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专题五 数列
考向(一) 数列的概念及简单表示法
1.(2020全国Ⅱ，理12)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列。 满足 且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列 是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是( )
A.11010… B.11011…
C.10001... D.11001..
A.5 B.8 C.10 D.15
(2021新高考全国Ⅰ，16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12 dm,20dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和 S =240dm , 对折2次共可以得到5dm×12 dm,10dm×6 dm,20dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和 S =180dm ,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么
(2020全国Ⅰ,文16)数列{aN}满 前16项和为540,a = .
5.(2021全国甲,理18)已知数列an的各项均为正数，记SN为an的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列·是等差数列； ③a =3a
6.(2021全国乙,理19)记Sn为数列an的前n项和，b，为数列{sn}的前n项积.已知
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
8.(2020全国Ⅲ,理17)设数列 n满足
(1)计算a ,a ,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列 n的前n项和Sn.
9.(2019全国Ⅱ,理19)已知数列 an 和 bn 满足 a
(1)证明: 是等比数列， 是等差数列；
(2)求an和 bn的通项公式
考向(二) 等差数列、等比数列及其求和
1.(2021全国甲,文9)记 Sn为等比数列an的前n项和.若 S =4,S =6,则S6=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.(2020全国Ⅰ,文10)设an是等比数列且 a +a +a =1,a +a +a =2, 则a +a +a =( )
A.12 B.24 C.30 D.32
A.3699 B.3474 C.3402. D.3339
.
(2020全国Ⅱ,理6)数列an中, aman,,若-25,则k=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(2019全国Ⅰ,理9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知 S =0,a =5,则( )
7.(2019全国Ⅲ，理5)已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 a =3a +4a , 则 a =( )
A.16 B.8 C.4 D.2
(2020全国Ⅱ,文14)记Sn为等差数列 的前n项和.若 a =-2,a +a =2, 则
9.(2020新高考全国Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列 则 的前n项和为 .
10.(2019全国Ⅰ,理14)记为等比数列 的前n项和.若则S5= .
11.(2019全国Ⅰ,文14)记,为等比数列的前n项和.若则S4= .
12.(2019全国Ⅲ,理14)记Sn为等差数列 的前n项和.若a ≠0,a =3a , 则 .
13.(2019全国Ⅲ,文14)记为等差数列 的前n项和.若a =5,a =13, 则
14.(2021全国甲,文18)记为数列的前n项和，已知 且数列 }是等差数列.证明：是等差数列.
15.(2021全国乙,文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{ }满足 已知a ,3a ,9a 成等差数列.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:
16.(2021新高考全国Ⅱ，17)记为公差不为零的等差数列 的前n项和，若 a =5,a ·a =S ·
(1)求的通项公式；
(2)求使得 成立的n的最小值.
17.(2020全国Ⅰ,理17)设 {}是公比不为1的等比数列，a 为a ，a 的等差中项.
(1)求 的公比；
(2)若 a =1, 求数列. 的前n项和.
18.(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列. 满足 a +a =4,a -a =8.
(1)求 的通项公式；
(2)记为数列 的前n项和.若 求m.
19.(2020新高考全国Ⅰ，18)已知公比大于1的等比数列 满足 a +a =20,a =8.
(1)求的通项公式；
(2)记bm为{ }在区间(0,m](m∈N") 中的项的个数，求数列 bm的前100项和
20.(2019全国Ⅰ,文18)记 为等差数列 } 的前n项和.已知 S9=-a .
(1)若 a =4, 求 的通项公式；
(2)若 a >0, 求使得 的n的取值范围.
21.(2019全国Ⅱ,文18)已知.是各项均为正数的等比数列， a =2,a =2a +16.
(1)求{}的通项公式;
(2)设 bn 求数列{bn}的前n项和.专题五 数列
数列部分高考题一般以中等难度试题为主，占高考试卷的分数一般在10~17分，一般以等差、等比数列的定义、性质或以通项公式、前n项和公式为基础考点，常结合数列的递推公式进行命题，侧重于数列的基本量运算、数列的概念及表示法的理解，主要考查考生对基本方法与基本技能的掌握；由于数列是一类特殊函数，所以在对知识的基础性、综合性与应用性的考查上，常会与函数、不等式等知识交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想；通过数列在实际生活中的应用以及与数学文化有关的问题考查考生的数学抽象、数学探究以及数学应用、数学建模等素养.
