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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是(　　)
A．沙漠 B．体温 C．时间 D．骆驼
2．下面四个关系式：① ；② ；③ ；④ ．其中 是 的函数的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
3．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
（第3题） （第5题） （第6题） （第7题） （第9题）
4．一次函数 与正比例函数 （m，n为常数、且 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（　　）
A．B．C．D．
5．如图，已知点是一次函数上的一个点，则下列判断正确的是（　　）
A． B．y随x的增大而增大
C．当时， D．关于x的方程的解是
6．如图，元旦期间，某移动公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元，一个月本地网内打出时间t（分）与打出电话费s（元）的函数关系图象，当打出200分钟时，这两种方式的电话费相差（　　）
A．15元 B．20元 C．25元 D．30元
7．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相同
D．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
8．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（　　）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
9．如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（－0.5，－0.5）
C．（ ＋3， －3） D．（－2，－2）
10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为(　　)
A． B． C． D．y=x
（第10题） （第14题） （第15题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
温度（℃） 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100
（1）时间是8分钟时，水的温度为　 　；
（2）此表反映了变量　 　和　 　之间的关系，其中　 　是自变量，　 　是因变量；
12．已知一次函数 （k、b是常数， ）的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点 .若 ，则k的取值范围为　 　.
13．已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组 的解是　 　.
14．如图，一次函数 x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上的一动点，连接BC，将 沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为　 　.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 　 　．
16．如图，直线 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是 的中点，点D、E分别是直线 、y轴上的动点，则 的周长最小值是　 　.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品 件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为 元．
（1）求出 与 之间的函数关系式；
（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？
　 甲商品 乙商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
18．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离千米与时间小时的关系，则：
（1）摩托车每小时走　 　千米，自行车每小时走　 　千米；
（2）自行车出发后多少小时，它们相遇？
（3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？
19．如图，直线l1：y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴交于点D、点A，直线l2：y＝x+1与x轴交于点C，两直线l1、l2相交于点B，连AC.
（1）求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积.
20．如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，交y轴正半轴于点B，且 ，正比例函数 交直线 于点P， 轴于点M， 轴于点 .
（1）求直线 的函数表达式和点P的坐标；
（2）在y轴负半轴上是否存在点Q，使得 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
21．已知一次函数的图象经过点 .
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点 、 在一次函数的图象上， ，求a的取值范围；
（3）过原点O的直线恰好把 的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式.
22．如图，一次函数y＝x+2的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y＝kx的图象交于点B（﹣1，m）.
（1）求正比例函数的表达式；
（2）点D是一次函数图象上的一点，且△OCD的面积是3，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得BP+AP的值最小，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
23．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0）．
（1）求直线AC的表达式和点B的坐标；
（2）作BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x＋b经过点B，交y轴于点D．
①求△ABD的面积；
②在直线AC上是否存在一点M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标．
（3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点P翻折后的对应点落在第四象限，求a的取值范围．
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浙教版2022-2023学年八上数学第5章 一次函数 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是(　　)
A．沙漠 B．体温 C．时间 D．骆驼
【答案】B
【解析】它的体温随时间的变化而变化，因此体温是因变量。
2．下面四个关系式：① ；② ；③ ；④ ．其中 是 的函数的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，
∴①y=|x| ；③2x2-y=0；④y=（x>0），当x取值时，y有唯一的值与之对应.
故选D.
3．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数图象得，当时，．
故答案为：A.
4．一次函数 与正比例函数 （m，n为常数、且 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、∵直线y=mx+n经过第一，二，三象限
∴m＞0，n＞0，
∴mn＞0，
∴直线y=mnx经过第一，三象限，故A不符合题意；
B、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限
∴m＞0，n＜0，
∴mn＜0，
∴直线y=mnx经过第二，四象限，故B不符合题意；
C、∵直线y=mx+n经过第一，四，三象限
∴m＞0，n＜0，
∴mn＜0，
∴直线y=mnx经过第二，四象限，故C符合题意；
D、∵直线y=mx+n经过第一，四，二象限
∴m＜0，n＞0，
∴mn＜0，
∴直线y=mnx经过第二，四象限，故D不符合题意；
故答案为：C.
