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第九讲-对数运算与对数函数
知识点一、对数的概念
1、对数的概念
一般地，如果的次幂等于，即，那么数叫作以为底的对数，记作.其中叫作对数的底数，叫作真数．[例如]
★特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
3、对数与指数的关系
一般地，对数与指数的关系如下：若，则 .
4、对数的性质
(1)1的对数为零，即；
(2)底的对数为1，即；
(3)零和负数没有对数．即中真数
知识点二、对数的运算
1、对数运算性质：
当时：
（1）；
（2）；
（3）.另外：
2、换底公式：.
3、倒数关系：.即
4、对数恒等式：.
题型一、对数概念的认识
【典型例题】
1、使有意义的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练习】
1、(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以为底的对数叫做常用对数
D．以为底的对数叫做自然对数
2、代数式有意义时，求的取值范围．
题型二、指数式与对数式的互化
【典型例题】
1、将下列指数式与对数式互化.
(1)； (2)；
(3)； (4).
【变式练习】
1、将下列指数式写成对数式：
(1)；(2)；(3)；(4)
2、将下列对数式改为指数式：
(1)，指数式为__________；
(2)，指数式为__________；
(3)，指数式为__________；
(4)，指数式为____________.
题型三、对数式求值
【典型例题】
1、求下列各式中的值：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【变式练习】
1、求下列各式中的值
（1）； （2）； （3）； （4）．
2、求下列各式中的的值
（1）；
（2）.
题型四、指对基本运算与综合应用
【典型例题】
1、计算下列各式
（1）_______ .
（2）__________．
（3）______．
2、已知，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
3、若，，则（ ）
B．
C． D．
4、若，，则（ ）
A． B． C． D．
5、已知且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
6、（多选题）已知，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1、计算下列各式
（1）______．
（2）______.
（3）
（4）
（5）
2、若，，则_______．
3、已知，则，则A等于__________．
4、设，，把用含的式子表示，形式为___________.
5、设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6、已知，则下列不等关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
7、（多选题）设都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8、若，且，则_____________．
题型五、对数的实际应用
【典型例题】
1、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为（k＝1，2）.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
2、我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（ ）
A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316
【变式练习】
1、一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟 （ ）（）
A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1
2、中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽 信道内信号的平均功率 信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（ ）（，）
A． B． C． D．
3、生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：
A．宋代 B．唐代 C．汉代 D．战国时期
知识点三、对数函数
1、对数函数的概念：一般地，我们把函数(，)叫作对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．叫作对数函数的底数．
【注意】对数函数必须是形如(，)的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1.
（2）底数为大于0且不等于1的常数．
（3）对数的真数仅有自变量.
2、对数函数的图象和性质：
函数
图象
定义域
值域 R R
过定点
单调性 单调递增 单调递减
3、对数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的关系
题型一、对数函数的概念与判断
【典型例题】
1、已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
2、已知对数函数，则______．
【变式练习】
1、给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥； ⑦.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、函数 为对数函数，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
题型二、对数型函数的图象
【典型例题】
1、函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
2、当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3、设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4、图中曲线分别表示的图像，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练习】
1、函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3、已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4、在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ）
A． B． C． D．
5、设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
6、若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7、已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
题型三、对数型函数的定点问题
【典型例题】
1、函数的图象经过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1、若幂函数的图象经过函数且图象上的定点，则　　．
2、已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．
题型四、对数型函数的定义域
【典型例题】
1、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1、函数的定义域为( )
A． B． C． D．
2、已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.
3、已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
题型五、对数型函数的性质运用
【典型例题】
1、函数的单调减区间是 .
2、已知在上是增函数，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3、已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.
4、已知函数，若是奇函数，则实数______．
【变式练习】
1、函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
2、若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．
3、已知在区间上为减函数，则实数的取值范围是________．
4、设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5、定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6、若函数是奇函数，则___________，___________.
7、若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
题型六、对数型函数的值域
【典型例题】
1、已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
2、函数的值域是________.
3、若函数，则函数的值域为___________.
【变式练习】
1、函数的值域是_____________．
2、函数的值域是( )
A．R B． C． D．
3、若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4、若函数 则函数的值域是( )
A． B． C． D．
题型七、解对数型不等式
【典型例题】
1、若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．
2、已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
【变式练习】
1、不等式的解集为______.
