资源简介

3.4函数的应用（一）
一、重点、难点
将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系.
二、教科书编写意图及教学建议
本节的两个例题都是给定数学模型的实际应用，教科书将在后续内容中安排更加复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题.教学中应引导学生体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法.
1.例1是3.1.2例8的延续.前面已经探讨了应缴纳个税与应纳税所得额之间的函数关系，并通过一个具体例子，得到了已知个人综合所得收入，专项扣除比例、专项附加扣除金额、其他扣除金额，计算应缴纳个税的方法.本例是要将应缴纳个税写成综合所得的函数.
在教学中，首先要引导学生分析这一问题中存在几个变量，它们之间是什么关系，如何通过这些关系确定应缴纳个税与综合所得的关系，等等.
实际上，由“个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数”这一公式可以将个税表示成应纳税所得额的分段函数.而应纳税所得额与综合所得收入的函数关系为
因此，对于任一个综合所得收入额都有唯一确定的应纳税所得额与之相对应，而每个应纳税所得额都有唯一的税率和速算扣除数与之相对应.这样，对于任一个综合收入所得额都有唯一确定的个税税额与之相对应，个税税额是综合收入所得额的函数.
显然，将个税税额写成综合收入所得额的函数需要分段表述，难点在于如何将自变量的取值进行分段.这里可以提出问题“当在什么范围内时可以使落到相应的区间，从而确定税率和速算扣除数”引导学生通过解相应的不等式求得工资的不同范围，从而得到个税税额关于综合收入所得额的分段函数.
在教学中，应注意让学生充分体验上述数学抽象的过程.
3.1.2节例8中，要由综合收入所得额求出应纳税所得额，进而利用税率和速算扣除数才能计算求得个税税额，本例直接将个税表示成了综合收入所得的函数，由此可直接由综合收入所得额求出需要缴纳的个税税额.由此可见，有了函数模型，就可以通过研究函数的性质而获得实际问题中量的变化规律，通过画出函数的图象也可以很直观地看到这种整体的变化规律.
2.例2需要利用图形中的信息及问题中的数据建立数学模型.教学中仍然要让学生从分析题意入手，分析清楚问题中涉及的变量，它们之间是什么关系，通过这些关系是如何确定里程表读数与时间之间的关系，等等.本题涉及时间、速度、行驶路程、里程表读数等变量；时间和速度的关系由图给出，不难得到函数关系.
教学中应引导学生读出图形中的函数关系，也就是在图形中抛开阴影不看，实际上是一些平行于轴的小线段，而这些小线段实际上就是平均速率关于时间变化的函数图象.在此基础上，再分析一个阴影矩形的面积的实际意义，然后得到整个阴影面积的意义.
本例中的问题（1），对于任意一个的取值，这条直线左边的阴影面积就是经过时间的路程，它们之间满足函数关系.由于路程在不同时间段内随时间的变化规律不同，因此需要分段表示这个函数.
关于边空中的问题“你能根据图3.4-1画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗”，可以先写出汽车行驶路程关于时间变化的函数解析式：
再画出汽车行驶路程关于时间变化的图象.实际上这个图象就是教科书中图3.4-1的函数图象向下平移2004个单位.
《函数的应用（一）》课标解读
教材分析
本节内容是在学生熟知的函数的概念、表示法和对函数性质有了一定了解的基础上研究函数在实际中的应用，尤其是分段函数的应用，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作良好的铺垫.由生活中的实际问题入手，内容涵盖行程、几何、利润、费用等各个方面，既有分段表示，也有求最值，类型多样，能让学生对数学的实际应用性产生深刻的认识.
本节内容是考试中考查的一个重点，尤其是在现在强调阅读和与实际结合的大环境下，更是出题人所热衷的一部分内容，经常涉及的知识有最值、最优化，甚至自己设计几个方案并比较等类型，难度还是比较高的.
本节内容所涉及的核心素养有直观想象、数学抽象以及数学建模.
学情分析
学生在前面已经学习了一次函数、二次函数、幂函数等函数的图象和性质，对函数有一定程度的认识和理解，并能建立简单实际问题的分段函数的解析式，具备了一定的分析与解决问题的能力.
数学建议
通过分析题意，引导学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式让学生进行探究，同时借助计算机，充分利用多媒体教学，直观形象地展示函数图象.教师可以再举出几个教材之外的实际问题，让学生试着建立函数关系来进行解答，提升学生的数学建模素养，激发学生的学习欲望.
学科核心素养
目标与素养
通过实际问题理解一次函数、二次函数、分段函数等的应用，体会数学与物理、生活的关系，养成正确的数学化理性思维，形成“数学源于生活、寓于生活、用于生活”的意识.提升直观想象、数学建模素养，达到水平二的要求.
情境与问题
通过对分段函数定义和求值的复习，巩固以前所学，并为利用分段函数等之前学过的初等函数解决实际问题打下基础。
内容与节点
本课时内容是函数的应用，即通过一些实例感受所学函数的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法，体现了数学的应用价值.
过程与方法
在实际问题的解决过程中，提高学生的阅读能力、读图能力以及数学建模的能力，提升学生直观想象和数学建模的核心素养，发展学生提出问题、分析问题的能力.
教学重点难点
重点
利用给定的函数模型解决实际问题，特别是分段函数的应用.
难点
函数模型的体验，以及建立实际问题的分段函数解析式.

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