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专题六 不等式
规律小结
线性规划内容在近3年的全国卷中考查的频率很高，属于基础性内容.大多属于课程学习情境，具体是数学运算学习情境，应用线性规划可以求简单的最值问题.这类题目主要考查考生的运算求解能力.从近3年的频率来看线性规划的考查有减少的趋势，难度较低.
基本不等式和三个正数的算数-几何平均不等式内容在高考中考查的频率不高，2020全国卷只有Ⅲ卷23题为选做题，新高考全国Ⅰ卷11题、Ⅱ卷12题为基本不等式，2019全国卷Ⅰ、Ⅲ为选做题.大部分属于综合性题目，具体属于课程学习情境，具体是数学运算学习情境.这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力.从近3年的频率来看本部分知识考查有减少的趋势，难度通常为中等难度.
绝对值不等式考查频率较高，属于综合性题目，是课程学习情境，具体是数学运算学习情境和数学推理学习情境，在含参问题中具体考查绝对值不等式的求解问题和分类讨论思想.这类题目主要考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力等关键能力以及理性思维和数学探索等学科素养.从近3年的频率来看本部分知识考查趋势比较平稳且频率较高.
3.考点频度
高频考点：线性规划、绝对值不等式.
中频考点：基本不等式.
低频考点：柯西不等式.
4.备考策略
线性规划这部分内容主要是以课程学习情境为主，备考以常见的简单题型为主；基本等式这部分内容在全国卷主要以选做题的形式出现，在2020年的新高考中为多选题，题目度为中等难度，在备考中以中等难度题型为主训练思维的灵活性，同时注意三个正数的算数几何平均不等式这一题型；绝对值不等式这部分内容在全国卷中通常为选做题，考查的频较高，题目的难度为中等难度，在备考中要注意与函数知识相结合.(备注：2022. 2021年，2020年高考已不再考查线性规划和不等式选讲内容，全国Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ卷考查线性规划和不等式选内容).
考向(一) 不等式与数学文化结合
A.165CM, B.175CM C.185CM. D.190CM
[试题情境]本题是应用性题目，属于生活实践情境.本题考查对不等式基本性质的理解与应用.
[必备知识]本题考查的知识是现实世界和日常生活中的不等关系.
[能力素养]本题考查数学建模能力和运算求解能力，考查的学科素养是数学文化和数学应用.在人体黄金分割之美的实际情境中，从数学的视角发现、提出、分析问题，计算求解，同时展示了数学之美.思路1.列出两个不等式来限定其身高；思路2.考查考生数学运算中的估算能力.
[解题思路]思路1.设某人身高为xcm，脖子下端至肚脐的长度为ycm，又其腿长为105cm，
可知 解得x>169.89，头顶至脖子下端的长度为26cm，可得
所以,该人身高在(169.89,178.22)之间,而175∈(169.89,178.22).故选B.
思路2.设人体脖子下端至肚脐的长度为xcm，则 得x≈42.07,
又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm.故选B.
[答案]B
[失分剖析]①考生未能从题目所给信息中抽象出不等关系而失分；②考生做选择题不够灵活，没有利用好估值法而失分.
考向(二) 线性规划(新高考不作要求)
1.(2021全国乙,文5)若x,y满足约束条件 则z=3x+y的最小值为( )
A.18 B.10 C.6 D.4
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查应用线性规划求最值问题.
[必备知识]本题考查的知识是线性规划中求最小值问题.考生获取二元一次不等式组和目标函数等信息，从中提炼成为线性规划问题，采取图解法，进一步细化为可行域和目标函数，运用数形结合思想解题.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.本题解题的工具是数形结合，解题的关键是能够将对应的二元一次不等式组抽象为线性规划模型，要清楚线性目标函数的几何意义，线性目标函数对应直线的截距，观察可行域，平移直线获得取最小值的情况.
[解题思路]如图，作出不等式组表示的平面区域，即△ABC及其内部区域.
行域和目标函数.失分原因在于考生不能正确地作出不等式组表示的平面区域，或在平移直
线、运算求解的过程中出错.
2.(2020全国Ⅰ,理13、文13)若x,y满足约束条件 则z=x+7y的最大值为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查应用线性规划求最值问题.