考点频度
高频考点：
(1)数列自身内部问题的综合考查
如数列的递推公式、等差、等比数列的性质、通项公式及前n项和公式、数列求和；
(2)构造新数列求通项、求和
如“归纳、累加、累乘，分组、错位相减、倒序相加、裂项、并项求和”等方法的应用与创新；
(3)综合性问题
如与不等式、函数等其他知识的交汇问题，与数列有关的数学文化问题及与实际生活不关的应用问题以及结构不良问题.
4.备考策略
数列问题特别突出对考生数学思维能力的考查，所以问题的设计要始终贯穿观察、分析归纳、类比、递推、运算、概括、猜想、证明、应用等能力的培养.既通过归纳、类比、递推等方的应用突出对考生数学探究、理性思维的培养，又通过通项公式、递推公式、前n项和公式内容进行大量技能训练，培养考生逻辑思维、运算求解能力.从近几年的高考题可以看出，列部分主要以考查基础知识为主，同时锻炼考生的运算求解能力、逻辑思维能力等.重点考考生对数列基础知识的掌握程度及灵活应用，同时也要重视对通性通法的培养，所以在备中应把重点放在以下几个方面.
(1)对数列的概念及表示法的理解和应用；
(2)等差、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前n项和公式中基本量的运算或者利它们之间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深入剖析其特征，利用其规律进行恰变形与转化求解数列的问题；
(3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题；
(4)通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前n项
(5)数列与不等式、函数等的交汇问题；
(6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考探究与发现的学习材料，有意识地培养阅读能力和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生的数列的应用问题；
(7)结构不良试题、举例问题等创新题型.
考向(一) 数列的概念及简单表示法
1.(2020全国Ⅱ，理12)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列。 满足 且存在正整数m，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列 是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是( )
A.11010… B.11011…
C.10001… D.11001…
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以数列在通信技术中的应用为载体，考查考生对新定义问题的理解、综合知识的运用和探究能力，体现了新课程改革的理念.
[必备知识]本题考查的知识是对新定义中 含义的理解.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查的学科素养是理性思维、数学探索和数学应用.本题是数列在通信技术方面的应用，读题时要明确研究对象C(k)= 利用0-1周期序列满足的周期是5即m=5代入求解.结合选项代入检验巧妙解决问题.
[解题思路]∵周期为5，
将选项依次代入验证可知，只有选项C符合题意.故选C.
[答案]C
[失分剖析]本题综合性较强，试题难度较大，需要考生具极强的信息收集与理解能力.
A.5 B.8 C.10 D.15
[试题情境]本题是创新性题目，属于探索创新情境.本题以钢琴上的12个键构成原位大三和弦和原位小三和弦为载体，考查数列的应用.
[必备知识]本题考查的知识是数列的应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维、数学文化和数学应用.考生需根据条件k-j=3且j-i=4的数量关系i依次取合题意的1，2，3，4，5列举出5个原位大三和弦，再根据条件k-j=4且j-i=3的数量关系i依次取合题意的1，2，3，4，5列举出5个原位小三和弦，从而解决本题.本题将数列知识巧妙融合到钢琴上的12个键，题型新颖、设计巧妙.解题时要注意，讨论时按照一定顺序避免重复或者遗漏.
[解题思路]结合题意，原位大三和弦有 ，共5个，原位小三和弦有 ，共5个，故原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10.故选C.
[答案]C
3.(2021新高考全国Ⅰ，16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12 dm,20dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和 S =240dm , 对折2次共可以得到5dm×12 dm,10dm×6 dm,20dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和 S =180dm ,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么
[试题情境]本题是应用性、创新性题目，属于生活实践情境.本题以民间剪纸时不同折叠次数而得到不同规格的图形为背景，考查数列的通项及求和问题.体会由特殊到一般的数学思想.
