资源简介

《函数的奇偶性》知识解读
(1)函数奇偶性的定义
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数的定义域为Ⅰ,如果,都有-x∈l,且,那么函数就叫作偶函数 一般地,设函数的定义域为Ⅰ,如果,都有-x∈l,且,那么函数就叫作奇函数
辨析比较 理解函数奇偶性的注意点
(1)从奇函数、偶函数的定义可知,当x是定义域中的一个数值时,则-x也必是定义域中的一个数值,因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数不具有奇偶性.例如,函数在区间
(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-3,5]上却不具有奇偶性.
(2)若奇函数在处有定义,则根据定义可得,,即,即奇函数的图像过原点.
(3)若,且,则既是奇函数又是偶函数.这样的函数有且只有一类,即=0,x∈D,D是关于原点对称的非空数集.
(4)常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性:
函数 奇偶性
一次函数 当b=0时是奇函数;当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
反比例函数 奇函数
二次函数 当b=0时是偶函数;当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
(2)函数奇偶性的运算性质
设,的定义域分别是,在它们的公共定义域上,有下列结论:
偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数 奇函数
偶函数 不能确定 不能确定 奇函数
偶函数 不能确定 不能确定 奇函数
偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
偶函数 偶函数 偶函数 奇函数
注意☆
上述表格中不考虑和;中,需.
(3)奇偶函数的图像特征
奇函数的图像关于原点对称;反过来,若一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数.
偶函数的图像关于y轴对称;反过来,若一个函数的图像关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
因而研究这类函数的性质时,只需研究函数在区间[0,+∞)或(-∞,0]上的情况,即可推断出函数在整个定义域内的性质.
因此,如果知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图像就可推出这个函数在另一部分上的性质和图像.
辨析比较☆
(1)如果为奇函数,点在其图像上,那么点,即点也在的图像上.
(2)如果为偶函数,点在其图像上,那么点,即点也在的图像上.
1 / 3

展开更多......

收起↑