[必备知识]本题考查的知识是线性规划中求最大值问题.本题要求考生能根据题目中的约束条件准确画出可行域，清楚线性目标函数对应直线的截距的几何意义，观察可行域，通过平移直线获得取最大值的情况.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.考生获取二元一次不等式组和目标函数等信息，从中提炼成为线性规划问题，采取图解法，进一步细化为可行域和目标函数，运用数形结合思想解题.解答本题的关键是根据题意作出可行域，分别求出交点坐际，可知x在点(1，0)处取得最大值.
由 得 即点A(1,0),所以
[答案]1
[失分剖析]本题为基础性题目，失分原因在于考生不能正确地作出不等式组表示的平面区域，或在运算过程中失误.
3.(2020全国Ⅲ,理13、文13)若x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查应用线性规划求最值问题.
[必备知识]本题考查的知识是线性规划中求最大值问题.本题要求考生能根据题目中的约束条件准确画出可行域，清楚线性目标函数对应直线的截距的几何意义，观察可行域，通过平移直线获得取最大值的情况.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.考生获取二元一次不等式组和目标函数等信息，从中提炼成为线性规划问题，采取图解法，进一步细化为可行域和目标函数，利用数形结合思想解题.
4.(2019全国Ⅱ,文13)若变量x,y满足约束条件 则z=3x-y的最大值是 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查应用线性规划求最值问题.
[必备知识]本题考查的知识是线性规划中求最大值问题.本题要求考生能根据题目中的约束条件准确画出可行域，清楚线性目标函数对应直线的截距的相反数，观察可行域，通过平移直线获得取最大值的情况.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.考生获取二元一次不
等式组和目标函数等信息，从中提炼成为线性规划问题，采取图解法，进一步细化为可行域和目标函数，运用数形结合思想解题.
[解题思路]作出可行域为图中阴影部分，z=3x-y表示直线y=3x-z的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.
[答案]9
[失分剖析]本题目标函数的截距为一z，当一z取最小值时z取最大值，当直线过点C(3，0)时z最大，考生误认为过点A取最大值而失分.
考向(三) 基本不等式和三个正数的算数-几何平均不等式
1.(2021全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是( )
A.y=x +2x+4
C.y=2 +2
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数为载体，考查基本不等式的应用.
[必备知识]本题考查的知识是基本不等式以及基本不等式求最值中的条件“一正二定三相等”.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.考生根据二次函数的性质和基本不等式求最值时的条件“一正二定三相等”即可判断.
[解题思路]A项y=(x+1) +3, 故 ，故该项不符合题意；
B项,设t=|sin x|,则
因为函数 在区间(0，1]上单调递减，所以当t=1时，y取最小值，且 故该项不符合题意；
C项,
设 t=2τ则t>0,于是 当且仅当t=2，即x=1时等号成立.
所以该项符合题意.
D项,因为当x∈(0,1)时,lnx<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意.
[答案]C
[失分剖析]考生对基本不等式求最值时的条件“一正二定三相等”掌握不够熟练导致出错.
2.(多选)(2020新高考全国Ⅰ,11;2020新高考全国Ⅱ,12)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
C.log a+log b≥-2
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查基本不等式的应用.
[必备知识]本题考查的知识是基本不等式
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维.考生通过观察题干和问题，找到已知条件和选项间的关系进行转化与化归，将基本不等式进行变形运用，从而得到正确结果.
[解题思路]∵ 当且仅当 时，等号成立，故A选项正确；
∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b,
故B选项正确；
当且仅当 时，等号成立，故C选项错误；
当且仅当 时，等号成立，故D选项正确.故选ABD.
[答案]ABD
[失分剖析]考生对基本不等式的灵活变形掌握不够熟练，不能恰当利用平方关系解决问题而失分.
3.(2020全国Ⅲ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
设a,b,c∈R,a+b+c=0, abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查利用基本不等式解决问题.
[必备知识]本题考查的知识是基本不等式
[能力素养]本题考查逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维.本题要求考生具有一的观察能力，从发现已知和求证之间具有的平方关系来解决问题，选择合适的对象及恰当不等式进行转化和化归，得到待证不等式.
