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第十讲-函数模型及其应用
知识点一、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 （a，b为常数，）
二次函数模型 （a，b，c为常数，）
指数函数型模型 （a，b，c为常数，且，）
对数函数型模型 （a，b，c为常数，且，）
幂函数型模型 （a，b，n为常数，，）
反比例函数模型 （a，b为常数，）
分段函数模型
知识点二、三种函数模型性质比较
在上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
知识点三、对钩函数（耐克函数）
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数.
①定义域：；
②是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，.
2、特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图：
①定义域：；
②（）是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，.
考点一、一次函数模型
【典型例题】
1、某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为（ ）
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
【答案】D
2、某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．
【解析】
(1)设每台A型号电脑进价为元，则型号电脑进价为元
由题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴型号电脑进价（元），
∴每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元；
(2)根据题意，得，
∵，解得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴时，所获利润最大为元.
∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元．
，
∵，
解得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴时，所获利润最大为元.
∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元．
【变式练习】
1、某厂日生产文具盒的总成本(元)与日产量(套)之间的关系为.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
【答案】D
【解析】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.故选：D
2、刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐 月租 本地话费 长途话费
套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟
套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟
刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）．
（1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数；
（2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐．
【答案】(1)，；(2)答案见解析.
【解析】
(1)因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍，
所以他每月接打本地电话时间为，接打长途．
若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费，
则；
若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费，
则．
(2)∵，
当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱；
当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱；
当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样．
考点二、二次函数模型
【典型例题】
1、某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.
【答案】60
【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，
则，
当，即销售单价为60元时，y取得最大值.故答案为：60
2、为适应改革的需要，公司计划新上某种机器设备，需要投入固定成本万元，生产与销售均以百台计数，且每生产台，还需增加可变成本万元．若市场对该产品的年需求量为台，每生产百台的实际销售收入（单位：万元）近似满足函数．
（1）试写出第一年的销售利润（万元）关于年产量（单位：百台，）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收入成本）
（2）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过台，若第一年人员的年支出费用（万元）与年产量（百台）的关系满足，问年产量为多少百台时，工厂所得纯利润最大？
【解析】
（1）由题意得，即
（2）记工厂所得纯利润为，则
当（百台）时，（万元）故当年生产量为3百台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5000万元
【变式练习】
1、为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数: .
（1）设他每月获得的利润为(单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价的函数关系式，并求出利润的最大值.
（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）依题意可得：每件的销售利润为元，每月的销售量为件，
所以每月获得的利润与销售单价x的函数关系式为：
，
对称轴为，开口向下，此时最大值为，
所以利润与销售单价x的函数关系式，最大利润为元.
（2）由每月获得的利润不小于元，
得，
即 ，解得：，
这种节能灯的销售单价不得高于元，所以，
设政府每个月为他承担的总差价为元，
则，
由可得，
所以政府每个月为他承担的总差价的取值范围是元.
2、某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．
图（1） 图（2）
（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【答案】(1) ，;(2) 当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．
【解析】
（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数．
所以根据图象可得，，，，
所以，．
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，．
令，则，且，
则，．
当时，，此时，．
当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．
考点三、分段函数模型
【典型例题】
1、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x(台)是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)
【答案】(1)；(2)每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．
【解析】
(1)月产量为台，则总成本为元，从而
．
(2)由(1)可知，当时，，
当时，；
当时，是减函数，，
当时，，
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．
2、某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用,管理这些电动汽车的费用是每日元．根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为元（），用(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入．(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)
（1）求关于的函数解析式；
（2）试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值．
【答案】(1) ;(2) 当每辆电动汽车的日租金为170元时,才能使日净收入最多,为85000元
【解析】
(1) 当时,,;
当时, ,
故关于的函数解析式为
(2)由(1)有当时为增函数,
故当时取最大值；
当时, 为二次函数，对称轴为.
