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《函数的基本性质》能力探究
推测解释能力 函数单调性的证明与判断
1.用定义证明函数的单调性的步骤
第一步:取值.在指定区间上任取,且令(或).
第二步:作差变形.将[或进行化简变形,变形的方向应有利于判断[或的符号,主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等.
第三步:定号.对变形后的差进行判断,确定[或的符号,若不能直接确定差的符号,通常情况下还需讨论或再细分区间,直到可以确定差的符号为止.
第四步:判断.判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义,从而得出结论.
2.复合函数单调性的判定方法
函数可分离为和两层函数,单调性关系如下表:
函数
单调性 增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
可以简记为“同增异减”.
3.抽象函数单调性的判断方法
抽象函数一般由方程(不等式)确定,解决这类函数的单调性问题通常有两种方法,一种是“凑”,凑定义或凑已知,从而使用定义或已知条件得出结论:另一种是“赋值”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.
【要点辨析】
若给出的是和型抽象函数,判定符号时的变形为.
若给出的是积型抽象函数,判定符号时的变形为,.
典例1-1 [逻辑推理]已知函数,求的单调区间,并说明在其单调区间上的单调性.
解析:分析题意,可知本题可用定义法来证明,先求出的定义域,再作差变形,最后对变形后的差进行论证与判断.具体解题步骤如下:
由题意知,函数的定义域是.任取且,
则
即
函数在上单调递减.
同理可得,函数在上单调递减.
综上,函数的单调递减区间为和.
典例1-2 [逻辑推理]已知函数在上是减函数,则的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题为判断复合函数的单调性,解决本题需要把分离为和两层函数,然后分析它们的单调性,利用“同增异减”进行判断.
设,则当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,因为在上是减函数,所以根据复合函数单调性之间的关联和经验可知,的单调递减区间是.
答案:B
典例1-3 [数学运算、逻辑推理]设是定义在上的函数,对,恒有,且当时,.求证:在上是减函数.
解析:分析题意,可知属于和型抽象函数,判断符号时可变形为,然后作差运算,进行大小比较,从而推断函数的单调性.任取,且,则.
当时,.令,可得.当时,.故,又,故,故在上是减函数.
分析计算能力 求函数最值的方法
求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题,因此求函数值域的方法也可用来求函数的最值,求函数最值的常用方法如下:
(1)配方法:主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围.
(2)换元法:用换元法时一定要注意新元的取值范围.
(3)数形结合法:对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助图象直观求出.
(4)利用函数的单调性:要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的最值.
典例2 [数学运算、逻辑推理]函数的值域为________.
解析:求函数的值域或最值,分析题意,首先判断函数的单调性,再进行计算.
依题意,函数的定义域为,且函数在定义域上单调递增.
当时,函数取得最小值.
当时,函数取得最大值.
因此,函数的值域为.
答案:
推测解释能力 判断函数奇偶性的常用方法
1.定义法:一般地,当函数给出解析式时常用定义法判断.
2.图象法:在函数图象已知或易画出的情况下使用.
3.验证法:求出函数的定义域,当定义域关于原点对称时,利用奇偶性所满足式子的等价形式判断,即是否为0或是否为.
4.性质法:利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性,以及复合函数的奇偶性判断.
典例3 [逻辑推理]判断下列函数的奇偶性:
(1).
(2).
解析:本题为判断函数的奇偶性,分析函数解析式特点,选择合适的方法推理判断,是解决问题的关键.具体解题过程如下:(1)∵函数的定义域为且,定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
(2)定义法:,该函数为偶函数.
分析计算能力 利用奇偶性求参数值的三种思路
1.若表示定义域的区间含有参数,则可利用对称性列出关于参数的方程.
2.一般化策略:对取定义域内的任一个值,利用与的关系式来确定参数的值.
3.特殊化策略:取定义域内关于原点对称的特殊自变量值,利用其对应的函数值的关系列方程求解.注意,这种方法求出的参数值要代入解析式检验,看是否满足条件,不满足的要舍去.
典例4 [数学运算](2020山东临沂高一联考)若函数为奇函数,则实数的值为(
A.1
B.
C.
D.
解析:已知函数的奇偶性,逆向探索参数的问题时,通常运用奇、偶函数的特征进行运算解决.具体解题过程如下:方法一:∵为奇函数,∴,即,解得.方法二:∵为奇函数,且的定义域为,即,解得.
答案:D
简单问题解决能力 利用奇偶性求函数解析式的方法
已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法:(1)设出未知解析式的定义区间上的自变量.(2)利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式;(3)利用函数的奇偶性求解即可.
具体如下:(1)求哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上.(2)将代入已知区间上的解析式.(3)利用的奇偶性把写成或,从而解出对应区间上的.
典例5 [数学运算]已知函数是定义在上的偶函数,且当时,,则当时,___________.
解析:本题为利用函数奇偶性求解析式,解决本题按照该类型题目的解题步骤运算即可.具体解题过程如下:当时,,则.函数是定义在上的偶函数,∴当时,.
答案:
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