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7.1.2复数的几何意义
学习目标
了解复数的几何意义。
了解共轭复数的概念。
基础梳理
1. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z (a,b)表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2. 复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了 关系，这是复数的一种几何意义。
复数z=a+bi与平面向量一一对应，这是复数的另一种几何意义。
3. 向量的模叫做复数z=a+bi的 或绝对值，记作|z|或|a+bi|。即 ，其中a,b∈R。如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于（a的绝对值）。
4.一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为 时，这两个复数叫做互为 。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数z的共轭复数用 表示，即如果z=a+bi，那么 。
随堂训练
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
2．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
7. 设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
答案
基础梳理
复平面；实轴；虚轴
一一对应
模；==
相反数；共轭复数；；=a-bi
随堂训练
C 复数6＋5i对应A点坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i，故选C。
D 因为0，m－1<0，所以点(3m－2，m－1)在第四象限。
(3，+∞) ∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，∴解得x>3。
A ∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
(0,2) |z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
i 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.根据复数相等的充要条件，得
解得∴z＝i.
7.解：(1)由已知，得即
解得－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2[(1＋m)(3－m)]＝1，
∴(1＋m)(3－m)＝2，∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0，∴m＝1±.
2

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