[解题思路]证明(1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以
(2)思路1.不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由 可得 当且仅当b=c时，等号成立，故 所以
思路2.不妨设max{a,b,c}=a,由a+b+c=0, abc=1可知,a>0,b<0,c<0,
因为 所以
当且仅当b=c时，等号成立，所以 即
思路3.因为a+b+c=0,且abc=1,所以a,b,c三个数一定是2负1正.
不妨设a>0,b<0,c<0,此时max{a,b,c}=a,
则 所以b，c是方程 的两根，
4.(2019全国Ⅰ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(2)(a+b) +(b+c) +(c+a) ≥24.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查利用三个正数的算数-几何平均不等式证明问题.
何平均不等式
[能力素养]本题考查逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维.本题要求考生从基；不等式出发，依据不等式基本性质转化变形，在此过程中确定恰当的推理过程，并选择合适自不等关系进行证明.
[解题思路]证明(1)思路1.因为 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ac,
又因为abc=1,所以 当且仅当a b=c=1时,等号成立,所以
思路2.分析法：对目标不等式的左边通分.
等价于 即ab+bc+ca≤a +b +c 由基本不等式容易证明上式.
思路3.分析法：对目标不等式的两边同乘abc.
等价于 ab+bc+ca≤a +b +c .
由基本不等式容易证明上式.
(2)思路1.因为a,b,c为正数且abc=1,
故有 (a 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
所以 (a+b) +( b+c) +(c+a) ≥24.
5.(2019全国Ⅲ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求 (x-1) +( y+1) +(z+1) 的最小值；
(2)若 成立,证明:a≤-3或a≥-1.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以不等式为载体，考查利用基本不等式解决问题.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.考生
在三元不等式场景中用数学的眼光找到合适的研究对象是证明问题的关键.考生要能在题目
中发现基本不等式的身影，并进行变形运用，进而体会基本不等式的意义和作用，以及运算验
[解题思路](1)解由于 [(x-1)+( y+1)+( z+1)]
=(x-1) +( y+1) +( x+1) +2[( x-1)( y+1)+(y+1)(z+1)+( z+1)(x-1)]
≤3[(x-1) +(y+1) +(z+1) ],
故由已知得
当且仅当 时等号成立.
所以 (x-1) +(y+1) +(z+1) 的最小值为
(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]
=(x-2) +( y-1) +( z-a) +2[( x-2)( y-1)+( y-1)( z-a)+( z-a)(x-2)]
≤3[(x-2) +(y-1) +(z-a) ], 故由已知得
当且仅当 时，等号成立.
因此 (x-2) +( y-1) +(z-a) 的最小值为
由题设知 解得a≤-3或a≥-1.
考向(四) 绝对值不等式(新高考不作要求)
1.(2021全国甲,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以分段函数为载体，考查绝对值不等式的图像和求解问题.
[必备知识]本题考查的知识是含绝对值的函数以及函数图像的平移变换，从图像上得到不等式的解集.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生获取到本题含绝对值的函数，通过分类讨论将含绝对值的函数转化为分段函数，然后画出图像，再将函数图像平移得到不等式的解集.本题运用了分类讨论和数形结合的解题思想，根据函数的图像解决问题.
所以
[失分剖析]①考生在将含绝对值的函数转化为分段函数过程中易忽略x的取值范围.②考生未能从函数图像中得到解决不等式的方法.
2.(2021全国乙,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>-a,求a的取值范围.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以分段函数为载体，考查含绝对值的不等式的求解问题.
[必备知识]本题考查的知识是绝对值不等式的解集和参数取值范围.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.解含有两个绝对值的不等式，且其
中的x的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解.利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，考生应注意表述取等号的条件.不论分段研究解不等式还是利用几何意义解不等式都需要考生严谨的思维和缜密的计算以及对参数合理的分情况讨论.
[解题思路]解(1)当a=1时,由f(x)≥6可得|x-1|+|x+3|≥6.
当x≤-3时,不等式可化为1-x-x-3≥6,
解得x≤-4;
当-3＜x＜1，无解
当x≥1时,不等式可化为x-1+x+3≥6,解得x≥2.
综上,原不等式的解集为(-∞,-4]U[2,+∞).
