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《指数》能力探究
概括理解能力、分析计算能力 根式的化简
1.在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算,以达到化繁为简的目的.
对于根式的计算结果,并不强求统一的表示形式,一般用分数指数幂的形式来表示.若有特殊要求,则按要求给出结果,但结果中不能同时含有根式和分数指数幂.也不能既有分母又含有负指数幂.
2.根式的化简思想和注意点
(1)将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和公式、立方差公式等),将所求代数式恰当地变形,达到化繁为简的目的.
(2)在根式计算中,含有(为正偶数)的形式要求,而中可以是任何实数.
(3)对于形如的双重根式,当满足时,有.
典例1 [数学运算、数学抽象]计算下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
解析:理解根式的意义是化简各式的关键,具体解题过程如下:
(1)原式.
(2)原式.
当时,原式;
当时,原式.
∴原式
(3)原式.
分析计算能力 指数幂的化简与运算技巧
1.化简指数幂的几个常用技巧
(1).
(2)(式子有意义).
(3)1的代换,如0).
2.指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里面的,没有括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,一般要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.
3.常用指数幂的变换技巧
已知幂 目标指数 变换技巧
差: 除:
和: 乘:
倒数: 换元、乘方:令,则
积: 乘方:
典例2 [数学运算]计算下列各式的值.
(1);
(2);
(3);
(4).
解析:本题主要考查根据指数幂的运算性质和运算顺序解答问题.具体解题过程如下:
(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
(4)原式.
简单问题解决能力 解决条件求值问题的方法
1.对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
2.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下:
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
(7).
(8).
(9).
典例3 [数学运算、逻辑推理](1)(2018湖北荆州二中高一月考)若,且,则的值为多少
(2)若,求的值.
解析:要求代数式的值,先化简再代入,注意应用公式.
具体解题过程如下:
(1)∵,∴,
∴,由得,
∴.
(2),则.
综合问题解决能力 解决有关幂的综合问题的常用方法
解决有关幂的综合问题时,首先要善于观察、分析,并对它进行适当地加工、处理、变形,以创造运用公式和幂的有关性质的条件,然后进行化简、求值即可;其次,要注意方程思想、整体代入思想、化归与转化思想、换元思想等数学思想方法的运用.
(1)换元法:运用换元法使公式的使用更清晰,过程更简洁.所以在解题时先审题,比较各种思路的优劣,然后动手做题,养成良好的思维习惯.
(2)代换法:对于某些实数指数幂的求值问题,不需要将未知数一一求出来(有时也根本求不出来),此时就需要认真分析已知式和所求式的结构特征,通过变形并结合乘法公式把它们联系起来,然后用“整体代换”或“先求值后代换”的方法求值,常用的变形公式有:,.
(3)对于指数幂等式的证明问题,常常是将指数幂化为同底,利用指数幂相等的规律进行证明.解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换,以及利用参数找到已知与结论的联系,这样才能使问题迅速得到解决.
典例4 [逻辑推理、数学运算](2019江西九江调考)设,为不等于1的正数,并且实数满足关系式.求证:
(1)若,则;
(2)若,则.
解析:本题是指数幂的综合问题,掌握指数幂的性质并运用是解题的关键.具体解题过程如下:
(1)由得将①代入②,得,
.
(2)由,得.
.
由,得,即.两边同乘,得.
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