2、不等式的解集是_______．
3、已知函数，求不等式的解集．
4、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是______．
题型八、指对幂比大小
【典型例题】
1、（多选题）下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2、设则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3、已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4、已知，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
【变式练习】
1、（多选题）下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2、设，则（ ）
A. B. C. D.
3、已知，则（ ）
A. B. C. D.
4、设为正数，且，则（ ）
A． B. C. D.
5、函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【模拟训练】
1、把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6).
2、下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
3、计算下列各式：
(1)___________；
(2)_________；
(3)_________；
(4)________；
(5)________．
4、计算：
(1)； (2)．
5、(1)；(2)．
6、求值
7、计算( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8、(1)计算：.
(2)已知，，试用，表示.
9、已知，，若，，则的最大值为______.
10、若，则( )
A． B． C． D．2
11、设，则( )
A． B． C． D．
12、设，则( )
A．1 B．4 C．6 D．2
13、已知，则______．
14、下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
15、如果函数(且)的图象经过点，那么的值为( )
A． B． C．2 D．4
16、函数，已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17、函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
18、函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
19、已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.
20、已知是奇函数，当时，，若，则( )
A． B． C．2 D．1
21、定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（ ）
①是区间上的平均值函数，0是它的均值点；
②函数在区间上是平均值函数，它的均值点是5；
③函数在区间（其中）上都是平均值函数；
④若函数是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
22、（多选题）已知函数，则（ ）
A．该函数的定义域
B．当时，该函数的单增区间是
C．当时，该函数的单增区间是
D．该函数的值域为R
23、（多选题）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则
B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则
24、函数的定义域为__________．
25、函数的值域为，则实数的取值范围为( )
B． C． D．
26、若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
27、已知，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
28、设，，，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
29、设函数，则使得(1)成立的的取值范围是 .
30、函数恒过定点A，若点A也在函数的图像上，则= .
31、且)是增函数，那么函数的图象大致是( )
A． B．
C． D．
32、图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
33、已知函数的图象恒过点A，试写出一个满足下列条件的对数型函数的解析式______．
①图象恒过点A；②是偶函数；③在上单调递减．
34、函数且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则b的值为______．
35、已知函数为函数的反函数，且在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为___________.
36、已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则______.
37、函数的值域为，则实数的取值范围为______．
38、设函数，，则的值域为___________.
39、不等式的解集是___________
40、地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级计算公式为，其中是地震仪接收到的级地震的地震波的最大振幅（单位：米），（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的________倍．
41、已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为___________.
42、已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
43、已知函数.
(1)当时，求的定义域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
44、已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.第九讲-对数运算与对数函数
知识点一、对数的概念
1、对数的概念
一般地，如果的次幂等于，即，那么数叫作以为底的对数，记作.其中叫作对数的底数，叫作真数．[例如]
★特别的：规定,且的原因：
①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.
②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.
2、常用对数与自然对数
①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
3、对数与指数的关系
一般地，对数与指数的关系如下：若，则 .
4、对数的性质
(1)1的对数为零，即；
(2)底的对数为1，即；
(3)零和负数没有对数．即中真数
知识点二、对数的运算
1、对数运算性质：
当时：
（1）；
（2）；
（3）.另外：
2、换底公式：.
3、倒数关系：.即
4、对数恒等式：.
题型一、对数概念的认识
【典型例题】
1、使有意义的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．
故选：C.
【变式练习】
1、(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以为底的对数叫做常用对数
D．以为底的对数叫做自然对数
【答案】ACD
【解析】由对数的定义可知A,C,D正确；
对B，当且时，才能化为对数式.故选：ACD.
2、代数式有意义时，求的取值范围．
【答案】
【解析】由题意可得
解得．
题型二、指数式与对数式的互化
【典型例题】
1、将下列指数式与对数式互化.
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1).(2).(3).(4).
【解析】因为由可得，所以
(1)由可得；
(2)由可得；
由可得，所以
(3)由可得；
(4)由可得.
【变式练习】
1、将下列指数式写成对数式：
(1)；(2)；(3)；(4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【解析】(1)因为，所以.
(2)因为，所以.
(3)因为，所以.
(4)因为，所以.
2、将下列对数式改为指数式：
(1)，指数式为__________；
(2)，指数式为__________；
(3)，指数式为__________；
(4)，指数式为____________.