[必备知识]本题考查的知识是列举归纳数列的通项公式，错位相减求和.
[能力素养]本题考查创新能力和运算求解能力.本题考查的学科素养是数学探索和数学应用.本题将实际生活中的典型事物与数学中的数列问题巧妙地联系在一起，考查了考生阅读分析材料，获取信息的能力.第一个空可以通过题目中所给的两个示例，类比推理得到对折4次后可以得到5种不同规格的图形.第二个空则需要考生先归纳出对折n次所得到的n+1种规格的图形的面积之和公式，通过观察可以看出这个公式是一个等差数列乘以一个等比数列，满足用错位相减法的条件，进而列式推导得到结果.
[解题思路]对折3次共可以得到 四种规格的图形，面积之和 S =4×30=120dm ;
对折4次共可以得到 五种规格的图形，S =5×15=75dm .
可以归纳对折n次可得n+1种规格的图形
则
①
②
①与②式相减，得
故
故
[答案]5
4.(2020全国Ⅰ,文16)数列{aN}满 前16项和为540,a = .
[必备知识]本题考查的知识是由数列的递推公式得通项公式，并项求和，累加求和.
[解题思路]思路1.当n为偶数时，有
则 2,
因为前16项和为540，所以
当n为奇数时， 由累加法得 所以 所以 解得 a =7.
思路2.由递推关系可得当n为奇数时， 所以有 a =a +2,a =a +8=a + 140;当n为偶数时所以8a +392+92=540, 解得 a =7.
[答案]7
[失分剖析]本题综合性较强，试题难度难，考生缺乏对n进行分类讨论的意识.
5.(2021全国甲,理18)已知数列an的各项均为正数，记SN为an的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列·是等差数列； ③a =3a ·
[解题思路]解若选①② ③
设数列 n的公差为d ，数列. 的公差为d .
∵当n∈N*时,
又
即 d =2a ,
∴a =a +d =3a .
若选①③ ②
设等差数列 an的公差为d.
∵a =3a ,∴a +d=3a , 则d=2a ,
是首项为 公差为 的等差数列.
若选②③ ①
设数列 的公差为d，则 即
即
即
当n≥2时, ,
当n=1时,a =S =a , 符合式
即数列{}是等差数列.
6.(2021全国乙,理19)记Sn为数列an的前n项和，b，为数列{sn}的前n项积.已知
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以一个数列的和与另一个数列的积之间的关系为载体，考查等差数列的判定及通项公式.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的证明 数列的前n项和与项的关系 数列的前n项积与项的关系以及消和(积)得到项(或项的递推关系)或者消项得到和(积)的递推关系.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路](1)证明当n=1时, b =S , 易
当n≥2时, 代入 消去Sn,得 化简得
故{bn}是以 为首项，为公差的等差数列.
由(1)可得 由 可得
当n≥2时 显然a 不满足该式.
故
(2)求 {an}的前20项和.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以数列递推公式为载体，考查数列通项公式与数列求和.
(2)思路1.由(1)知，数列{an}的奇数列与偶数列都是以3为公差的等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn,则 所以{an}的前20项和为300.
思路2.数列 n的前20项中偶数项的和为 又由题中条件有 , 故可得.an的前20项的和 0.
8.(2020全国Ⅲ,理17)设数列 n满足
(1)计算a ,a ,猜想{an}的通项公式并加以证明;
(2)求数列 n的前n项和Sn.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以数列中递推公式 n+1与an 的关系为载体，考查数列的递推公式及数列求和.
[必备知识]本题考查的知识是通过数列的递推公式探索通项公式，并通过构造新数列加以证明，再利用错位相减法求和.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.第(1)问考生利用递推关系式，由 a =3, 推出 a =5,a =7, 进而归纳猜想出数列的通项公式并作差.将 代入，通过迭代得到 a -5=3(a 一.3), 而 a =3 从而得到证明；第(2)问利用错位相减法求前n项和.
[解题思路]解 (1)a =5,a =7.
猜想
由已知可得
……
a -5=3(a -3).
