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《函数的基本性质》真题探源
考情揭秘 函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质,高考对函数的单调性、最值、奇偶性的考查常常与数学其他知识结合在一起,判断函数的奇偶性,单调性以及利用奇偶性和单调性的性质去求函数值、参数值、解函数不等式等也是常考题型.试题难度一般为中等,题型主要以选择题、填空题为主,也有时候在解答题中的某一问题有联系,分值为5~10分.
题型1 函数单调性的判断
例1(北京高考改编)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( ).
A.
B.
C.
D.
真题溯源 教材在P79例3用定义证明在(1,+∞)上单调递增,在P77的思考中,要求讨论的单调性与本例类似.
思路点拨 对于函数,显然定义域为R,但它在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
对于函数,显然定义域为R,令,任取,且,则,即,故函数在R上单调递增;
函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;对于函数,显然定义域为R,但它在(-∞,0)上单调递减,在(0,十∞)上单调递增.
答 B
答题模板
用定义证明函数单调性的步骤
(1)设元取值:在题设条件所给出的区间内设出两个变量及其大小关系;
(2)作差变形:对作差,并通过通分、因式分解等方法进行恒等变形;
(3)确定符号:通过条件中的区间限制和两个变量的大小关系,对恒等变形后的式子进行大小比较,以确定函数差值的符号;
(4)得出结论:将函数差值的符号与两个变量的差值符号对应,得出函数的单调性.
题型2 函数奇偶性的判断
例2(上海高考节选)已知函数,其中a为常数.根据a的不同取值,判断函数的奇偶性,并说明理由.
真题溯源 教材P84的例6中,直接判断函数的奇偶性,在P85的练习题和P86的习题3.2中也有直接判断函数的奇偶性的问题,本考题是教材内容的延伸.
思路点拨 当a=0时,,显然是奇函数;
当a≠0时且,所以此时既不是奇函数也不是偶函数.
例3(1)(2018·山东烟台九中高一月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ).
A.
B.
C.
D.
(2)(2018·湖南长郡中学高一检测)在平面直角坐标中,函数的图像( ).
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于y=x对称
真题溯源 本题问题(1)既要判断函数的奇偶性又要判断其单调性,其实是把我们这一节所学内容联系起来考查,问题(2)则是先要由题中的隐含条件(-1≤x≤1)对问题先化简(脱去绝对值符号).因此,它们都是课本习题的延伸.
思路点拨 (1)A项,函数为奇函数,不满足条件.
B项,是偶函数,当x>0时,函数为减函数,不满足条件.
C项,是偶函数,当x>0时,函数为减函数,不满足条件.
D项,是偶函数,当x>0时,y=x+1是增函数,满足条件.故选D.
(2)由题意得,-1≤x≤1,
,
,
∴是奇函数,∴的图像关于原点对称.故选C.
答 (1)D (2)C
答题模板
定义法判断函数奇偶性的步骤
题型3 函数不等式的求解
例4(2019·安徽毛坦厂中学高三8月入学考试)已知函数对于任意x,y∈R,总有,并且当x>0时,>1.
(1)求证:为R上的单调递增函数;
(2)若,求解不等式.
真题溯源 这是一道抽象函数的单调性问题,教材中虽然没有这类题目,但是它的求解方法——“赋值法”则是有题目的.问题(2)实际上是函数单调性的应用,即已知单调性求函数中的参数的题目教材中是常见的,如P100复习参考题3中第4题.尤其在下一章指数函数、对数函数中也常出现,虽然如此,这类题目还是有一定难度,要认真理解与体会.
思路点拨 (1)在R上任取,
.因为,所以.故,即,
所以为R上的单调递增函数.
(2),所以.
由此可得,由(1)可知为R上的单调递增函数,所以,解得.故m的取值范围是.
答题模板
解函数不等式问题的一般步骤
第一步:确定函数在给定区间上的单调性;
第二步:将函数不等式转化为的形式;
第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组;
第四步:解不等式或不等式组确定解集.
题型4 函数奇偶性的应用
例5(1)(2019·全国高考Ⅱ)设为奇函数,且当x≥0时,,则当x<0时=( ).
A.
B.
C.
D.
(2)(2017·全国Ⅱ高考)已知函数是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,,则= .
(3)(2018·全国I高考改编)设函数.若为奇函数则a= .
(4)(江苏高考)已知是定义在R上的奇函数.当x>0时,,则不等式>x的解集用区间表示为 .
真题溯源 本例的四个问题都是利用函数的奇偶性这一性质来求解,有求值(如(1)(2))、有求参数(如(3)),有结合单调性解不等式(如(4))的,教材中虽然没有太多这类题目,但它们都是可以直接利用奇偶性求解,并不是太难.
思路点拨 (1)当x<0时,-x>0,,又为奇函数,有.故选D.
(2)依题意得,,由函数是奇函数,得.
(3)思路①:因为函数为奇函数,所以,所以,所以,因为x∈R,所以a=1.
思路②:因为函数为奇函数,所以,所以,解得a=1.
(4)作出的图像,如图所示.
由于是定义在R上的奇函数,利用奇函数的图像关于原点对称作出x<0的图像.不等式>x表示函数y=的图像在y=x的图像的上方,解方程=x求出A,B两点的横坐标并观察图像易得所求解集为.
答 (1)D (2)12 (3)1 (4)
答题模板
利用函数性质解不等式的步骤
(1)研究性质:根据题设条件研究函数在特定区间上具有的基本性质,然后猜想函数的一般性质,如单调性、奇偶性、对称性、周期性等;
(2)画出图形:根据抽象函数的特征结合研究的性质画出函数的大致图像;
(3)得到结论:利用图像和研究的函数性质解决相关问题.
题型5 函数的奇偶性与单调性的结合问题
例6(2019·江西临川一中高三第一次月考)定义在(-1,1)的函数满足:
①对任意x,y∈(-1,1)都有;
②当x<0时>0.回答下列问题:
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)判断函数在(0,1)上的单调性,并说明理由;
(3)若,试求的值.
真题溯源 本例考查函数的奇偶性与单调性的综合问题,教材中P87习题3.2第12题就是判断并证明一个偶函数在对称区间上的单调性之间的关系,在P101复习参考题3中第9题也是这类问题,本题在知识上有所延伸.
思路点拨 (1)在(-1,1 )上是奇函数.证明:对任意x,y∈(-1,1)都有,令x=y=0得,可得,令y=-x则,即,所以在(-1,1)上是奇函数.
(2)在(0,1)上单调递减.
证明:设,则.
而,则.
当x<0时,>0,所以,即有,则在(0,1)上单调递减.
(3)由f(x)在(-1,1)上是奇函数,可得
,
.
即.
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