【答案】
【解析】由于，所以：
(1)，指数式为；
(2)，指数式为；
(3)，指数式为；
(4)，指数式为
故答案为：；；；.
题型三、对数式求值
【典型例题】
1、求下列各式中的值：
(1)； (2)；
(3)； (4).
【答案】(1)；(2)；(3)2；(4)
【解析】(1)因为所以.
(2)因为,所以.又所以
(3)因为所以于是
(4)因为所以于是
【变式练习】
1、求下列各式中的值
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）125；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，解得
（3）因为，所以，所以；
（4）因为，所以，所以.
2、求下列各式中的的值
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由得，
，解得x＝－2；
（2）由可得，
故，∴x＝＝64.
题型四、指对基本运算与综合应用
【典型例题】
1、计算下列各式
（1）_______ .
（2）__________．
（3）______．
【答案】(1)2(2)4(3)
【解析】(1)原式.
故答案为：2.
(2)原式
故答案为4
(3)
=．故答案为:．
2、已知，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】A
由得：，，
所以，
故选：A
3、若，，则（ ）
B．
C． D．
【答案】D
对于A，由，，得，，所以，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
4、若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
.
故选：B
5、已知且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
令，
则，，又，
∴，即，
∴.
故选：C.
6、（多选题）已知，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
由，则，则，
所以，所以A正确；
，所以B不正确；
由，因为，故等号不成立，则，故C正确；
因为，故等号不成立，故D正确.
故选：ACD.
【变式练习】
1、计算下列各式
（1）______．
【答案】0
【解析】由题意.
故答案为：.
（2）______.
【答案】
【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得
，
故答案为：.
（3）
【答案】0
原式
（4）
【解析】
（5）
【解析】原式.
2、若，，则_______．
【答案】
因为，
所以，
又，
所以，
所以
故答案为：
3、已知，则，则A等于__________．
【答案】
∵,∴，.
∴，.
又∵,
,
即，∴，.
故答案为：
4、设，，把用含的式子表示，形式为___________.
【答案】.
，
故答案为：
5、设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6、已知，则下列不等关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由，可得，
选项A：所以，所以A错误．
选项B：，所以B错误．
选项C：，所以C错误．
选项D：因为，故D正确.
故选：D．
7、（多选题）设都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
8、若，且，则_____________．
【答案】
解：因为，所以，，，又，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
题型五、对数的实际应用
【典型例题】
1、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为（k＝1，2）.已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以
故选：B.
2、我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得，，由此可知的近似值为（ ）
A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316
【答案】C
因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，
所以，
所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.
故选：C
【变式练习】
1、一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟 （ ）（）
A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1
【答案】B
解：根据题意，，即，解得，
，即，
所以，
所以；
故选：B
2、中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽 信道内信号的平均功率 信道内部的高斯噪声功率的大小.其中叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率为（ ）（，）
A． B． C． D．
【答案】C
解：当时，，
当时，，
∴，
∴ 的增长率约为.
故选：C
3、生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，若碳14含量与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：
A．宋代 B．唐代 C．汉代 D．战国时期
【答案】B
由题意可知：经过5730年衰减为原来的一半，所以，
故，因此，由此解得，
，由此可推断该文物属于唐代
知识点三、对数函数
1、对数函数的概念：一般地，我们把函数(，)叫作对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．叫作对数函数的底数．
【注意】对数函数必须是形如(，)的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1.
（2）底数为大于0且不等于1的常数．
（3）对数的真数仅有自变量.
2、对数函数的图象和性质：
函数
图象
定义域
值域 R R
过定点
单调性 单调递增 单调递减
3、对数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的关系
题型一、对数函数的概念与判断
【典型例题】
1、已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
2、已知对数函数，则______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，
可得，解得．
【变式练习】
1、给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
2、下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥； ⑦.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义，故选：B.
3、函数 为对数函数，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
因为函数 为对数函数，
所以函数系数为1，即即或，
因为对数函数底数大于0，
所以，，
所以．
题型二、对数型函数的图象
【典型例题】
1、函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
求可得或，解得或，排除BCD；
故选：A
2、当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
3、设且，函数，，则函数在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
函数，单调性相同，同增或者同减，故A错.
①若,，在定义域内单调递减，，令时，
如图C，若，则，此时的渐近线为，由图，解得，但此时这与与轴交点矛盾，故C错.
如图D，解得，无意义，故D错.