5．如图，已知点是一次函数上的一个点，则下列判断正确的是（　　）
A． B．y随x的增大而增大
C．当时， D．关于x的方程的解是
【答案】D
【解析】A.该一次函数经过一、二、四象限
， y随x的增大而减小，
故A，B不符合题意；
C. 如图，设一次函数与x轴交于点
则当时，，故C不符合题意
D. 将点坐标代入解析式，得
关于x的方程的解是
故D选项符合题意
故答案为：D
6．如图，元旦期间，某移动公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元，一个月本地网内打出时间t（分）与打出电话费s（元）的函数关系图象，当打出200分钟时，这两种方式的电话费相差（　　）
A．15元 B．20元 C．25元 D．30元
【答案】B
【解析】设A种方式直线的解析式为：
，B种方式直线的解析式为：
，由图象可得：
或
，
解得：
，
，
这两个函数的解析式分别为：
，
，
当
时，
，
，
两种方式的电话费相差：
故答案为：B.
7．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）
A．乙前4秒行驶的路程为48米
B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米秒
C．两车到第3秒时行驶的路程相同
D．在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度
【答案】C
【解析】A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为每秒12米，则行驶的路程为12×4=48米，故A选项正确；
B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到每秒32米，则每秒增加米秒，故B选项正确；
C、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得、分别表示速度、时间，将米秒代入得秒，则秒前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C选项错误；
D、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D选项正确.
故答案为：C.
8．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（　　）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
【答案】D
【解析】当x＝0时，y＝﹣15，
∴B（0，﹣15），
当y＝0时，0x﹣15，
∴x＝12，
∴A（12，0），
x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点，
同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点
x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个．
故答案为：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（－0.5，－0.5）
C．（ ＋3， －3） D．（－2，－2）
【答案】B
【解析】作 关于直线 对称点 ，
，
∵A（0，1），
的坐标为（1，0）；
连接 并延长，交直线 于 点，此时 ，取得最大值，
设直线 的解析式为 ，
把B（4，1），C（1，0）代入得 ，解得 ，
直线 的方程为 ，解 ，得 ；
点的坐标为 ， ；
故答案为：B.
10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为(　　)
A． B． C． D．y=x
【答案】B
【解析】设直线l和八个正方形最上面的交点为A，过A作AB⊥OB于点B，过 A作AC⊥OC于点C，如图：
∵正方形边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴×OB×AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
∴A（，3），
设直线l方程为y=kx，
∵直线l经过点A，
∴k=3，
∴k=，
∴直线l解析式为：y=x.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
温度（℃） 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100
（1）时间是8分钟时，水的温度为　 　；
（2）此表反映了变量　 　和　 　之间的关系，其中　 　是自变量，　 　是因变量；
【答案】（1）100℃
（2）温度；时间；时间；温度
【解析】（1）观察表格可知：第8分钟时水的温度为100℃；
故答案为：100℃；
（2）观察表格可知反映的是温度随着时间的变化而变化的，时间是自变量，温度是因变量；
故答案为：温度，时间，时间，温度.
12．已知一次函数 （k、b是常数， ）的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点 .若 ，则k的取值范围为　 　.
【答案】
【解析】∵一次函数 y=kx+b （ k、b 是常数， k≠0 ）的图象与x轴交于点 (2，0) ，与y轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 .
故答案为： .
13．已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），则关于x、y的二元一次方程组 的解是　 　.
【答案】
【解析】∵一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，2），
∴则关于x、y的二元一次方程组 的解是
.
故答案为：.
14．如图，一次函数 x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上的一动点，连接BC，将 沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为　 　.
【答案】（12，0）或（－ ，0）
【解析】当x=0时，y=4，当y=0时，x=－3，
∴A(－3，0)，B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴ ，
设点A的对应点为A1，OC=x，
当点C在x轴正半轴时，如图，
根据轴对称性质得：BA1=AB=5，OA1=5+4=9，CA1=AC=3+x，
在Rt△A1OC中，由勾股定理得： ，
解得：x=12，即OC=12，
∴点C坐标为（12，0）；
当点C在x轴负半轴时，如图，
根据折叠性质得：BA1=AB=5，OA1=5－4=1，CA1=AC=3－x，
在Rt△A1OC中，由勾股定理得： ，
解得： ，即OC= ，
∴点C的坐标为（－ ，0），
综上，点C的坐标为（12，0）或（－ ，0），
故答案为：（12，0）或（－ ，0）.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 　 　．
【答案】（2，0）或( ，0)或（ ，0）
【解析】如图，过点A作AC⊥OM，AD⊥ON，
令x=0，则y=3，
令y=0，则x=3，
∴M（0，3），N（3，0），
∴OM=ON=3，
∴MN=3，∠M=45°，
∵AN＝2AM，
∴AM=，
∴AC=CM=1，
∴OC=2，
∴OA=，
当点B在x轴正半轴时，OB=OA=，点B1（，0），
当点B在x轴负半轴时，OB=OA=，点B2（-，0），
当AB=OA时，OD==1，
∴OB=2OD=2，
∴点B3（2，0），
∴点B的坐标为（2，0）或（，0）或（-，0）.