因为 a =3,.所以
(2)由(1)得
所以 ①
①—②得
所以
[失分剖析]考生不能归纳猜想得到通项公式，错位相减后利用等比数列求和公式时项数出错.
9.(2019全国Ⅱ,理19)已知数列 an 和 bn 满足 a
(1)证明: 是等比数列， 是等差数列；
(2)求an和 bn的通项公式.
[解题思路](1)证明由题设得即
又因为a +b =1,
由题设得 即
又因为 a -b =1,
所以 是首项为1，公差为2的等差数列.
(2)解由(1)知
所以
[失分剖析]考生不能构造出数列的通项公式.
考向(二) 等差数列、等比数列及其求和
1.(2021全国甲,文9)记 Sn为等比数列 an的前n项和.若 S =4,S =6,则S6=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查数列的前n项和.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列前n项和的性质,sn,,s2n-sn,,s3n-s2n成等比数列以及等比数列的前n项和的公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学应用.通过给出的条件利用等比数列的性质得 S ,S -S ,S -S 成等比数列，从而得到关于S 的方程，再求出S ；也可以利用前n项和公式(注意公比是否为1的讨论)列出关于首项和公比的二元一次方程组，通过解方程组求得基本量首项和公比，代入前n项和公式求解S .
[解题思路]设等比数列的公比为q，由题意知q≠1.
根据等比数列的性质可知， S ,S -S ,S -S 成等比数列，即 (S -S ) =S (S -S ),∵S =4,S =6,∴(6-4) =4(S -6),
解得 S =7. 故选A.
[答案]A
2.(2020全国Ⅰ,文10)设an是等比数列且 a +a +a =1,a +a +a =2, 则a +a +a =( )
A.12 B.24 C.30 D.32
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查等比数列基本量的运算.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的基本量运算 及简单应用
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.通过给出的条件利用 a +a +a =q(a +a +a )求出公比，再把所求结果 a +a +a 转化为已知条件 a +a +a 与公比q的关系.
[解题思路]设等比数列. 的公比为q，因为 a +a +a =1,a +a +a =2,
所以 q(a +a +a )=2, 解得q=2.所以 a +a +a =q (a +a +a )=2 =32.[答案]D
A.3699 B.3474 C.3402. D.3339
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以北京天坛的圜丘坛的上、中、下三层的扇面形石板数为背景，考查等差数列的定义及前n项和的性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力、运算求解能力和创新能力，考查的学科素养是数学探索和数学文化.本题以天坛的扇面形石板数为背景，将实际问题抽象出从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，借助等差数列前n项和的性质解决问题.
[解题思路]构造等差数列，利用等差数列前n项和的性质作答.
故选C.
[答案]C
[失分剖析]考生不能把问题转化成等差数列进行解决.
(2020全国Ⅱ,理6)数列an中, aman,,若-25,则k=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查等比数列求和.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的定义 及前n项和公式 的应用.
解得k=4.
[答案]C
[失分剖析]运用等比数列前n项和公式时，要注意项数.
5(2022年全国2，6),Sn为等比数列{an}的前n项和，若a5-a3=12,a6-a4=24,则Sn/an=( )
A.2"-1 B.2-2 C.2-2 D.2 -1
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查等比数列基本量的运算.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的通项公式或变形式 n,项和的公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.根据已知条件分析项与公比q的关系 直接求出公比q，然后再利用通项公式计算出首项，从而利用前n 项和的公式 进行计算得出结果.
[解题思路]设等比数列 an的公比为q.
又 a -a =a q -a q =12a =12,∴a =1.
故选B.
[答案]B
6.(2019全国Ⅰ,理9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知 S =0,a =5,则( )
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列基本量的计算.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的通项公式 与前n项和公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.思路1.根据等差数列通项公式 和前n项和公式 将 S =0 与a =5转化为以首项与公差为基本元素的二元一次方程组进行基本量的计算得出结果；思路2.利用排除法解题.
[解题思路]思路1.由题意可 解得 故 故选A.