②若时，，在定义域内单调递增，当时，，且时，，此时B符合.选项B符合
故选:B
4、图中曲线分别表示的图像，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
当时，，
因为，
所以
故选：C
【变式练习】
1、函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数为上的减函数，排除AB选项，
函数的定义域为，
内层函数为减函数，外层函数为增函数，
故函数为上的减函数，排除D选项.
故选：C.
2、已知（且，且），则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵（且，且），
∴，∴，
∴，函数与函数互为反函数，
∴函数与的图象关于直线对称，且具有相同的单调性.
故选：B．
3、已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D
4、在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
故选：．
5、设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，
根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，
作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，
作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，
所以，故D正确，C错误；
6、若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由于是上的奇函数，所以，
所以为减函数，所以，
所以，为上的减函数，，
所以BCD选项错误，A选项正确.
故选：A
7、已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
题型三、对数型函数的定点问题
【典型例题】
1、函数的图象经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【变式练习】
1、若幂函数的图象经过函数且图象上的定点，则　　．
【答案】4
2、已知函数恒过定点，则函数的单调递增区间为______．
【答案】##
因为函数恒过定点，所以，
所以，
所以的单调递增区间为.
故答案为：.
题型四、对数型函数的定义域
【典型例题】
1、函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：由题可知，即，解得或.
故函数的定义域为.
故选：D.
2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为，所以的定义域为，
由题得，所以或.
所以函数的定义域为.
故选：B
【变式练习】
1、函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域满足：，解得.故选：A.
2、已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域是，即，
则函数有意义，则满足 ，解得，
解得，即函数的定义域是.故答案为：.
3、已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】根据条件可知在R上恒成立，
则，且，解得，
故a的取值范围是.
题型五、对数型函数的性质运用
【典型例题】
1、函数的单调减区间是 .
【解析】由题：，，解得：，
的减区间，即的减区间，对称轴为结合二次函数单调性，
所以的减区间.
2、已知在上是增函数，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】设， 在上是增函数，
，即，解得， 实数的取值范围是 ，故选：C．
3、已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.
【答案】；奇函数
【解析】由解得或，所以的定义域为，
定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
4、已知函数，若是奇函数，则实数______．
【答案】1
【解析】由题意，，即，
所以，化简得，解得．
【变式练习】
1、函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．
故选：D．
2、若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【解析】由函数在区间上是单调增函数，
只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，
所以满足解得．
3、已知在区间上为减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】（－4，4]
【解析】二次函数的对称轴为x＝，
由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，
即解得－4故答案为：（－4，4]
4、设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
方法一 :
由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，
故选：D．
5、定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
6、若函数是奇函数，则___________，___________.
【答案】1；0
【解析】因为函数是奇函数，
故，即，即.又，
故，
即，恒成立，
故，所以或，当时无意义.
当时满足奇函数.故
综上，，
7、若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
【答案】4
【解析】因为为定义域上的奇函数，
，
所以恒成立解得.
题型六、对数型函数的值域
【典型例题】
1、已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为，所以，所以，
故选：D
2、函数的值域是________.
【答案】
令，则，
因为，
所以的值域为，
因为在是减函数，
所以，
所以的值域为，
故答案为：
3、若函数，则函数的值域为___________.
【答案】
由已知函数的定义域为
又，定义域需满足，
令，因为 ，
所以，
利用二次函数的性质知，函数的值域为
故答案为：.
【变式练习】
1、函数的值域是_____________．
【答案】
，故
故答案为：
2、函数的值域是( )
A．R B． C． D．
【解析】恒成立，函数的定义域为
设
由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减，函数取到最大值即： 函数的值域为故选
3、若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，要使函数有最大值，
则内层函数要有最小正值，且外层函数为减函数，
可知0＜a＜1．要使内层函数要有最小正值，则，解得．综合得a的取值范围为．故选：B.
4、若函数 则函数的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.
题型七、解对数型不等式
【典型例题】
1、若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
，解得或.
2、已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】因为，所以，而，则，于是 .
