资源简介

抓住图形特征，建立几何直观
《平行四边形和梯形》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《平行四边形的和梯形》单元是图形与几何领域第二学段“图形的认识与测量”中的重要内容。《数学课程标准》指出：“图形的认识主要是对图形的抽象。学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系;积累观察和思考的经验，逐步形成空间观念。”
（二）单元教材内容分析
本单元主要学习垂直与平行，认识平行四边形和梯形的特征，属于“空间与图形”的领域，在生活中有着广泛的应用，为培养学生的空间观念提供一个良好的载体。
　　1.垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，是学生以后认识平行四边形、梯形、长方形和正方形等几何形体的基础，是小学高年级进一步认识长方体和正方体各棱之间位置关系的基础，是理解圆柱和圆锥的高的基础，是几何研究的基本工具，在几何学中有举足轻重的基石地位，必须牢牢掌握。
　　2.在平行四边形和梯形的认识方面，教材着重讲解平行四边形的特征以及它与正方形和长方形的关系。梯形在教材中是第一次正式出现，除教学梯形的特征外，还着重说明它与平行四边形的联系和区别。至此，几个常见的四边形之间的关系教学完成。
　　3.有层次的安排作图教学。根据《课程标准（2022）》的要求，教材删去画平行线的内容，保留了画垂线的内容。但在习题中仍借助一些辅助手段，安排画平行线的活动。例如61页练习十第4（1）题让学生在点子图中画平行线，第5题，判断是否是平行线。这样在不断增加作图难度的前提下，借助直观，加深学生对平行线特征的认识。在学生掌握画垂线方法的基础上，教材还编排了利用该方法画长方形和正方形的例题，以及画平行四边形和梯形的高。逐步提高学生作图能力，累积操作的活动经验。
4.本单元的重点是垂直与平行的认识、平行四边形和梯形的特征。难点是垂线的画法。在考试中，画垂线（包括平行四边形和梯形的高）是作图题的常考点，平行四边形的的特征以及它与正方形、长方形的关系是判断题的常考点。
（三）、学生认知情况
1.在此之前，学生已经掌握了直线、线段和射线的联系与区别，认识了角、长方形、正方形和三角形。本单元的学习将在研究各类“线”单一对象特征的基础上，研究同一平面内两条直线未知的相互关系，增强学生对事物关联性的关注意识。
　　2.学生对几何图形的认识也有一定的基础。本单元的学习内容对学生来说比较抽象，教学中要结合这些初步认识和生活经验，通过动手操作、小组合作探究，探索出平行四边形和梯形的特征，加深对几何图形的认识和理解，有助于对学生自主探究能力的培养。
二、单元目标拟定
（一）、知识与技能
了解并熟练判断同一平面内两条直线的位置关系，掌握平行四边形、梯形的特征和关系，会画已知直线的垂线，感知垂直线段及与高的关系；会画给定长度的长方形。
（二）、过程与方法
在观察，操作，分析，概括和判断等活动中，经历探索平行四边形和梯形基本特征的过程。
（三）、情感态度与价值观
进一步积累认识图形的经验，发展空间观念和数学思考能力的培养。
三、关键内容确定
（一）、教学重点
1、正确理解相交，互相平行，互相垂直等概念。
2、掌握垂线的画法，能灵活运用绘图方法来画图。
3、会利用画垂线和画平行线的方法准确的画长方形。
4、进一步认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征，会画平行四边形的高。
5、理解平行四边形的特征以及梯形高和底的意义并会画梯形的高。
（二）、教学重难点
1、理解平行与垂直概念的本质特征，通过画垂线能解决生活中的具体问题.