思路2.根据 a =5 排除，因为S =0,a =5, 所以 S =5,C,D不符合;若B项成立,因为 a =-7,a =-4,a =-1,a =2, 则a +a +a +a =-10, 与题S =0不符合，故选A.
[答案]A
7.(2019全国Ⅲ，理5)已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 a =3a +4a , 则 a =( )
A.16 B.8 C.4 D.2
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查等比数列基本量的运算.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的通项公式 或变形式 前n 项和的公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.从题干中获取到数列的前4项和为15以及关系式 a =3a +4a , 可以将问题转化为以首项与公比为基本元素的二元一次方程组进行基本量的计算得出结果；或者根据已知条件分析项与公比q的关系，直接求出公比q，然后再利用公式进行计算得出结果.
[解题思路]思路1.设等比数列{ }的公比为q(q>0),
贝 解得 所以 a =a q =1×2 =4. 故选C.
思路2.设公比为q，由于 从而由 a =3a +4a 得 q -3q -4=0, 所以q=±2,
又q>0,即q=2,由{an}的前4项和为15得 所以 a =1, 故 a =4, 故选C.
[答案]C
8.(2020全国Ⅱ,文14)记Sn为等差数列 的前n项和.若 a =-2,a +a =2, 则
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列基本量的计算.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的通项公式 与前n项和公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.根据等差数列通项公式 求出公差d，然后再利用等差数列前n项和公式 得出结果.
[解题思路]设等差数列 的公差为d.
∵a =-2,∴a +a =a +d+a +5d=2a +6d=-4+6d=2, 解得d=1.
[答案]25
9.(2020新高考全国Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列 则 的前n项和为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列的基本概念.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的通项公式 与前n项和公式
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生根据已知条件得到新的等差数列，然后再利用等差数列的前n项和公式计算.
[解题思路]数列{2n-1}的项均为奇数，数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数，所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项，这些项从小到大排列得到的新数列为以1为首项，6为公差的等差数列.所以. 的前n项和
[答案] ]3n -2n
[失分剖析]考生不能由给出的数列抽象得出新的数列.
10.(2019全国Ⅰ,理14)记为等比数列 的前n项和.若则S5= .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以简单的等比数列为载体，考查考生分析问题、归纳问题以及递推运算等基本能力.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的通项公式 与前n项和的公式
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.题中给出数列的首项以及第4项和第6项之间的关系式，考生通过等比数列通项公式 求出公比q，再利用前n项和公式 确定数列的前5项和.全面考查考生对数列知识的掌握和应用.试题的设计有效控制了运算量，有利于考生正常发挥，实现对考生灵活应用所学数列知识及其能力的考查.
[解题思路]思路1.设等比数列的公比为q，则
思路2.利用等比中项的性质.对等比数列 有 故 a a =a ,得 a =1,∴等比数列 的公比为 从而有 因此 S =a +
[答案]
11.(2019全国Ⅰ,文14)记,为等比数列的前n项和.若则S = .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以简单的等比数列为载体，考查数列的前n项和.088
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的通项公式 与前n项和的公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.考生根据等比数列通项公式 及 S =a +a +a 正确运算，求出公比，再利用等比数列的前n项和公式 进行运算.
[解题思路]设等比数列 的公比为q.
即 解得
[答案]
12.(2019全国Ⅲ,理14)记Sn为等差数列 的前n项和.若a ≠0,a =3a , 则 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列的基本公式与运算.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的通项公式 与前n项和的公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.将等差数列的通项公式 代入条件 a =3a ,解出首项和公差的关系为 d=2a ,再将前n项和的公式化简整理用一个量a 表示即可.本题解题的关键是搭建数列通项公式与前n项和间的桥梁，以首项和公差为纽带，合理选择方法(方程思想)，解决问题.
[解题思路]设等差数列 的公差为d.∵a ≠0,a =3a ,∴a +d=3a ,即d=2a1.