(2)若f(x)>-a,则
因为f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|a+3|(当且仅当(x-a)(x+3)≤0时，等号成立)，所以 ,所以|a+3|>-a,即a+3
故a的取值范围为
3.(2020全国Ⅰ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图像;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以分段函数为载体，考查绝对值不等式的求解问题.
[必备知识]本题考查的知识是含绝对值的函数以及函数图像的平移变换，从图像上得到不等式的解集.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维.考生获取到本题含绝对值的函数，通过分类讨论将含绝对值的函数转化为分段函数，再将函数平移得到不等式的解集.本题运用了分类讨论和数形结合的思想，根据函数的图像解决问题.
[解题思路]解(1)由题设知
y=f(x)的图像如图所示.
(2)函数y=f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图像.
y=f(x)的图像与y=f(x+1)的图像的交点坐标为
由图像可知当且仅当 时,y=f(x)的图像在y=f(x+1)的图像上方.
故不等式f(x)>f(x+1)的解集为
[失分剖析]①考生在将含绝对值的函数转化为分段函数过程中易忽略x的取值范②考生未能从函数图像中得到解决不等式的方法.
4.(2020全国Ⅱ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x-a |+|x-2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以分段函数为载体，考查含绝对值不等解问题.
[必备知识]本题考查的知识是绝对值不等式的解集和参数取值范围.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生获取到本题含绝对值的函数的形式，通过分类讨论将绝对值函数转化为分段函数来求解不等式，结合绝对值不等式性质来求解参数取值范围.本题运用了分类讨论和数形结合的解题思想解决问题.
[解题思路]解(1)当a=2时
因此，不等式f(x)≥4的解集为 或
(2)因为f(x)=|x-a |+|x-2a+1|≥|a -2a+1|=(a-1) ,
故当 (a-1) ≥4,即|a-1|≥2时,f(x)≥4.
所以当a≥3或a≤-1时,f(x)≥4.
当-1＜a＜3， f(a )=|a -2a+1|=(a-1) <4.
所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
[失分剖析]考生在解含参数的绝对值不等式时没有利用好含绝对值的不等式性质造成失分.
5.(2019全国Ⅱ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以分段函数为载体，考查含绝对值的不等式的求解问题.
[必备知识]本题考查的知识是绝对值不等式的解集和参数取值范围.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生获取到含绝对值的不等式的形式，然后去绝对值将函数转换为分段函数，不论分段研究解不等式还是利用图像解不等式都需要考生严谨的思维和缜密的计算以及对参数合理分情况讨论.
[解题思路]解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
当x<1时,f(x)=-2(x-1) <0; 当x≥1时,f(x)≥0.
所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.
所以a的取值范围是[1,+∞).
[失分剖析]考生不能根据f(a)=0和x<1判断出a≥1，导致在讨论f(x)<0时无法去对值符号而不能正确求解.专题六 不等式
考向(一) 不等式与数学文化结合
A.165CM, B.175CM C.185CM. D.190CM
考向(二) 线性规划(新高考不作要求)
1.(2021全国乙,文5)若x,y满足约束条件 则z=3x+y的最小值为( )
A.18 B.10 C.6 D.4
(2020全国Ⅰ,理13、文13)若x,y满足约束条件 则z=x+7y最大值为_____
3.(2020全国Ⅲ,理13、文13)若x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 .
4.(2019全国Ⅱ,文13)若变量x,y满足约束条件 则z=3x-y的最大值是 .
考向(三) 基本不等式和三个正数的算数-几何平均不等式
1.(2021全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是( )
A.y=x +2x+4
C.y=2 +2
2.(多选)(2020新高考全国Ⅰ,11;2020新高考全国Ⅱ,12)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
C.log a+log b≥-2
3.(2020全国Ⅲ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
设a,b,c∈R,a+b+c=0, abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:
4.(2019全国Ⅰ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(2)(a+b) +(b+c) +(c+a) ≥24.
5.(2019全国Ⅲ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求 (x-1) +( y+1) +(z+1) 的最小值；
(2)若 成立,证明:a≤-3或a≥-1.
考向(四) 绝对值不等式(新高考不作要求)
1.(2021全国甲,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
3.(2020全国Ⅰ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图像;
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.
4.(2020全国Ⅱ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x-a |+|x-2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
5.(2019全国Ⅱ,理23、文23)[选修4—5:不等式选讲]
已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.

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