2、会利用画垂线和画平行线的方法准确的画长方形。
3、发现平行四边形的特征，理解平行四边形的特征通过动手操作、自主探究等解决问题的方法，积累活动经验。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的 眼光 观察现实世界
会用数学的 思维 思考现实世界
会用数学的 语言 表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。我认为就是“数学化能力”。就是培养孩子们在真实的情境中，用数学的眼光进行抽象，进而转化成一个数学问题，然后用数学的语言和思维进行解释，最终推广应用回到现实世界，又在迁移应用中，发现新的问题，形成一个循环的过程。将来，孩子们走向未来社会，才能会想事，能做事。我想这就是我们进行数学研究的价值与灵魂。基于这个理念，我尝试整合了整单元内容。
综上所述，我们认为把“平行四边形和梯形”单元双线合并成以平行和垂直为主线的单元，探究平行四边形、梯形的特征和关系与生活中的实际问题紧密联系起来。整合成两个阶段的学习。
本单元教材的具体编排结构如下:
在“图形与几何”领域中，垂直与平行、平行四边形和梯形都对后续知识的学习有很重要的作用。它是学生五年级上册学习平行四边形、三角形、梯形等多边形面积的基础，也是后面进一步学习长方体、正方体等几何形体的基础。
（一）、精心设计操作活动，加深对图形本质特征的认识
本单元几何概念较多，为帮助学生有效认识图形的本质特征，教材编排了大量的操作活动。如:在认识平行和垂直时，教材呈现让学生在一张纸上任意画两条直线，引领学生通过观察、分类、讨论、比较等多种活动，体会在同一平面内两条直线的位置关系有相交和不相交两种情况，并在此基础上帮助学生建立平行的表象，引导学生自主建构平行线的概念。
教学垂直是在学生经历了分类和认识了平行线的基础上，进一步引导学生通过测量，发现两直线相交又有两种不同的情况，即有成直角的和不成直角的，进而建立垂直的表象，抽象出垂直的概念。
再如：教学平行四边形的特性时，教材是从两个方面来体现这一特性的：首先例题是通过拉动四根吸管串成的长方形这一操作活动，引导学生发现平行四边形易变形、不稳定的特性；其次下面的“做一做”第1题则是通过用小棒摆平行四边形的活动，让学生发现在平行四边形的边确定的情况下，形状还是不能确定，也就是不唯一性这个角度说明了平行四边形的不稳定性。
不论是用四根吸管来拉动，还是用小棒来摆，都需要让学生经历操作、观察、比较等过程，从而发现规律、概括特点，在活动中体验到变与不变的数学原理。
让学生通过观察、操作等活动认识图形特征，不仅能帮助学生正确建立几何概念，同时也有助于学生初步空间观念的培养。
（二）、加强作图指导，培养学生作图能力
本单元涉及许多作图的内容，如画垂线、画长方形或正方形、画平行四边形和梯形的高等。但教材中很少呈现文字的作图步骤与方法，所以教学时要加强作图的训练和指导，重视作图能力的培养。例如用三角尺过直线上一点画已知直线的垂线的步骤是：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合；从直角的顶点起，沿着另一条直角边画出的一条直线，就是已知直线的垂线（直角顶点是垂足）。而过直线外一点画已知直线的垂线，则可在前面的基础上，引导学生进行迁移类推，让他们自主去尝试画，并用自己的语言尝试概括画图的步骤和方法，使学生在学习过程中，获得成功的体验。又如，在“做一做”中画已知直线的垂线的练习，教学时，要呈现不同位置的直线，让学生自己尝试去画，提高学生作图的灵活性。
（三）、联系生活实际，拓展教学的资源
本单元教材在编排时，有意识地将数学学习与生活实际结合起来，提供了大量的现实素材。如借助于生活实物或原型分别引出平行四边形和梯形，通过伸缩门、升降机等生活实例，使学生体会平行四边形容易变形这一特性在生活中的实际运用。要求学生思考和讨论怎样测定立定跳远的成绩、怎样挂画又快又正，怎样修路最近等，这些都能使学生体验到数学与生活的密切联系，感受到数学的应用价值。在实际的教学过程中，教师一方面充分发挥这些素材的作用；另一方面要做好必要的充实和拓展。注重学生已有的生活经验，将视野从课堂拓宽到生活的空间，并引导他们去观察生活，应用所学知识解决；生活中的问题，进一步认识和体会数学知识的重要用途，增强数学应用意识。