【变式练习】
1、不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
2、不等式的解集是_______．
【答案】当时，解集为；当时，解集为
【解析】∵，
∴原不等式等价于，
当>1时，，解得0＜x＜2．
当时，，解得2＜x＜4．
∴当>1时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为
3、已知函数，求不等式的解集．
【答案】或
【解析】，
则不等式，即或，
故或，
所以不等式的解集为或．
4、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是______．
【答案】
根据题意，当时，根据二次函数知识，开口向下的二次函数，对称轴，则在上为减函数，又由为奇函数，则在上为减函数，且，故在上为减函数，由，得，即，解得，即实数的取值范围为．
故答案为：
题型八、指对幂比大小
【典型例题】
1、（多选题）下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
2、设则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3、已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4、已知，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【变式练习】
1、（多选题）下列式子中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
2、设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3、已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4、设为正数，且，则（ ）
A． B. C. D.
【答案】D
5、函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由偶函数知，
又，，，
显然，
又在单调递增，则.故选：C.
【模拟训练】
1、把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6).
【答案】见解析
【解析】(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6).
2、下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】对①，因为，，所以，故①正确；
对②，因为，，所以，故②正确；
对③，因为，故③错误；
对④，因为，故④错误.
故选：B.
3、计算下列各式：
(1)___________；
(2)_________；
(3)_________；
(4)________；
(5)________．
【答案】-2 6 2
【解析】(1)；
(2)
(3)
(4)
(5)
故答案为：；；；；.
4、计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【解析】
（1）
原式；
（2）
原式．
5、(1)；
(2)．
【答案】(1)2；(2)4.
【解析】(1)原式
．
(2)原式
．
6、求值
【答案】0
【解析】
原式
.
7、计算( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
故选：A
8、(1)计算：.
(2)已知，，试用，表示.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)原式
(2)∵，∴，
又，∴.
则.
9、已知，，若，，则的最大值为______.
【答案】4
【解析】因为，若， 所以，
所以，
所以；
又，所以，所以，当且仅当时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：4.
10、若，则( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意
根据指数式与对数式的转化可得
由换底公式可得
由对数运算化简可得
故选:A
11、设，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.
12、设，则( )
A．1 B．4 C．6 D．2
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以
.
故选：D.
13、已知，则______．
【答案】
【解析】由可得
所以，，
所以，
故答案为：.
14、下列函数是对数函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.
故选D
15、如果函数(且)的图象经过点，那么的值为( )
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为图象经过点，所以，所以且且，解得：，
故选：C.
16、函数，已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
由，可得，
∴，.
故选：B.
17、函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，可得函数在单调递减，在单调递增，
又由函数，满足，解得或，
根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.
故选：C.
18、函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】，因为在上单调递增，当时，外函数为减函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数不满足题意，当时，外函数为增函数，根据复合函数“同增异减”可得在定义域内为减函数且，所以满足题意，故选择B．
19、已知是上的减函数，那么的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
因为是上的减函数，所以，
解得，故答案为：
20、已知是奇函数，当时，，若，则( )
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题可知，
∴．
故选：C．
21、定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（ ）
①是区间上的平均值函数，0是它的均值点；
②函数在区间上是平均值函数，它的均值点是5；
③函数在区间（其中）上都是平均值函数；
④若函数是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析题目中的四个结论：
对于①，若是区间上的平均值函数，设其均值点为n，
则有，解可得n＝0，即0是它的均值点，①正确；
对于②，若函数在区间上是平均值函数，设其均值点为n，
则有，解可得n＝5或－1（舍），即5是它的均值点，②正确，
对于③，取，则由平均值函数定义可得，解得，，故③错误；
对于④，若函数是区间上的平均值函数，
则关于x的方程在内有实数根，
而，解得x＝m－1，x＝1（舍），
则x＝m－1必为均值点，即，即实数m的取值范围是，④正确；
其中①②④正确.
故选：C．
22、（多选题）已知函数，则（ ）
A．该函数的定义域
B．当时，该函数的单增区间是
C．当时，该函数的单增区间是
D．该函数的值域为R
【答案】ABCD
【解析】A选项，，解得：或，故函数的定义域，A正确；
B选项，当时，由于单调递增，故位于轴上方的单调递增区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是，B正确；
C选项，当时，由于单调递减，故位于轴上方的单调递减区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是，C正确；
D选项，能取到的任何值，故该函数的值域为R，D正确.
