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海淀区2022—2023学年第一学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B A D B C A D
二、填空题
（11） 5 （12） (0,1) (1,+ ) （13）答案不唯一，小于 1 的实数均可
（14）2； 1 或 1 （15）2； (0,2)
三、解答题
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d ，
因为 a2 = 3, S5 = 25 ,
a1 + d = 3,

所以 5 4
5a1 + d = 25.
2
a =1,
解得 1
d = 2.
所以 an = 2n 1 .
（Ⅱ）选择条件③.
因为b1 =1,q = 3，
所以b = 3n 1 . n
因为 am = bk ,
即 2m 1= 3k 1 .
3k 1 +1
得m = .
2
因为 k N* , 3k 1为奇数，3k 1 +1为偶数，
高三年级（数学）参考答案 第1页（共6页）
所以m N* .
3k 1 +1
可得m = .
2
（17）（本小题 14 分）

解：（Ⅰ） f ( ) = 2sin( )cos( ) + 2cos2 ( ) 1
4 4 4 4
2 2 2
= 2( ) + 2( )2 1
2 2 2
= 1 .

（Ⅱ） f (x) = sin 2x + cos 2x = 2 sin(2x + ) .
4
2
所以 f (x) 的最小正周期为T = = .
2
5
（Ⅲ）因为 0 x , 所以 2x + ,
2 4 4 4