故当时取最大值；
故当每辆电动汽车的日租金为170元时,才能使日净收入最多,为85000元．
【变式练习】
1、上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1）（）；（2）分钟.
【解析】
（1）由题意知（），（k为常数），
因，则，
所以（）；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
2、2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)可以达到最大？并求出最大值.
【答案】(1)；(2)当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
【解析】
(1)由题意，当时，v(x)=100，
当时，设，则
解得：，
∴
(2)由题意，
当时，的最大值为
当时，，
的最大值为
∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
考点四、对钩函数模型
【典型例题】
1、新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．
（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；
（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．
【答案】(1)，，
(2)当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元
【解析】
(1)由题意得
，
即，，.
(2)由，得，
因，当且仅当时取等号，所以.
故当复工率时，政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大值60万元.
【变式练习】
1、如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
【答案】(1)；(2)，最小面积为48平方米
【解析】
(1)解：设的长为米（）
是矩形
由，得
，解得或
即的取值范围为
(2)令，（），则
当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米
考点五、指数函数模型
【典型例题】
1、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
【答案】C
【解析】
由题意得：
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为
故，
故该新药对病人有疗效的时长大约为
故选：C
2、2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过25天后，气球体积变为原来的,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的. (，结果保留整数）
【答案】68
【解析】
由题意得，经过天后气球体积变为，经过25天后，气球体积变为原来的，
即，则，
设天后体积变为原来的，即，即，则
两式相除可得，即，
所以天
3、研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，为常数．
（1）若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求的值；
（2）设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数．（参考数据：）
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)由题可知，，．
因为，所以，
所以即．
(2)由（1）可知，，
由，得，
即．
因为，
所以，
所以所求的最小整数．
【变式练习】
1、渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（ ）参考数据：
A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟
【答案】B
【解析】
由题意可得，解得．
故．
令，即，
两边同时取对数，故分钟
故选：B
2、爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.
【答案】25%
【解析】
由题，得当时，；
当时，，即，
解得，
所以；
所以当时，，
即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%.
故答案为：25%.
3、自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；
（2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）
【答案】(1)；；(2)2022.
【解析】
(1)因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，
而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，
故由题意应选；
则有，解得，
∴；
(2)设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，
则，即，
∴，
∴，
故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．
考点六、对数函数模型
【典型例题】
1、中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
【答案】B
【解析】
当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
2、每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：）
（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.
（2）若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.
【答案】(1)466个单位(2)3倍
【解析】
（1）将，代入函数，得：，因为，所以，所以，所以.答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：两式相减可得：，所以，即，答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
【变式练习】
1、（多选题）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（ ）．
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍
C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
【答案】AD
【解析】
因为，所以，故A正确；
因为，所以B错误；
因为，，所以C错误，D正确．
故选：AD
2、天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星星的亮度为.已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的倍，则与最接近的是（当较小时，）（ ）
A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59
【答案】B
【解析】
设“角宿一”的星等是，“水委一”的星等是，“角宿一”的亮度是，“水委一”的亮度是，则，，
∵两颗星的星等与亮度满足，
∴，即，
∴，
∴与最接近的是1.57.
故选：B
3、进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
（2）某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【答案】(1)约为1.17m/s；(2)4.
【解析】
(1)由题意，游速为.
(2)设原来和现在耗氧量的单位数分别为，所以，所以耗氧量的单位数是原来的4倍.
【模拟训练】
1、把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，
面积之和为，
由二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，
所以．
故选：D
2、为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,
则当时,元,不符合题意;
当时,,令,解得,符合题意；
当时,,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15.
故选：C.