故选：ABCD
23、（多选题）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为R，则
B．若的值域为R，则或
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则
【答案】BD
【解析】对于A，若的定义域为R，则在R上恒成立，所以，所以，所以A错误；
对于B，若的值域为R，则，所以或，所以B正确：
对于C，若，则，函数的定义域为，设，即求函数的减区间，由复合函数的单调性原理得函数的单减区间为，所以C错误；
对于D，若在上单调递减，则且，所以，所以D正确．
故选：BD
24、函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】由题意得，得，解得，
所以函数的定义域为，故答案为：
25、函数的值域为，则实数的取值范围为( )
B． C． D．
【解析】(1)若函数的值域为R，故函数y＝ax2+2x+a能取遍所有的正数．
当a＝0时符合条件；
当a＞0时，应有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0综上知实数a的取值范围是．故选D.
26、若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
因为函数是减函数，
所以，
又函数在上是增函数，
所以，
所以，即，
，
所以.
故选：B.
27、已知，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，即，
又，即，
所以，即，
综上可得，
故选：A
28、设，，，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【答案】C
【解析】∵9＞8，∴3＞，故，从而有，
故选：C
29、设函数，则使得(1)成立的的取值范围是 .
【解析】根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
当时，，函数和函数都是，上为增函数，则在，上为增函数，
(1)(1)，解可得或，
即的取值范围为，，；
30、函数恒过定点A，若点A也在函数的图像上，则= .
【答案】-9
31、且)是增函数，那么函数的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵可变形为，若它是增函数，则，
，∴为过点(1，0)的减函数，
∴为过点(1，0)的增函数，
∵图象为图象向左平移1个单位长度，
∴图象为过(0，0)点的增函数，故选D．
32、图中曲线是对数函数的图象，已知取，，，四个值，则相应于，，，的值依次为　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【解析】由已知中曲线是对数函数的图象，
由对数函数的图象和性质，可得，，，的值从小到大依次为：，，，，
由取，，，四个值，故，，，的值依次为，，，，
故选：．
33、已知函数的图象恒过点A，试写出一个满足下列条件的对数型函数的解析式______．
①图象恒过点A；②是偶函数；③在上单调递减．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
函数中，令，解得，，所以的图象恒过点．
取，则，满足条件①；
，定义域为，则是偶函数，满足条件②；
易知在内单调递减，满足条件③．
故答案为：（答案不唯一）
34、函数且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则b的值为___
【答案】-1
【解析】
依题意，由解得，此时，于是得点，
而点A在函数的图象上，即有，解得，
所以b的值为-1.
故答案为：-1
35、已知函数为函数的反函数，且在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值为___________.
【答案】2
【解析】
因为为函数的反函数，所以，
又，所以在上单调递增，
所以当时，，
由题意，，
所以，，
解得或（舍去）.
故答案为：2.
36、已知且，且，函数的图象过定点A，A在函数的图象上，且函数的反函数过点，则______.
【答案】8
【解析】
函数的图象可以由的图象向右平移2各单位长度，再向上平移3个单位长度得到，故点A坐标为，又的反函数过点，所以函数过点，所以，解得，所以.
故答案为：8
37、函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
由题可知，函数的值域为，
令，由题意可知为函数的值域的子集.
①当时，，此时，
函数的值域为，合乎题意；
②当时，若为函数的值域的子集，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
38、设函数，，则的值域为___________.
【答案】
【解析】
因为，令，则.
故函数的值域为.
故答案为：.
39、不等式的解集是___________
【答案】
【解析】
由对数函数的图象与性质，可知函数在上是单调递减函数，
所以不等式等价于不等式组 ，解得，
即不等式的解集为.
40、地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级计算公式为，其中是地震仪接收到的级地震的地震波的最大振幅（单位：米），（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的________倍．
【答案】10000
【解析】
∵，
∴，即，
∴，，
∴，即8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的10000倍.
故答案为：10000
41、已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为___________.
【答案】
【解析】
因为函数为奇函数，
所以，
由于函数在单调递增，
所以，
由于，
所以
因为函数在上是增函数，
所以，即
故答案为：
42、已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）
函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2）
，
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）
函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
43、已知函数.
(1)当时，求的定义域；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：当时，令，
即，即，解得，所以的定义域为.
(2)
解：由对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
因为是单调递减函数，是单调递减函数，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，即的取值范围为.
44、已知函数.
(1)当时,求；
(2)求解关于的不等式；
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【解析】
(1)当时，
(2)由得：
或
当时，解不等式可得：或
当时，解不等式可得：或
综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为
(3)由得：
或
①当时，，
或，解得：
②当时，，
或，解得：
综上所述：的取值范围为

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