于右端点.③开或闭不能混淆.(4)“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远不能到达,不是一个数.因此以“-∞”和“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.
学科素养:通过用区间表示函数的定义域、值域和数集,提升数学抽象、数学运算核心素养.
典例2-1 [概括理解能力]用区间表示下列数集:
(1)_________.
(2)_________.
(3)且_________.
(4)_________.
(5)_________.
(6)_________.
解析:理解区间的概念,进行分析是解答本题的关键.用区间表示数集时,要注意:(1)区间的左端点必须小于右端点.(2)开区间、闭区间、半开半闭区间的表示不能混淆.(3)趋向符号“”的应用.
答案:(1).(2).(3).(4).(5).(6).
典例2-2 [分析计算能力](1)(2018山东菏泽高一期末调考)函数的定义域为的定义域为,则( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2018江苏启东中学期中)将函数的定义域用区间表示为____.
解析:理解函数的概念,通过计算求出函数的定义域,再用区间表示即可,注意要使函数有意义.具体解题过程如下:(1)函数的定义域为的定义域为,从而,所以,即.
(2)由,解得且,用区间表示为.
答案:(1) (2)
探究点3 函数的表示方法
1.解析法
圆的面积是半径的函数,用式子来表示.这种把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子,叫做解析式(常叫做解析表达式或函数关系式).
如果在函数中,是用代数式(或解析式)表达的,则这种表达函数的方法叫做解析法.
2.图象法
函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等,但不是任何一个图形都是函数图象.
如图(1)(2)就不是函数的图象,因为它们不符合函数的定义.对于的不同取值,可能有两个或多个数值和它对应,这不符合函数的定义.
直线与函数的图象的交点至多有一个,这点可从映射的观点去理解.
函数图象的形状与定义域和对应法则有关,定义域确定变量的分布范围,对应法则确定形状.
3.列表法
列表法就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
学科素养:借助实际问题,展示函数的三种表示方法,提升数学建模、数学运算核心素养.
典例3 [简单问题解决能力］(2018北京西城高一联考)某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数(为正整数)与收款数之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解析:掌握函数的表示方法是解决本题的关键.本题中函数的定义域不是连续的,作图时应注意函数图象是一些点,而不是直线.具体解题过程如下:(1)列表法:
台 元 台 元
1 3000 6 18000
2 6000 7 21000
3 9000 8 24000
4 12000 9 27000
5 15000 10 30000
(2)图象法:如图所示.
(3)解析法:.
探究点4 分段函数
1.分段函数的定义
函数与函数是同一函数,但在表达方式上有所区别,前者在定义域内有一个解析式,而后者的定义域被分为两部分,而在不同的部分有不同的解析式.
在函数的定义域内,对于自变量在不同取值范围内,函数有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.
2.分段函数常见的几种类型
(1)取整的数:表示不大于的最大整数).
(2)
(3)含绝对值符号的函数.
如
(4)自定义函数.
如
3.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象.要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数图象.
【要点辨析】
1.分段函数是一个函数,只有一个图象,作图时要将各段函数图象画在同一直角坐标系中,而不能将它们分别画在不同的直角坐标系中.
2.根据函数的概念,可知在函数图象中,横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点.即一定要考虑区间端点是否包含在内,若包含端点,则用实心点表示；若不包含端点,则用空心点表示.
3.分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系.
4.分段函数的定义域是几段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集.
5.分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.
6.分段函数在书写时用大括号的左半边把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围.
学科素养:通过分段函数求定义域、值域,画函数图象,提升数学运算核心素养.
典例4-1 [分析计算能力](1)(2018山东烟台三中月考)设则的值为( )
A.1
B.0
C.
D.
(2)函数则( )
A.
B.0
C.1
D.2
解析:本题是分段函数相关的求值问题,通过分析自变量的取值属于哪一段,就用那一段的解析式就可以解决此问题.具体解题过程如下:
(1)由题设知,,所以.
(2)当时,.而当时,,
∴.
答案:(1) (2)
典例4-2 [综合问题解决能力](2018河南信阳二中周测)已知函数.
(1)用分段函数的形式表示该函数.
(2)画出函数的图象.
(3)写出该函数的值域.
解析:根据分段函数的定义及作分段函数的图象的要点,综合分析即可解决此题.画图时根据各段的解析式分别作出其图象,然后擦去不在定义域内的部分,仅保留定义域内的一段图象即可.但要注意端点是实心点还是空心点.求值域时本题可根据观察图象求得,具体解题过程如下:
(1)当时,,当时,.
(2)函数的图象如图所示:
(3)由(2)知,在上的值域为.
2 / 7

展开更多......

收起↑