3、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
【答案】B
【解析】
根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B
4、某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【解析】
（1）由题意知，当时，
，
即，
解得或，
∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当时，
；
当时，
；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
5、2020酒驾醉驾处罚标准：醉驾根据《刑法》第一百三十三条规定，处拘役，一到六个月．饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车驾驶证，记12分并处一千元以上二千元以下罚款．根据血液酒精含量定性，大于（等于）0.02mg/mL且小于（等于）0.08mg/mL的为酒驾，大于0.08mg/mL的为醉驾．某驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量上升到0.3mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．以（单位：mg/mL）表示该驾驶员在停止喝酒小时后血液中的酒精含量．
（1）将表示为的函数；
（2）为了保障交通安全，该驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶？（精确到1小时）
【答案】（1）；（2）至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆．
【解析】
（1）1小时候驾驶员血液中的酒精含量为mg/mL，
2小时候驾驶员血液中的酒精含量为mg/mL，即mg/mL，
小时后其血液中酒精含量为mg/mL，
所以．
（2）由题意可知，即
采用估算法，时；时，时，
时，由于是减函数，所以满足要求的的最小值为4，
故至少要经过4小时驾驶员才能驾驶车辆．
6、如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）
一对对轧辊的减薄率.
（1）输入钢带的厚度为，输出钢带的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？
（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为的轧辊，所有轧辊周长均为，若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为，易知，为了便于检修，请计算，，.
【答案】（1）11 ；（2），，.
【解析】
（1）设安装对轧辊，因为输入钢带的厚度为，输出钢带的厚度为，
每对轧辊的减薄率不超过，则有，
即，两边同时取对数可得，
所以至少安装对轧辊；
（2）第对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，，所以；同理：，，所以，.
7、学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：①函数是区间上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；③每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；④每天最多得分不超过6分.
现有三个函数模型①，②，③供选择.
（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
【答案】(1)模型③，理由见解析，；(2)55分钟
【解析】
（1）第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当时，匀速增长；
对于模型二，当时，先慢后快增长；
对于模型三，当时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.
第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：验证模型是否合适
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为.
（2）
由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
8、2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
【答案】(1)；(2)选择②，，（，）；(3)121元
【解析】
（1）
因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以，解得；
（2）
由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得：，解得，，
所以，（，）
（3）
由（2）可得，，
所以，，
所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值，且为121；
当，时，为单调递减函数，
所以当时，有最小值，且为124，
综上，当时，有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
9、第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示：
x 3 8 15 24
Q（x）（套） 12 13 14 15
已知第24天该商品的日销售收入为32400元.
（1）求k的值；
（2）给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.
【答案】(1)；；(2)②，理由见解析；第3天达到最低.
【解析】
（1）
由题意，得，解得；
（2）
表格中对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①．
对于模型②，将，代入②，，解得，
此时，经验证，均满足，故选模型②，
，
当且仅当时等号成立，故日销售收入在第3天达到最低．
10、2009年某市某地段商业用地价格为每亩48万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩96万元.现给出两种地价增长方式，其中：是按直线上升的地价，：是按对数增长的地价，是2009年以来经过的年数，2009年对应的值为0.
（1）求，的解析式；
（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.（参考数据：）
【答案】(1)，,，;；(2)应选择模型，理由见解析.
【解析】
(1)
由题知：，，代入解析式，
所以，解得：，
所以，；
又，，代入解析式可得
，
解得：，
所以，；
(2)
若按照模型，到2025年时，，，
直线上升的增长率为，不符合要求；
若按照模型，到2025年时，，
，
对数增长的增长率为，符合要求；
综上分析，应该选择模型．
11、第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西 C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.
