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4.1指数
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：实数指数幂的运算及其性质.
难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂.
三、教科书编写意图及教学建议
指数函数是以指数为自变量的一类函数，其定义域为实数集.为研究指数函数，需要把指数幂运算的范围进一步推广.类似于先把整数推广到有理数，然后把有理数推广到实数一样，本节教科书也是将指数幂由整数指数幂推广到有理数指数幂，然后推广到实数指数幂，进而为指数函数的学习奠定基础.
在指数幂运算的推广过程中，“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍然成立”是核心思想.对此，学生在初中学习整数指数幂时，在由正整数指数幂到负整数指数幂的推广过程中已经有所体会，本节教学中要让学生进一步体会.
学习指数幂的运算，必须解决无理数指数幂的问题.与对无理数的理解一样，对无理数指数幂的理解是本节教学的难点.对此，教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想引入无理数指数幂.教学中，可以类比初中用有理数逼近无理数的教学，让学生通过经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向，用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；然后在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂.由此让学生体会其中的极限思想，并从数和形两个角度认识到是一个确定的实数，进而理解无理数指数幂.
4.1.1n次方根与分数指数幂
学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如的以分数为指数的幂，那么这种以分数为指数的幂的意义是什么？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么联系和区别？这些都是自然而然要研究的问题.教科书就是从这样的问题出发引入本节内容.
平方、开平方以及立方、开立方是学生熟悉的运算，它们两两互为逆运算.为了一般化，教科书首先把平方根、立方根的概念推广到次方根，介绍次方根的性质；然后在此基础上，建立次方根与分数指数幂的关系，说明分数（有理数）指数幂的意义，并把整数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂的情形.
1.次方根的概念及其性质
初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根.类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，因为，所以把叫做16的4次方根；同样，由于，所以把2叫做32的5次方根.以此类推，就可以得出次方根的概念.这种推广以具体的例子为载体，由特殊到一般，由具体到抽象，学生理解起来并不困难，通过次方根的概念，也容易得到其性质，即
（1）当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示，正的次方根与负的次方根可以合并写成.
（3）负数没有偶次方根.
（4）0的任何次方根都是0，记作.
进一步，根据次方根的意义，可以把实数的次方根推广到次根式，实现数到式的推广，而且数的性质可以自然地推广到式，这就是数式通性在次根式中的表现，由此我们容易得到教科书105页探究栏目中问题的答案：
当为奇数时，；
当为偶数时，
2.例1的设计及教学
例1的作用是巩固次方根的概念，以及前面探究得到的关于的性质.前3个小题涉及的都是具体的数，第4小题涉及字母.解决问题时，要特别注意当为偶数时最后结果的准确表示以及化简.例如对于最后一个小题，由于涉及字母，，其结果要用绝对值的形式表示，所以需要对这两个字母的大小关系进行分类讨论之后再化简.
3.次方根与分数指数幂的关系
以次方根的概念及其性质为基础，教科书进一步研究了次方根与分数指数幂的关系.对于根式的被开方数的指数与根指数，存在整除与不能整除两种情况.教科书首先通过具体的实例说明，当根式的被开方数，如（看成幂的形式）的指数10能被根指数5整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.这样，就把的5次方根与分数指数幂联系起来，这种联系是非常自然的.整除的情况研究清楚了，自然就会提出“当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式”的问题.这也就是教科书105页的“思考”提出的问题，这是一个非常重要的问题，这个问题突破了，分数指数幂的推广就顺理成章了.
教科书仍然是通过具体的实例，说明根据次方根的概念及其性质，当根指数不能整除被开方数的指数时，为了使整数指数幕的运算性质，如仍然成立，根式可以表示为分数指数幂的形式，如
，，.
在将次方根表示为分数指数幂的过程中，核心思想是指数幂的运算性质仍然成立.这种兼容性为运算带来极大的方便，这同时说明了次方根表示为分数指数幂的合理性.至此，关于正数的正分数指数幂的意义
.
就顺理成章了.于是，在条件，，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式，指数由整数推广到了正分数.
类似正整数指数幂到负整数指数幂的推广，根据正分数指数幂的意义，可以规定正数的负分数指数幂的意义
.
负分数指数幂的规定，是完全类比负整数指数幂的规定.这种规定是合理的，它保持了正分数指数幂的运算性质.
同样地，与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.
由上可知，教科书通过具体实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，建立了分数指数幂与次方根的关系：分数指数幂是次方根的一种表示形式，两者是统一的.同时这种表示为后面的运算带来了极大的方便.另外，通过根式与分数指数幂的互化，可以巩固、加深对于根式和分数指数幂的理解.