[答案]4
13.(2019全国Ⅲ,文14)记为等差数列 的前n项和.若a =5,a =13, 则 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列基本量的计算.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的通项公式 与前n项和的公式
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.利用等差数列的通项公式将问题转化为以首项a 与公差d为基本元素的二元一次方程组进行基本量的计算得出
a 和d，再利用前n项和公式 求解
[解题思路]设等差数列 的公差为d，则 解得
故
[答案]100
14.(2021全国甲,文18)记为数列的前n项和，已知 且数列 }是等差数列.证明：是等差数列.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列的判定.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式 (n-1)d的应用.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.通过给出的条件可得 得到数列 的公差，进而得到， 的表达式，即 的表达式，要注意n=1的验证，再由an与的关系求得an的表达式，最后利用等差数列定义验证结论.
[解题思路]证明. 是等差数列，
即数列 的公差为
即 当n≥2时, 1) a ,则
当n=1时,由 得 a =(2×1-1)a =a ,
}是等差数列.
15.(2021全国乙,文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{ }满足 已知a ,3a ,9a 成等差数列.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以一个等比数列的通项与另一个数列通项间的关系为载体，考查数列的通项及前n项和.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的性质，错位相减法求数列的和以及比较大小的方法——作差法.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.(1)利用等比数列中3a ，9a 及a 成等差数列得到 9q -6q+1=0, 解方程即可；(2)利用公式法、错位相减法分别求出Sn， Tn，再作差比较即可.
[解题思路](1)解设{an}的公比为q(q≠0),则an
因为a ,3a ,9a 成等差数列,所以1+9q =2×3q,解得 故
由 得
①
两边同乘得
②
①-②,得
整理得
则
故
16.(2021新高考全国Ⅱ，17)记为公差不为零的等差数列 的前n项和，若 a =5,a ·a =S ·
(1)求的通项公式；
(2)求使得 成立的n的最小值.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列的前n项和及两者构成的一元二次不等式.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列通项公式 前n项和公式 以及一元二次不等式的解法.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.根据等差列通项公式和前n项和的公式列出关于首项和公差的二元一次方程组，求出公差和首项，得通项公式；第二问根据前n项和的公式正确运算求解一元二次不等式，得到n的取值范本题的解题关键是针对等差数列通项公式及求和问题，合理选择运算公式，通过解不等解决问题.
[解题思路]解(1)设的公差为d，根据题意可列方程
由①得 a +2d=0 a =-2d, 代入②得(-d)·d=-8d+6d d -2d=0.
∵d≠0,∴d=2,∴a =-4,
由
∴n -7n+6>0,(n-1)(n-6)>0.
解得n<1或n>6,又 故n的最小值为7.
17.(2020全国Ⅰ,理17)设 {}是公比不为1的等比数列，a 为a ，a 的等差中项.
(1)求 的公比；
(2)若 a =1, 求数列. 的前n项和.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查等比数列基本量运算与数列求和.
[必备知识]本题考查的知识是等差中项的定义、等比数列的通项公式 及利用错位相减法求和.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.通过等差中项列出 2a =a +a , 转化为以首项a 与公比q为基本元素的等式，通过消a 得到关于q的一元二次方程求得公比q，最后对数列 利用错位相减法求数列的前n 项和.本题的解题关键是准确分析已知条件，转化为所学知识，利用方程思想解决问题.
[解题思路]解(1)设的公比为q，由题设得 2a =a +a , 即 2a =a q+a q .
所以 q +q-2=0, 解得q=1(舍去),( q=-2. 故的公比为-2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得，
所以
-2、5
所以
[失分剖析]利用错位相减法转化为等比数列求和，注意求和时等比数列的项数.
18.(2020全国Ⅲ,文17)设等比数列. 满足 a +a =4,a -a =8.
(1)求 的通项公式；
(2)记为数列 的前n项和.若 求m.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查数列通项公式与数列求和.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的通项公式 等差数列前n项和
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.根据已知条件列出首项与公比的二元一次方程组，利用方程思想求出首项与公比，得到等比数列的通项公式，再利用对数运算得到新的等差数列，代入等差数列的前n项和 解方程得到m.本题的解题关键是熟练掌握并能直接列出首项与公比的方程组进行基本量的运算.若一个等比数列，各项都是正数，则对其取对数得到新的数列一定是等差数列.