本单元的教学重点是正确理解平行与垂直的概 念；掌握平行四边形和梯形的特征。教学难点是画已知直线的垂线，画平行四边形和梯形的高；理解平行四边形、梯形、正方形、长方形之间的关系。
五、关键活动设计——平行与垂直
课时分配：
平行与垂直
例1：认识平行与垂直
教材去掉了情境引入，直接通过学生在平面上画任意两条直线来引入，这样编排可引导学生体会在同一平面内两条直线位置关系有相交和不相交两种情况，就能比较好地回避了“重合”这种情况。分别教学平行和垂直，重点更突出、线索更清楚。
教材第一次给出了平行的记法与读法，不但可以培养学生的符号意识，而且体现了数学的简洁之美，能够与第三学段的学习做好对接。后面“量一量”的活动意在通过测量，引导学生发现两条直线相交的两种情况，认识到垂直是在相交的一种特殊的位置关系，从而在感知与体验中建构垂直的概念。
教材呈现了三组不同方向的垂直情况图，加深对垂直特征的理解，帮助学生建立垂直的表象。
例2：画垂线
本套教材删去了平行线的画法，但保留了垂线的画法，因为后边画高要用到画垂线的知识。首先呈现了用两把三角尺或量角器来画垂线，意在尊重学生已有的知识和经验，放手让学生自己来探索画法。接下来，通过三幅连续的动态图画已知直线的垂线的方法，重点突出了画的过程。
《平行与垂直》教学设计
【教学目标】
1.经历从生活中的实物抽象出几何图形的过程，初步认识平行线与垂线，理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系。
2.在观察、讨论的过程中理解知识本质，建立平行与垂直的概念。
3.经历两直线动态变化的探索过程，感受平行、相交、垂直的区别与联系，培养学生的空间观念和空间想象能力。
4.通过动手操作、自主探究等解决问题的方法，积累活动经验。
5.感受自学的乐趣，体会数学的严谨、简洁之美，学会学习。
【教学重难点】
重点：理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念。
难点：理解“平行线”概念的本质属性，即平行线之间的距离处处相等。
【教学过程】
课前前测：教材呈现的四种两条直线的位置关系？现实中，孩子们真的能画出这四种吗？
今天咱们一起来认识平行与垂直。(板书课题：平行与垂直)
（一）活动一：依据学情，建立表象
课前：让学生把所理解的平行和垂直在前测单上表示出来。
反馈：课件依次呈现有代表性的学生作品，并让他们说一说想法。
（1）展示平行作品：
（2）展示垂直作品
【设计意图：本节课的学习起点建立在学生对平行与垂直的原认知基础之上，让学生尝试将生活中的平行与垂直现象画在纸上。设计课堂前侧这一数学活动，一是让学生初步经历由物到形的抽象过程，二是充分暴露学生的原认知，确定学生的学习起点，明确后续的教学目标。】
（二）活动二：直观抽象，内化概念
1、深入理解“相交”
①第一副作品：为什么添了一条红色的直线？
②第二幅作品：判断：它们互相平行吗？说一说想法？
想象：如果这两条直线向两端无限延伸会怎样？
验证并出示相交关系：（师板演延长两条直线的过程）相交的这个点我们称为交点。这两条直线的位置关系叫做“相交”。
【设计意图：此环节的设计，一是为了让学生明确平行是“两条直线”之间的关系；二是让学生认识“相交”，为后续理解平行的本质属性——“不相交”做好铺垫。】
③第三幅作品：它们互相平行吗？说说理由。

追问：（课件演示延长两条直线）没看见交点，你凭什么说这两条直线会相交？
小结：（课件出示两条直线之间的距离）它们之间的距离越来越小。原本他们的距离是（5格），慢慢变成了（4格），后来变成了（3格），越往后他们的距离可能是2格、1格，最终会相交！
想象：交点会在哪儿？并让学生指一指。
2、抽象概括“平行
①将课件演示直线b慢慢调整的过程：
判断：平行了吗？
追问：你怎么这么坚定地认为“平行”了！
（课件出示平行线之间距离。）
②闭眼想象，把它们向左边延长延长再延长，会相交吗？把他们向左边延长延长再延长，会相交吗？
