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绵阳市高中2020级第一次诊断性考试
理科数学
注意事项:
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知集合，则
A. B. {-1，0，1}
C. {-1，0，1，2} D.
2．若，则一定有
A. B. C. D.
3．若命题:“”是真命题，则实数的取值范围是
A. ≥ B. ≥2 C. ≤ D. ≤-2
4．设，则的值是
A.1 B.2 C.4 D. 9
5．在△ABC中，点M为边AB上一点，，若，则
A.3 B.2 C. 1 D.-1
6．已知是等差数列的前项和，若，则
A. 2 B.3 C. 4 D.6
7．某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的
倍，那么第年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约( )年.(参考数据: )
A.4 B. 5 C. 6 D. 8
8．若函数在区间上恰有唯一极值点，则 的取值范围为
A. B. C. D.
9．函数的图象大致为
10.已知，则
A.2 B. C. -2 D.
11. 已知直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则
A.0 B. -2 C. 0或e D. -2或-e
12．若函数的定义域为R，且为偶函数，关于点(3，3)成中心对称，则下列说法正确的是
① 的一个周期为2 ②
③ 的一条对称轴为 ④
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知向量 则
14. 已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且
则 .
15. 某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米.假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点.则第10分钟小军同学离地面的高度为 米.
16. 已知函数若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17. (12分)
已知函数 .
(1).求的单调递减区间;
(2)求在[0，π]上的解.
18. (12 分)
已知数列满足:
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
19. (12 分)
在锐角△ABC中，角A，B, C所对的边为且
(1)证明:；
(2)求的取值范围.
20. (12 分)
已知函数;
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在(0, 3)上恰有两个零点，求函数在[0, 3]上的最小值.
21. (12 分)
已知函数，当≥0时，≥0.
(1)求的取值范围;
(2)求证:
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系中，圆C的参数方程为 ,直线的参数方程为（为参数）
(1)判断直线和圆C的位置关系，并说明理由;
(2)设P是圆C上一动点A(4, 0)，若点P到直线的距离为，求的值.
23. [选修4-5: 不等式选讲] (10 分)
已知函数
(1)求的最小值;
(2)若均为正数，且，证明:
理科数学试题 第 3 页（共 4 页）秘密★启用前【考试时间：2022年11月1日15：00一17：00】
7.某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的(0<1,1
m为常数)倍，那么第n(n∈N)年在开采完成后剩余储量为(1-m)”,并按该计划
绵阳市高中2020级第一次诊断性考试
方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%时，
理科数学
则需开采约()年，（参考数据：√21.4）
A.4
B.5
C.6
D.8
注意事项：
&,若西数y=c00+名@≥0作区间(-受0上拾有唯极值点，则心的取值范图为
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，逃出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
A.I 1
B
如需改动，用橡皮擦干许后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效。
c
3.考试结束后，将答题卡交回。
x-√x,0xl,
9.函数f(x)=
的图象大政为
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
2f(x+1),-2x<0
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈Z|-1x3},B={x|x22,则A∩B=
A.
B
2--
1
A.[-1,2]
B.{-1,0,1}
C.{-1,0,1,2}D.[-2,3]
2.若a心b>0,则一定有
A.cosaB.2a-2h<0
0-1
C.a5
D.a23>
3.若命题：“x∈R,msir十cosx”是真命题，则实数m的取值范围是
l0.已知(tan2a-tana)cos2a=2,则tanc=
A.m≥√2
B.≥2
A.2
B.2
C.-2
D.1
C.ms-√互
D.m茶-2
2
4.设a=1og。4,则3a的值是
11.已直线：++n0既是曲线y=nx的切线，又是曲线y=c-2的切线，则+
A.1
B.2
C.4
D.9
A.0
B.-2
C.0或e
D.-2或-e
5.在△ABC中，点M为边AB上一点，2AM=MB,若3CM=CA+4CB,则4=
12.若函数x)的定义域为R,且2x+1)为偶函数，-1)关于点(3,3)成中心对称，则下
列说法正确的个数为
A.3
B.2
①x)的个周期为2
②22=3
C.1
D.-1
6.已知Sn是等差数列{am}的前n项和，若S9=57,则3a-4-a,=
③)的一条对称轴为x=5
④龙f0=57
A.2
B.3
A.1
B.2
C.3
D.4
C.4
D.6
理科数学试题第1页（共4页)
理科数学试题第2页（共4页)绵阳市高中2020级第一次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
BDABC BBCDA DC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14．31 15．10.5 16．(-2，1)
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（1）．……4分
令()，……………………………………………6分
解得()，
∴函数f(x)的单调递减区间为()．…………………………8分
（2）由，得，
∵，∴．………………………………………………9分
∴，……………………………………………………………11分
解得． …………………………………………………………………12分
18．解：（1）证明：∵，
∴，
即． ……………………………………………………………………3分
∵，∴，……………………………………………………4分
∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列． …………………………6分
（2）由（1）知，， ………………………………………8分
∴
． ………………………………………11分
当n=1时，.
综上所述，. ………………………………………12分
19．解：（1）∵，
由正弦定理，得，………………………………………1分
即，
∴， …………………………………………………………………3分
∴或（舍），即，…………………………………4分
∴，
∴． ………………………………………………………6分
（2）由锐角△ABC，可得，，．
即， ∴．………………………………………………9分
∵． ………11分
∴． …………………………………………………………………12分
20．解：由题意得． …………………………1分
（1）当时，由，函数在上单调递增．
当时，函数在上单调递减，
在和上单调递增． ………………………3分
当时，易知函数在(k，4)上单调递减，
在，上单调递增． ……………………5分
（2）当k≤0或k≥3时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．
当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减． …………7分
要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：
且 解得．………………………………………………9分
∴． ………………………………………………………10分
又，
∴当时，；当时，．
又 ，∴………………………………………12分
21．解：（1）由题意得．
令g(x)=，则．
∴函数在区间上单调递增，
则函数的最小值为．………………………………………………3分
①当2-a≥0，即a≤2时，可得，
∴函数f(x)在上单调递增．
又f(0)=0，∴f(x)≥f(0)=0恒成立．……………………………………………………4分
②当2-a，即a>2时，函数的最小值为<0，
且存在x0>0，当时，<0．
又f(0)=0，∴当时，<0，
这与x≥0时，f(x)≥0相矛盾． ……………………………………………………5分
综上，实数a的取值范围是．…………………………………………………6分
（2）由(1) 得当a=2时，不等式f(x)=2ex-x2-2x-2≥0恒成立，
∴2ex-1≥x2+2x+1．
令x=n，得2en-1≥n2+2n+1． ……………………………………………………8分
∴． …………………………………9分
令，则，
时，，为上的增函数；
时，，为上的增函数；
∴，则.
∴， ………………………………………10分
∴
=
<=
．
∴． ………………………………12分
22．解：（1）由题意得圆C的普通方程为．
直线的普通方程为．…………………………………………………4分
∵圆心C到直线的距离，
∴直线和圆C相离．…………………………………………………………………5分
（2）设．
由，
∴，则． ………………………………7分
∴=，则， …………………………………………………………8分
∴， …………………………………………………………………9分
∴． ……………………………………………………………10分
23．解：（1）
≥= …………………………………3分
≥．(当且仅当时，取等) ………………………………………4分
∴函数f(x)的最小值为．……………………………………………………………5分
（2）∵f(a)＋f(b)＋f(c)＝18，
∴．…………………………………………………………………………6分
由
≥9，
得． ………………………………………………………………………8分
∵，
∴． ……………………………………………………………………9分
∴，
∴． …………………………………………………………10分

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