[解题思路]解(1)设. 的公比为q，则
由已知得 解得 a =1,q=3.
所以的通项公式为
(2)由(1)知 故 由 得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2), 即 m -5m-6=0, 解得m=-1(舍去),m=6.
[失分剖析]考生想不到正项等比数列取对数变为等差数列.
19.(2020新高考全国Ⅰ，18)已知公比大于1的等比数列 满足 a +a =20,a =8.
(1)求的通项公式；
(2)记bm为{ }在区间(0,m](m∈N") 中的项的个数，求数列 bm的前100项和
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查等比数列的通项公式及数列求和运算.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的通项公式 及分组求和.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.根据已知条件列出等比数列首项与公比的二元一次方程组，利用方程思想求出首项与公比，得到等比数列的通项公式，进而探究出新数列 bm的通项公式，再进行分组求和.本题解题关键是熟练掌握并能直接列出首项与公比的方程组进行基本量的运算，并能探究出bm的通项公式从而利用分组求和解决问题，另外6m也可以利用归纳猜想求得.
[解题思路]解(1)设{an}的公比为q.
由题设得 a q+a q =20,a q =8. 解得 (舍去),q=2.
因为 a q =8, 所以 a =2. 所以 的通项公式为
(2)由题设及(1)知 b =0, 且当 2"≤m<2"+" 时, bm
b )=0+1×2+2×2 +3×2 +4×2 +5×2 +6×(100-63)=480.
[失分剖析]考生不能得出 bm 在求和时运算易出现错误，容易忽略n=6时的特殊情形.
20.(2019全国Ⅰ,文18)记 为等差数列 } 的前n项和.已知 S9=-a .
(1)若 a =4, 求 的通项公式；
(2)若 a >0, 求使得 的n的取值范围.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等差数列为载体，考查等差数列基本量的计算，前n项和的公式.
[必备知识]本题考查的知识是等差数列的通项公式 与前n项和的公式 及一元二次不等式的解法.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.根据等差数列通项公式和前n项和的公式列出关于首项和公差的二元一次方程组，求出公差和首项，求得通项公式，也可以利用等差数列的性质得 S =9a ,再利用条件 S9=-a 得a =0,所以公差 从而 第二问根据前n项和的公式正确运算
求解一元二次不等式，得到n的取值范围.本题解题关键正 求 和 问
题，合理选择运算公式，通过解不等式，解决问题.
[解题思路]解思路1.(1)设 的公差为d.
由 S =-a 得 a +4d=0.
由a =4得 a +2d=4.
于是 a =8,d=-2. 因此 的通项公式为
(2)由(1)得 a =-4d, 故
由a >0知d<0,故 等价于 n -11n+10≤0, 解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
思路2.(1)由等差数列的性质得S =9a ,
又 S =-a , 可得 a =0.又 a =4, 故公差为 首项为 a -2×(-2)=8.因此的通项公式为
(2)由 又a >0,a =0, 可得d<0.故当n>10时,当n=10时,
当n<10时,、所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.
21.(2019全国Ⅱ,文18)已知.是各项均为正数的等比数列， a =2,a =2a +16.
(1)求{}的通项公式;
(2)设 bn 求数列{bn}的前n项和.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以等比数列为载体，考查数列通项公式与数列求和.
[必备知识]本题考查的知识是等比数列的通项公式 等差数列前n项和
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.根据已知条件列出首项与公比的二元一次方程组，利用方程思想求出首项与公比，得到等比数列的遗项公式，再利用对数运算得到新的等差数列，利用等差数列的前n项和 解问题.本题的解题关键是熟练掌握并能直接列出关于首项与公比的方程组进行基本量的：算.若一个等比数列各项都是正数，则对其取对数得到新的数列一定是等差数列.
[解题思路]解(1)设数列 {}的公比为q，
由题设得 2q =4q+16, 即q -2q-8=0,
解得q=-2(舍去)或q=4.
因此数列 的通项公式为
(2)由(1)得bn
因此数列 bn 的前n项和为

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