小结：不管怎么延长，两条直线的宽度都是一样的，他们就不可能相交。像这样不相交的两条直线叫做平行线。我们就说直线a与b互相平行，还可以说a平行于b。记作：a//b
③让学生用手势创造平行线，并找一找生活中的平行线。
④初步概括：什么是平行线？
【设计意图：此环节的设计紧紧围绕“什么是平行？”这个第一大核心问题组织数学活动，并由这个核心问题带出一条问题链，让学生在辨析、想象中理解和内化平行的概念。由“相交”引出“不相交”，让学生借助格子图观察到“平行线之间的距离处处相等”，这两条直线“永不相交”，从而加深对“平行”概念本质的理解。此环节的设计不仅注重对概念内涵的理解，还注重对概念外延的延伸。】
3、明晰“垂直”
①呈现学生修改的垂直作品并判断说理。
②判断：它们互相垂直吗？说说理由。
图1的两条直线没有相交成直角，不是垂直；图2的两条直线相交成了直角，是垂直。（师把图1从“垂直”的位置拿到“相交”的位置）
③验证：用三角尺验证图2中的角是否是直角并标上角的符号。思考：那剩下的三个角是什么角？
④小结：原来只要验证一个角，就能知道四个角都是直角。像这样，两条直线相交成直角，就说两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做垂足。直线a是直线b的垂线，记作a⊥b，（板书：a⊥b），读作：a垂直于b。
垂直是相交的一种特殊情况（将垂直的图案贴在相交中并圈出相交和垂直的韦恩图）。
⑤变式：课件依次出示图2的变式，让学生判断是否垂直并说理由。
【设计意图：此环节的设计围绕“什么是垂直？”这个第二大核心问题展开教学，让学生在辨析“相交”和“垂直”关系中理解垂直的概念，并得出“垂直”是“相交”的一种特殊情况。此环节还设计了几组看似不垂直实则垂直的现象，让学生去思辩，经历“判断——辨析——想象——验证”的过程，加深对垂直概念本质的理解。】
（三）活动三：巩固练习，完善认知
1、基本练习
下图中哪些直线互相平行？哪些直线互相垂直？用字母表达的方式分别记录在学习单上。
【设计意图：在概念初步建立之后，让学生解决问题，内化概念。在这个环节中，我先让学生对同一平面内的6条直线的位置关系进行辨析，从中了解学生是否已将原始默会的、不明确的认知提升为明确的、清晰的数学概念。】
2、变式练习
①将平面的6条线变成长方体的6条棱。
思考：如果在长方体的上面再来一条直线h，哪一条直线和h平行？
追问1：那与直线h平行的直线除了直线c和d之外，还可以画多少条？
追问2：你们想象到的无数条直线都在哪儿？都在上面这个平面上吗？
思考：如果下面的面再来一条直线k，k和h互相平行吗？
②讨论：直线h和k在不同的面上，你怎么说它们是互相平行的呢？ 演示构建同一个平面的过程。
追问：还能找到和直线k平行的直线吗？演示构建同一个平面的过程
小结：看来，只有在“同一个平面内”不相交的两条直线才互相平行！
【设计意图：这个变式练习有四个层次：一是让学生体会6条直线在“同一平面”内，再通过课件演示由面到体的变化过程，从运动变化的角度，让学生想象互相平行的两条直线所在的平面。二是找一找和h平行的直线，体验同一平面内三条直线两两互相平行的关系；三是思考h和k直线的关系，构建“同一平面”关系；四是转动k直线,感悟不同平面的两直线关系。这样在层层变式中实则是巩固练习，却对于“同一平面”的知识做了进一步的延伸，同时，也发展了学生的空间观念。】
3.梳理知识
回忆一下，二年级时我们学移和旋转，这和今天学行与垂直有什么联系呢？其实啊，一条直线经过平移后就可以得到一组平行线，两组平行线就可以组成一个平行四边形；而一条直线经过旋转之后就可以得到一组垂线，两组垂线就可以组成一个长方形。平行四边形和长方形是我们后续要学习的内容。
【设计意图：此环节对平行和垂直的知识进行了追溯，沟通了平行和平移、旋转与垂直的联系。同时也为后续学习的知识，平行四边形和长方形的知识做了延伸与拓展。有助于学生对知识体系的建构。】
（四）板书设计
【设计意图：通过直观的板书，使得知识点层次分明、重点突出、布局合理、图文并茂，突显数学学科的特色，使学生理清本节课的知识点，有利于把握重点，起到深化巩固的作用。】

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