（1）写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）
（2）求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
【解析】
（1）由题意知，当时，，
所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为1500；
当时，由基本不等式，得
，
当且仅当时取等号，
所以当时，有最大值，最大值为1550；
因为，
所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
12、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数（其中x是仪器的月产量）．
（1）将利润y表示为月产量x的函数；
（2）当月产量x为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？
【答案】(1)；(2)当时，平均每件产品所获利润最大为200元
【解析】
（1）设每月产量为x台，则总成本为，
从而，
（2）设平均每件产品的月利润为，
则，
当时，设任意的，
则，
显然当时，，
当时，，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，取得最大值为200元；
当时，，
∵，所以当时，平均每件产品所获利润最大为200元．
13、某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
（1）某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
（2）根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）
【答案】(1)2.8千米/秒；(2)不能，理由见解析
【解析】
（1）
由题意，，，，
∴，
∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．
（2）
∵，，∴．
∵，∴，
即．
∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒．
14、根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图像的一部分，其中顶点，且过点；当时，曲线是函数图像的一部分．专家认为，当指数大于或等于时定义为听课效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？
【答案】(1)
(2)当和这两个时间段老师多提问，增加活动环节
【解析】
(1)
，，将代入得
所以时，
将代入得
所以时，
所以
(2)
，得
当，得
所以当和这两个时间段老师多提问，增加活动环节．
15、近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
年份 2016 2017 2018
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2019年实际销售123万斤，超额完成预定目标．
（1）将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为；幂函数模型为．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系；
（2）依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗？
【答案】（1）选用二次函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系；（2）能预测该创业团队在2020年的农产品销售量为181万斤．
【解析】
（1）若选择二次函数模型：
依题意，将前三年数据分别代入，
得即解得
所以．
将代入，得，
所以，此与2019年实际销售量误差为（万斤）．
若选择幂函数模型：依题意，将前三年数据分别代入，
得即
解得所以．
将代入，得，
所以，此与2019年销售量的实际误差为（万斤）．
显然，
因此，选用二次函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系．
（2）依据（1），选用二次函数模型进行预测，
得（万斤）．
即预测该创业团队在2020年的农产品销售量为181万斤．第十讲-函数模型及其应用
知识点一、几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 （a，b为常数，）
二次函数模型 （a，b，c为常数，）
指数函数型模型 （a，b，c为常数，且，）
对数函数型模型 （a，b，c为常数，且，）
幂函数型模型 （a，b，n为常数，，）
反比例函数模型 （a，b为常数，）
分段函数模型
知识点二、三种函数模型性质比较
在上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
知识点三、对钩函数（耐克函数）
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数.
①定义域：；
②是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，.
2、特别的，对钩函数的简易形式：（）其图象如图：
①定义域：；
②（）是奇函数，图象关于原点对称；
③在，上单调递减；在，上单调递增；
④当时，；当时，.
考点一、一次函数模型
【典型例题】
1、某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为（ ）
A．45元 B．55元 C．65元 D．70元
2、某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润．
【变式练习】
1、某厂日生产文具盒的总成本(元)与日产量(套)之间的关系为.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2000套 B．3000套
C．4000套 D．5000套
2、刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表：
套餐 月租 本地话费 长途话费
套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟
套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟
刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）．
（1）设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数；
（2）请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐．
考点二、二次函数模型
【典型例题】
1、某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.
2、为适应改革的需要，公司计划新上某种机器设备，需要投入固定成本万元，生产与销售均以百台计数，且每生产台，还需增加可变成本万元．若市场对该产品的年需求量为台，每生产百台的实际销售收入（单位：万元）近似满足函数．
（1）试写出第一年的销售利润（万元）关于年产量（单位：百台，）的函数关系式；（说明：销售利润=实际销售收入成本）
（2）因技术等原因，第一年的年生产量不能超过台，若第一年人员的年支出费用（万元）与年产量（百台）的关系满足，问年产量为多少百台时，工厂所得纯利润最大？
【变式练习】
1、为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生校照相关政策投资销售一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量(单位:件)与销售单价(单位:元)之间的关系近似满足一次函数: .
（1）设他每月获得的利润为(单位:元)，写出他每月获得的利润与销售单价的函数关系式，并求出利润的最大值.
（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于元.如果他想要每月获得的利润不少于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少
2、某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．
图（1） 图（2）
（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
考点三、分段函数模型
【典型例题】
1、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x(台)是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)
2、某租赁公司有750辆电动汽车供租赁使用,管理这些电动汽车的费用是每日元．根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出去的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为元（），用(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入．(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)
（1）求关于的函数解析式；
（2）试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时？才能使日净收入最多，并求出日净收入的最大值．
【变式练习】
1、上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
2、2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)可以达到最大？并求出最大值.