16．如图，直线 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是 的中点，点D、E分别是直线 、y轴上的动点，则 的周长最小值是　 　.
【答案】
【解析】如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，此时三角形CDE的周长最小，
∵直线y＝x＋1与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴A（0，1），B（-1，0），
∴OA＝OB，
∴∠ABC＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∵点C是OB的中点，
∴C( ，0)，
∴OG= ，BG= ，
∴ ，
由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，
△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此时△DEC周长最小，
∵在Rt△BFG中，FG= ，
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：
　 甲商品 乙商品
进价（元/件） 35 5
售价（元/件） 45 8
小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品 件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为 元．
（1）求出 与 之间的函数关系式；
（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？
【答案】（1）解：由题意可得：
，
∴ 与 之间的函数关系式为
（2）解：由题意，可得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 随 增大而增大，
∴ 时， 的值最大，购进乙商品的件数为 ，
答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大．
18．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离千米与时间小时的关系，则：
（1）摩托车每小时走　 　千米，自行车每小时走　 　千米；
（2）自行车出发后多少小时，它们相遇？
（3）摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？
【答案】（1）40；10
（2）解：设自行车出发后小时，它们相遇，
解得．
（3）解：设摩托车出发后小时，他们相距10千米；
①相遇前：，
解得；
②相遇后：，
解得：，
③摩托车到达终点，解得
答：摩托车出发后或4小时，他们相距10千米．
【解析】（1）摩托车每小时走：千米，
自行车每小时走：千米．
故答案为：40，10；
19．如图，直线l1：y＝﹣2x+4分别与x轴、y轴交于点D、点A，直线l2：y＝x+1与x轴交于点C，两直线l1、l2相交于点B，连AC.
（1）求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：∵两直线l1、l2相交于点B，
联立方程组 ，
解得 ，
∴点B（1，2），
∵直线l1：y＝﹣2x+4 y轴交于点A，
令x=0，y=4，
∴点A（0，4），
∵直线l2：y＝x+1与x轴交于点C，
令y=0，x+1=0，
解得x=-1，
∴点C（-1，0），
设AC的解析式为 ，代入坐标得 ，
解得 ，
AC的解析式为 ；
（2）解：设直线l2：y＝x+1与y轴的交点为E，
令x=0，y=1，
∴点E（0，1），
∴AE=4-1=3，
∴S△ABC= .
20．如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，交y轴正半轴于点B，且 ，正比例函数 交直线 于点P， 轴于点M， 轴于点 .
（1）求直线 的函数表达式和点P的坐标；
（2）在y轴负半轴上是否存在点Q，使得 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线AB的解析式为： ，
将A、B两点代入可得：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ；
将两个一次函数解析式联立可得：
，
解得： ，
∴ ；
（2）解：设 且 ，
由 ， 可得： ， ， ，
为等腰三角形，需分情况讨论：
①当 时，
可得 ，
解得： 或 （舍去）；
②当 时，
可得： ，
方程无解；
③当 时，
可得： ，
解得： ，
综上可得：当点Q为 或 时， 为等腰三角形.
21．已知一次函数的图象经过点 .
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点 、 在一次函数的图象上， ，求a的取值范围；
（3）过原点O的直线恰好把 的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式.
【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴2a<1-a，
∴ ；
（3）y= x
【解析】（3）如图，
∵过原点O的直线恰好把△AOB 的面积分成相等的两部分，
∴E为线段AB中点，
∵ ， ，
∴Ex= ，Ey= ，
∴E(-4，3)，
设直线OE的解析式为y=ax，
把E(-4，3)代入得，
-4a=3，
∴a= ，
∴y= x.
22．如图，一次函数y＝x+2的图象分别与x轴和y轴交于C，A两点，且与正比例函数y＝kx的图象交于点B（﹣1，m）.
