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专题10 立体几何选择、填空
年份 考点 考查内容 考查形式
2021 新高考1卷 点、线、面位置关系 线线垂直、线面垂直 多选
2022 新高考1卷 立体几何夹角 线线角、线面角 多选
1、多面体的内切球半径：
2、长方体的外接球半径：
侧面展开图 侧面积公式 表面积 体积
圆柱 S圆柱侧＝2πrl 棱柱 圆柱 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh
圆锥 S圆锥侧＝πrl 棱锥 圆锥 S表＝S侧＋S底 V＝Sh
圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l 棱台 圆台 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面积--不外乎三角形面积，平行四边形面积 球 S＝4πR2 V＝πR3
3、直棱锥的外接球半径：正棱锥的外接球半径：
4、最小角定理：线线角≥线面角 最大角定理：线面角≤二面角
5、正方体的截面结论总结
题组一 空间点、线、面的位置关系
1、已知m,n表示两条不同的直线,表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若mn,n a,则m B.若m∥n,n a,则m∥
C若m n,na,则m∥ D若m∥n,na,则m
2、（2021·山东高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
题组二 外接球与内切球
考点1、外接球：长方体模型（补形法）
已知三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC =7，则该三棱锥外接球的表面积为________
2、已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC，则球O的体积等于（　　）
A． B． C． D．
考点2、外接球：垂面模型（直棱柱或圆柱的外接球）
1、若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．10π B．18π C．20π D．9π
2、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）
A． B． C． D．
考点3、外接球：任意棱锥或棱柱
1、在菱形ABCD中，A＝60°，AB，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（　　）
A．π B．π C．π D．π
2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）
A．64π B．65π C．66π D．128π
考点4、内切球：棱锥
1、正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）
A．1：3 B．1： C． D．
2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）
A．1：3 B．1： C． D．
3．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
题组三 正方体的垂直问题、动点问题、截面问题
1．在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则　　
A．当时，△的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
2．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，下列说法正确的是　　
A．直线直线
B．过点的的平面，则平面截正方体所得的截面周长为
C．若线段上有一动点，则到直线的距离的最小值为
D．动点在侧面及其边界上运动，且，则与平面成角正切的取值范围是
3．（多选）已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是
　　
A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知为中点，当的和最小时，为的中点
题组四 最大角定理与最小角定理
1、（2021春 奉化区期末）在矩形中，，，为边上的一点，，现将沿直线折成△，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，，则　　
A． B． C． D．
2、如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为　　
A． B． C．2 D．
3．（2021春 嘉兴期末）已知正四面体，点为棱上一个动点，点为棱上靠近点的三等分点，记直线与所成角为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
1．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．10π B．18π C．20π D．9π
2．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　 　．
3．（多选）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法正确的是　　
A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线
B．对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线
C．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变
D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大
4．（多选）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有　　
A．当点运动时，总成立 B．当向运动时，二面角逐渐变小
C．二面角的最小值为 D．三棱锥的体积为定值
5．（2021·嘉峪关市第一中学高三（文））已知，是不同的直线，，是不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2022·全国高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MNEF，且MN与EF平行 B．MNEF，且MN与EF平行
C．MNEF，且MN与EF异面 D．MNEF，且MN与EF异面
7（多选）．如图，在棱长为6的正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，点是线段上的动点，则　　
A．无论点在线段上如何移动，都有异面直线，的夹角为
B．三棱锥的体积为108
C．直线与所成角的余弦值
D．直线与平面所成最大角的余弦值为
8（多选）．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有　　
A．存在点使得异面直线与所成角为
B．存在点使得异面直线与所成角为
C．存在点使得二面角的平面角为
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
9（多选）．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是　　
A．与一定不垂直
B．二面角的正弦值是
C．的面积是
D．点到平面的距离是常量
10（多选）．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则　　
A．平面
B．三棱锥的体积为4
C．存在点，使得
D．线段的长度的取值范围为，
1．（2021·江苏高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
3．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高考真题（理））已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·湖南高考真题）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
8．（2019·全国高考真题（文））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
9．（2022·新高考1卷）已知正方体 则（　　）
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面ABCD所成的角为
10.（2021·新高考1卷） 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
11. （2022·新高考2卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. （2022·全国甲卷理科）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，体积分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
13. （2022·全国甲卷理科）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
14． （2022·全国乙卷理科）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．

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