考点四、对钩函数模型
【典型例题】
1、新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供（）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（），公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．
（1）将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴万元计入公司收入）；
（2）当复工率时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．
【变式练习】
1、如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
考点五、指数函数模型
【典型例题】
1、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
2、2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过天后气球体积变为.若经过25天后，气球体积变为原来的,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的. (，结果保留整数）
3、研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，为常数．
（1）若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求的值；
（2）设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素的放射性水平趋于“绝零”的最小整数．（参考数据：）
【变式练习】
1、渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（ ）参考数据：
A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟
2、爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.
3、自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；
（2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）
考点六、对数函数模型
【典型例题】
1、中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
2、每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：）
（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.
（2）若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.
【变式练习】
1、（多选题）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是（ ）．
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍
C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
2、天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星星的亮度为.已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的倍，则与最接近的是（当较小时，）（ ）
A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59
3、进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数．
（1）当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
（2）某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【模拟训练】
1、把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2、为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A． B． C． D．
3、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．30件 B．60件 C．80件 D．100件
4、某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
5、2020酒驾醉驾处罚标准：醉驾根据《刑法》第一百三十三条规定，处拘役，一到六个月．饮酒后驾驶机动车的，处暂扣六个月机动车驾驶证，记12分并处一千元以上二千元以下罚款．根据血液酒精含量定性，大于（等于）0.02mg/mL且小于（等于）0.08mg/mL的为酒驾，大于0.08mg/mL的为醉驾．某驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量上升到0.3mg/mL；在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．以（单位：mg/mL）表示该驾驶员在停止喝酒小时后血液中的酒精含量．
（1）将表示为的函数；
（2）为了保障交通安全，该驾驶员停止喝酒后至少要过几小时才能驾驶？（精确到1小时）
6、如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）
一对对轧辊的减薄率.
（1）输入钢带的厚度为，输出钢带的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？
（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为的轧辊，所有轧辊周长均为，若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为，易知，为了便于检修，请计算，，.
7、学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：①函数是区间上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；③每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；④每天最多得分不超过6分.
现有三个函数模型①，②，③供选择.
（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
8、2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．
9、第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示：
x 3 8 15 24
Q（x）（套） 12 13 14 15
已知第24天该商品的日销售收入为32400元.
（1）求k的值；
（2）给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.
10、2009年某市某地段商业用地价格为每亩48万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩96万元.现给出两种地价增长方式，其中：是按直线上升的地价，：是按对数增长的地价，是2009年以来经过的年数，2009年对应的值为0.
（1）求，的解析式；
（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型.（参考数据：）
11、第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔举行，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西 C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱.即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，是球迷们情怀的归宿，也是商人们角逐的竞技场.某足球运动装备生产企业，2022年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2022年最多能售出150千件.
（1）写出2022年利润（万元）关于年产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）
（2）求当2022年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
12、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数（其中x是仪器的月产量）．
（1）将利润y表示为月产量x的函数；
（2）当月产量x为何值时，平均每件产品所获利润最大？每件产品的最大利润为多少元？
13、某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．
（1）某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；
（2）根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．
（参考数据：）
14、根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图像的一部分，其中顶点，且过点；当时，曲线是函数图像的一部分．专家认为，当指数大于或等于时定义为听课效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问，增加学生活动环节？
15、近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值．其中，某位大学生带领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年来农产品销售量的统计表：
年份 2016 2017 2018
销售量/万斤 41 55 83
结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了2019年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努力，2019年实际销售123万斤，超额完成预定目标．
（1）将2016、2017、2018、2019年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年，现有两个函数模型：二次函数模型为；幂函数模型为．请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型能更好的反映该创业团队农产品的年销售量与第年的关系；
（2）依照目前的形势分析，你能否预测出该创业团队在2020年度的农产品销售量吗？

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