当 2x + = ，即 x = 时， f (x) 取得最大值，
4 2 8

所以 f (x) 在区间[0, ]上的最大值为 f ( ) = 2 ；
2 8
5
当 2x + = ，即 x = 时， f (x) 取得最小值，
4 4 2

所以 f (x) 在区间[0, ]上的最小值为 f ( ) = 1 .
2 2
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） f (x) 的定义域为 R.
f '(x) = x2 2x ，令 f '(x) = 0， x1 = 0, x2 = 2 .
x ( ,0) 0 (0,2) 2 (2,+ )
f '(x) + 0 0 +
f (x) 极大值 极小值
由表可得， f (x) 的单调递增区间为 ( ,0),(2,+ )；单调递减区间为 (0,2) .
4 4
（Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知 f ( 1) = , f (0) = 0, f (2) = , f (3) = 0.
3 3
4
①当m ( 1,2)时， x ( 1,m], f (x) ，不符合题意；
3
4
②当m [2,3]时， f (x) 在区间[ 1,m]上的取值范围是[ ,0] ，符合题意；
3
③当m 3时，由 f (x) 在区间 (2,+ )上单调递增可知 f (m) f (3) = 0，不符合题意.
综合上述，m [2,3]
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）在△ABD中， BAD = 75 ， ABD = 45 ,所以 ADB = 60 .
AD AB AD AB
由正弦定理： = ，得 = ，
sin ABD sin ADB sin 45 sin 60
高三年级（数学）参考答案 第2页（共6页）
2
sin 45
所以， AD = AB = 2 12 = 4 6 (km).
sin 60 3
2
2 3 1 6 + 2
sin BAD = sin 75 = sin(45 + 30 ) = ( + ) = ,
2 2 2 4
所以△ABD的面积为
1 1 6 + 2
S△ABD = AB AD sin BAD = 12 4 6 = 36 +12 3 ( km
2 ).
2 2 4
（Ⅱ）由 BAC = 30 ， ABC = 60 , 得 CAD = 45 , AC = 6 3 .
在△ACD 中由余弦定理，得
2
CD2 = AC2 + AD2 2AC AD cos CAD = 36 3+16 6 2 6 3 4 6 = 60 .
2
所以，CD = 2 15 (km).
即点 C, D 之间的距离为 2 15 km .
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）当 xa = 2时， f (x) = e 2sin x，
则 f (0) =1.
f '(x) = ex 2cos x ， 则 f '(0) = 1 .
曲线 f (x) 在 (0, f (0))处的切线方程为 y = x +1.
（Ⅱ）当 时，记 g(x) = f (x) 2 = exa =1 sin x 2 ，
则 g '(x) = ex cos x .
当 x 0 x (0, )时， e e =1,cos x 1 ,
所以 g '(x) g '(0) = 0 .
所以 g(x)在 (0, ) 上单调递增.
因为 g(0) = 1 0, g( ) = e 2 0 ,
所以函数 y = f (x) 2在区间 (0, )上有且仅有一个零点.
（Ⅲ）设 h(x) = f (x) + cos x 2 = ex asin x + cos x 2 .
则 h '(x) = ex acos x sin x .
设 s(x) = ex acos x sin x .
则 s '(x) = ex cos x + asin x .
高三年级（数学）参考答案 第3页（共6页）
因为当 x [0, ]时， ex e0 =1,cos x 1,sin x 0 ,
所以当 a 0时， x [0, ]时， s '(x) 0，
所以 h '(x)在区间[0, ]上单调递增 (*) .
（1）当 a 1时， h '(0) =1 a 0， h '( ) = e + a 0 ,
且 h '(x)在区间[0, ]上单调递增，
所以存在唯一 x (0, ) ，使得 h '(x ) = 0 . 0 0
当 x (0, x ) 时，0 h '(x) 0，
所以 h(x) 在区间 (0, x0 )上单调递减.
可得 h(x0 ) h(0) = 0 ，所以与题意不符.
（2）当 a =1时,
h(x) = ex sin x + cos x 2 .
h '(x) = ex cos x sin x
由 (*) 可知： h '(x)在区间[0, ]上单调递增,
所以当 x [0, ]时， h '(x) h '(0) = 0 .
所以 h(x) 在区间[0, ]上单调递增.
所以 h(x) h(0) = 0区间[0, ]上恒成立.
符合题意.
（3）当 a 1时,
h(x) = ex asin x + cos x 2 ex sin x + cos x 2 .
由（2）可知，此时 h(x) 0 在区间[0, ]上恒成立.
综上所述，实数 a 的取值范围是 ( ,1] .
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）数表 1 不具有性质 p(2) .
理由： | a a . 2,1 3,1 | + | a2,2 a3,2 | +|a2,3 a3,3 |=1 2
（ⅱ）存在. t = 3时，数表 2 具有性质 p(t) .
（Ⅱ）不存在数表 Am 2023 具有性质 p(6) .
假设存在m 使得数表 Am 2023 具有性质 p(6)，则
| a . i,1 ai+1,1 | + | ai,2 ai+1,2 | + + | ai,n ai+1,n |= 6(i =1,2, ,m 1)
即在这两行中，有 6 列的数不同，设其中有 k 列是第 i 行的数为 1，第 i +1行的数为 0，
则有6 k 列是第 i 行的数为 0，第 i +1行的数为 1.
所以，从第 i 行到第 i +1行，一共增加了6 2k 个 1，1 的个数的奇偶性不变. ……7 分
所以，任意两行中，1 的个数的奇偶性相同.
高三年级（数学）参考答案 第4页（共6页）
与数表 Am 第一行有 2023 个 1，最后一行有 0 个 1 矛盾. 2023
所以，不存在具有性质 p(6)的数表 Am . 2023
（Ⅲ） f (t) 的最大值的为 n +1 .
定义m 1行 n 列的数表 B(m 1) n ：
其第 i 行第 j 列为bi, j =| ai, j ai+1, j |，i =1,2, ,m 1( j =1,2, ,n) .
则bi, j {0,1}，且bi, j = 0表示 ai j ,ai b =1, +1, j 两数相同， i, j 表示 ai, j ,ai+1, j 两数不同.
因为数表 Am n的第 1 行确定，所以给定数表 B(m 1) n 后，数表 Am n唯一确定.
①先证 f (t) n+1 .
n
我们按照如下方式，构造数表 Bn n ：对于第 2s 1行和第 2s 行， s =1,2, , ，
2
令b2s 1,2s 1 =1,b = 0，b ， 2s 1,2s 2s,2s 1 = 0,b2s,2s =1
且在这两行其余的 n 2列中，任选相同的 t 1列都为 1，其他列都为 0.
于是可得到具有性质 p(t)的数表 A(n+1) n 如下：
第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 n-1 列 第 n 列
第 1 行 1 1 1 1 … 1 1
第 3 行 0 0 1 1 … 1 1
第 5 行 0 0 0 0 … 1 1
… …
第 n+1 行 0 0 0 0 … 0 0
即对于每个 t {2,3, ,n 1}，当m = n+1时，都存在数表 Am n具有性质 p(t) .
所以 f (t) n+1 .
②再证 t = n 1时， f (t) n+1 .
记 S . i = ai,1 + ai,2 + ...+ ai,n (i =1,2, ,m)
因为 t = n 1是奇数，
高三年级（数学）参考答案 第5页（共6页）
所以 Si 与 S 的奇偶性不相同( i =1,2, ,m 1i ). +1
因为 S1 = n，Sm = 0 ，
所以m 是奇数.
我们考虑 B(m 1) n 的第 i 行和 i +1行，
因为 t = n 1，所以这两行中都有 n 1列为 1，1 列为 0.
若这两行相同，则数表 A 的第 i 行和第 行相同，m n i + 2 Si = Si . +2
若这两行不同，设其分别在第 p,q 列为 0 (p q)，则数表 A 的第 i 行和第m n i + 2行只
在第 p,q 列上不同，其他列都相同， | Si Si+2 | 2 .
因为 S1 = n,Sm = 0 ，其中 n 是偶数.
m 1
所以 n =| Sm S1 |=| Sm Sm 2 + Sm 2 Sm 4 + + S3 S1 | 2 .
2
所以m n+1，即 f (n 1) n+1.
结合①， f (n 1) = n +1.
综上所述， f (t) 的最大值的为 n +1 .
高三年级（数学）参考答案 第6页（共6页）2022年北京市海淀区高三数学期中考试
本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1. 已知全集，集合，则
A. B.
C. D.
2. 在同一个坐标系中，函数与的图像可能是
A B
C D
3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长均为，则
A.
B.
C.
D.
4. 若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为
A. B. C. D.
5. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，角与角均已为始边，它们的终边关于直线对称. 若，则
A. B. C. D.
7. 已知函数. 甲同学将的图像向上平移个单位长度，得到图像；乙同学将
的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图像. 若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是
A. B. C. D.
8. 已知函数，则“”是“为奇函数”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9. 若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是
A. B. C. D.
10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为
（参考数据：，）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 若复数，则_________.
12. 函数的定义域是_________.
13. 已知向量，. 若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为_________.
14. 若函数和的图像的对称中心完全重合，则_________；_________.
15. 已知函数.
①当时，的极值点个数为_________；
②若恰有两个极值点，则的取值范围是_________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
已知等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项. 若，求.（用含的式子表示）
条件①：； 条件②：； 条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分.
17.（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期；
（Ⅲ）求在区间上的最大值和最小值.
18.（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若在区间上的取值范围是，求的取值范围.
19.（本小题14分）
某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在处观测该动物种群. 如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，.（注：点在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点之间的距离.
20.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
21.（本小题15分）
对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，
. 对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质：
①；
②.
（Ⅰ）以下给出数表和数表.
1 1 1
0 1 0
0 0 0
1 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 1
1 1 0 1
0 0 0 0
数表1
数表2
（ⅰ）数表1是否具有性质？说明理由；
（ⅱ）是否存在正整数，使得数表2具有性质？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）给定偶数，对每一个，将集合中的最小元素记为. 求的最大值.

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