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《幂函数》真题探源
考情揭秘 幂函数的图像与性质是常考内容:主要考查形式包括判断幂函数图像的形状、对称性、函数的奇偶性、单调性,比较幂值的大小等,通常以选择题、填空题的形式出现,一般难度不大.
题型1 幂函数的图像
例1(1)(2018·黄冈期末)如图,函数,y=x,y=1的图像和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数的图像经过的部分是④⑧,则可能是( ).
A.
B.
C.
D.
(2)(2019·启东中学单元检测)定义函数,则的最小值为 .
真题溯源 教材在重点研究五个基本幂函数的图像与性质后,在P91习题3.3的第1题来求画出函数的图像,并讨论其奇偶性、单调性,又在P92探求与发现中要求对函数的图像与性质进行研究.
思路点拨 (1)∵函数的图像过④⑧部分,∴函数在第一象限内单调递减,∴α<0.又易知x=2时,,∴只有B选项符合题意.故选B.
(2)在同一平面直角坐标系中作出函数的图像,如图,则,
∴在x=-1与x=1处均取得最小值1,即.
答 (1)B (2)1
答题模板
作幂函数图像的步骤
第一步:画出第一象限的部分.幂函数在第一象限内的图像类似于“三个代表”的图像:
当α<0时,以为代表;
当0<α<1时,以为代表;
当α>1时,以为代表.
第二步:求幂函数的定义域.幂函数在第二或第三象限内是否有图像,取决于其定义域.
第三步:若幂函数在y轴左侧有图像,则直接研究函数的奇偶性,并据此画出y轴左侧的图像.
题型2 幂函数的性质
例2(1)(陕西高考)下列函数中,既是奇函数,又是增函数的为( ).
A.
B.
C.
D.
(2)(湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( ).
A.
B.
C.
D.
真题溯源 教材在P91例题中证明幂函数在(0,+∞)上是增函数,在P91练习中又证明的单调性和奇偶性,与本例的两个问题是同一类型题目.
思路点拨 (1)为非奇非偶函数;是奇函数,但是减函数;是奇函数,在(-∞,0),(0,+∞)上分别为减函数;是奇函数,也是增函数,故选D.
(2)因为在(-∞,0)上是单调递减的,故在(-∞,0)上是单调递增的,又为偶函数,故A对;在(-∞,0)上是单调递减的,故B错;为奇函数,故C错;对于函数,定义域为(0,+∞)是非奇非偶函数,故D错.
答 (1)D (2)A
解题技巧
简单的幂函数有如下性质
(1)所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,且图像都过点(1,1).
(2)如果α>0,幂函数图像过原点,在[0,+∞)上有意义,且是增函数.
(3)如果α<0,幂函数在x=0处无意义,在(0,+∞)上是减函数.
(4)在(1,+∞)上,随幂指数的增大,图像逐渐靠近y轴.
题型3 利用幂函数性质比较大小
例3(1)(全国Ⅲ高考)已知,则( ).
A.bB.aC.bD.c(2)(2019·湖北荆门中学月考)设,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>c>a
真题溯源 比较指数幂的大小是高考中的热点,它一般与后续学习的指数函数、对数函数结合起来考查,教材中这一节虽然没有这类问题,但学习了指数函数、对数函数后会有的,因此,与幂函数有关的大小比较应掌握好.
思路点拨 (1)因为,所以b(2)函数为增函数,而,∴a>c.
又,而,由不等式性质知c>b,故a>c>b,选A.
答 (1)A (2)A
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