4.有理数指数幂的运算性质
对有理数指数幂的运算性质，下面通过次方根与有理数指数幂的关系给出证明.我们以（1）为例.
首先考虑，的情况.
由于，是有理数，所以，，其中，，，都是正整数，且与互质，与互质，所以
.
对于，的情形，可以转化为正分数指数幂的情形进行证明.
5.例2～例4的设计及说明
例2通过具体的数字运算，巩固分数指数幂的概念、意义以及分数指数幂中指数的运算性质.
例3通过一般表达式的运算，巩固分数指数幂和次方根的互相转化，特别是把次方根转化为分数指数幂进行运算，把结果表示为分数指数幂的形式.
例4具有一定的综合性，需要综合运用次方根、分数指数幂的概念，分数指数幂的运算性质，以及式的加减乘除等进行运算，目的是巩固有理数指数幂的运算性质.
例3与例4中，为了考虑问题的方便，而且主要是理解有关概念及运算性质，我们假定作为被开方数的字母均为正数.实际上，考虑到后面学习指数函数及对数函数，字母为负数有时没有意义.
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
1.如何理解无理数指数幂
指数幂中的指数由整数推广到有理数，比较自然，理解起来也不难.但是，指数是无理数时，这个指数幂有没有意义？如果有意义，其意义是什么？
有理数指数幂的意义比较明显，它可以看成次方根，但无理数指数幂的意义就没有那么明显.在有理数扩充到实数的过程中，无理数的产生既有实际的背景，又有数学背景，如单位正方形对角线的长度.但是幂的指数由有理数推广到实数，指数变为无理数，很难有实际背景，这完全是数学理性思维的结果.不过这种推广，从思维的角度看，也是自然的.
在有理数推广到实数的过程中，我们通过有理数的不足近似值和过剩近似值，运用夹逼方法，认识了无理数，得出它的近似值，并说明它是无限不循环小数，给出是无理数的证明.同样，对于无理数指数幂，可以运用有理数推广到无理数的经验，通过有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法，认识无理数指数幂的意义.
对于无理数指数幂的认识，教科书安排了一个探究栏目，从具体的开始.假设有意义，由的不足近似值（有理数）和过剩近似值（有理数），根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，计算相应的，的值，并填入表中.可以发现，当的不足近似值和过剩近似值逐渐逼近时，相应的近似值都趋向于同一个数.这时，从差趋向于0，也可以进一步说明，都趋向于同一个数，这个数就是.也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂
和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果.由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）.逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数，这个数就是.
无论是还是，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向——不断增大的方向（单调递增）和不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，判定，不仅在数轴上确实存在，而且是唯一的.这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案.这种方法在后面学习导数、积分等内容时，学生会感受得更加深刻.
教科书通过“探究”中的表格和图4.1-1的数轴这两种方式展示逐步逼近的过程.用表格展示数据，呈现具体的数值，非常醒目；用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，两者结合，相得益彰.这样逐渐逼近的过程，比较直观，学生不难理解.通过逼近，使学生认识任何正数的实数次幂都是确定的实数这样一个结论.教学时，可以利用计算工具计算，将的不足近似值和过剩近似值逐步精确，从而更好地看到的不足近似值和过剩近似值逼近的过程；也可以利用信息技术作图，在数轴上将附近逐步放大，直观展示上述逼近过程，加深学生对于无理数指数幂的理解.
教科书接下来安排了一个思考栏目，让学生类比的探究过程，探究.也是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应.
在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂
是一个确定的实数.这个结论使得以后能在实数范围内定义指数函数，在区间内定义对数函数.这样，我们把指数幂中指数的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数，即任何正数的实数指数幂是一个确定的实数.
应当注意的是，在指数幂中，通常要限定这个条件.这是为了保证后续的指数函数对于任意实数都有意义.因为只有正数的任何实数次幂才都有意义，如果底数是0，那么指数就不能为0或负数，否则就没有意义；同样地，如果底数是负数，指数为，仍然没有意义.因此我们限定这个条件.
本节中，无理数指数幂的理解是教学的一个难点.高中阶段只需知道任何正数的实数指数幂都是确定的实数即可，只要求能通过逼近的方法直观认识它，并不要求严格的证明.但是逼近的思想、用有理数近似表示无理数的方法，则需要学生掌握.
2.实数指数幂的运算性质
对实数指数幂的运算性质，我们也可以进行推导，推导的基础是把任何一个实数表示为有理数序列的极限，通过极限运算和有理数指数幂的运算性质进行证明，这里从略.

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