（1）求正比例函数的表达式；
（2）点D是一次函数图象上的一点，且△OCD的面积是3，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得BP+AP的值最小，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：当 时， ，
∴点 ，
∴ ，即 ，
∴正比例函数的表达式为 ；
（2）解：设点 ，
当 时， ，
∴点 ，
∴OC=2，
∵△OCD的面积是3，
∴ ，
解得： 或1，
∴点D的坐标为 或 ；
（3）解：存在，理由如下：
如图，取点A关于x轴的对称点 ，则 ，
∴ ，
即点P位于 与x轴的交点时，AP+BP最小，
当 时， ，
∴点 ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，
把点 ， 代入得 ：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 .
23．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0）．
（1）求直线AC的表达式和点B的坐标；
（2）作BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x＋b经过点B，交y轴于点D．
①求△ABD的面积；
②在直线AC上是否存在一点M，使得△MAE是以∠AEM为底角的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵A（0，4），C（2，0）．
∴，解得，
∴直线AC的表达式为y=-2x+4；
∵BE⊥x轴于点E，
∴∠BEC=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°．
∵∠AOC=∠ACB=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠OAC=∠BCE．
在Rt△AOC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△CEB（AAS），
∴BE=OC=2，CE=OA=4，
∴OE=OC+CE=6，
∴点B的坐标为（6，2）；
（2）解：①将B点坐标（6，2）代入y=x+b，得
6+b=2，
解得b=-4，
直线BD的解析式为y=x-4，
当x=0时，y=-4，即D（0，-4）．
∴AD=8，
∴S△ABD=×8×6=24；
②点M的横坐标为或或
【解析】(2)②∵点M直线AC上，且直线AC的表达式为y=-2x+4，
∴设M（x，-2x+4），
a、AM=AE时，如图，以A为圆心，AE为半径作弧交直线AC于M1、M2，作M1N1⊥x轴于N1，作M2N2⊥x轴于N2，
∵A（0，4），B（6，2）C（2，0），
∴OA=4，OE=6，OC=2，
∴AE=，AC=，
∴CM1=AC+AM1=2+2，
∵M（x，-2x+4），
∴M1N1=-2x+4，CN1=2-x，
在Rt△CM1N1中，M1N12+CN12=CM12，
∴（-2x+4）2+（2-x）2=（2+2）2，
解得：x1=，x2=（舍去），
∴点M1的横坐标为；
同理：CM2=AM2-AC=2-2，
∵M（x，-2x+4），
∴M2N2=2x-4，CN2=x-2，
在Rt△CM2N2中，M2N22+CN22=CM22，
∴（2x-4）2+（x-2）2=（2-2）2，
解得：x1=，x2=（舍去），
∴点M2的横坐标为；
b、AM=ME时，如图，作MN⊥AE于N，
∵AM=ME，MN⊥AE，
∴AN=EN，
∵A（0，4），E（6，0）．
∴N （3，2），
∵M（x，-2x+4），
∴ME2=（-2x+4）2+（6-x）2=5x2-28x+52，
MN2=（2+2x-4）2+（3-x）2=5x2-14x+13，
EN2=（AE）2=（）2=13，
在Rt△EMN中，MN2+EN2=EM2，
∴5x2-14x+13+13=5x2-28x+52，
解得：x=，
∴点M的横坐标为；
综上，点M的横坐标为或或．
24．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标．
（3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点P翻折后的对应点落在第四象限，求a的取值范围．
【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入得
，
解得 ，
∴直线AB的函数表达式为y＝ x－6；
（2）解：
∵直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，
∴①若S△OBM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(2，0)代入，得
，
解得 ，
∴直线BM的解析式为y=3x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
3a-6=-a+1，
解得a= ，
∴-a+1= ，
∴点P的坐标为（ ，－ ）；
②
若S△ABM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)代入，得
，
解得 ，
∴直线BM的解析式为y=x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
a-6=-a+1，
解得a= ，
∴-a+1= ，
∴点P的坐标为（ ，－ ），
综上所述，点P的坐标为( ，－ ）)，( ，－ )；
（3）解：如图，
令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，
∴点P在定直线y=-x+1上运动，联立 ，
解得 ，
∵将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，
∴a>4，
∵点A（8，0）、B（0，－6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= ，
当AP为∠BAO外角的角平分线时，点B关于AP的对称点坐标为C(18，0)，
此时AP过线段BC的中点，设线段BC的中点为点D，则点D的坐标为 ，即点D(9，-3)，
设AP的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、(9，-3)代入得
，
解得 ，
∴AP的解析式为y=-3x+24，
联立 ，
解得 ，
∴a< ，
综上所述，a的取值范围4＜a＜ ．
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