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1.基本不等式题型练习
例：已知实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b=2，则下列结论正确的有（ ）
A.的最小值为 B.的最小值为3
C.的最大值为3 D.的最小值为2
1．若a，b∈（0，+∞），且，则的最小值为　 　．
2．设x、y∈R，a＞0，b＞0，若ax＝by＝3，a+2b＝，则的最大值为 　 　．
3．已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则（　　）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
4．若a，b∈R，ab＞0，则的最大值为　 　．
5．已知0，则的最小值是　 　．
6．设m＞n＞0，那么的最小值是 　 　．
7．若正实数a，b满足a+b＝1，则函数f（x）＝abx2+（3b+1）x﹣36ab的零点的最大值为　 　．
8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，则a+2b的最大值为　 　．
9．已知x，y∈R且满足2x2﹣y2+xy＝2，则x2+2y2的最小值是　 　．
10．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则+的最小值是　 　．
11．已知正实数a，b满足2a+b＝4，则的最小值是　 　．
12．若实数a，b满足，则的最小值为　 　．
13．已知实数a＞0，b＞0，，则的最小值是　 　．
14．已知实数a，b满足，且a＞2b，则的最小值为　 　．
15．已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为　 　．
16．若a＞1，b＞0，则的最小值为 　 　．
17．已知a，b，c∈R+，且a＞4，ab+ac＝4，则的最小值是　 　．
18．已知正实数x，y满足，，则x+2y的最小值　 　．
答案：
一．基本不等式（共17小题）
1．若a，b∈（0，+∞），且，则的最小值为（　　）
A．9 B．3 C．1 D．
【分析】结合基本不等式得到（）（）＝b+4+1+＝5+b+≥5+2＝9，进而求解结论．
【解答】解：∵a，b∈（0，+∞），且，
（）（）＝b+4+1+＝5+b+≥5+2＝9，当且仅当b＝时等号成立，
∴9（）≥9，
故≥1，
即的最小值为1．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
2．设x、y∈R，a＞0，b＞0，若ax＝by＝3，a+2b＝，则的最大值为 　1　．
【分析】由ax＝by＝3化简得+＝log3ab，再由基本不等式可得2ab≤＝6，从而可得ab≤3，从而确定最大值．
【解答】解：∵ax＝by＝3，
∴x＝loga3，y＝logb3，
∴＝log3a，＝log3b，
∴+＝log3a+log3b＝log3ab，
∵2ab≤＝6，
∴ab≤3，故ab的最大值为3，
当且仅当a＝2b＝时，等号成立，
故+＝log3ab≤log33＝1，
故+的最大值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，对数函数的单调性及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用，属于中档题．
3．已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则（　　）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【分析】由a2﹣b+4＝0可得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即＝，从而＝3﹣＝3﹣＝3﹣，进一步结合a＞0即可利用基本不等式进行求解．
【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即＝，
又a＞0，所以＝3﹣＝3﹣＝3﹣≥3﹣＝3﹣＝，
当且仅当a＝，即a＝2，b＝8时等号成立，所以有最小值，无最大值，
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
4．若a，b∈R，ab＞0，则的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【分析】利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为a4+4b4＝（a2）2+（2b2）2≥4a2b2，
当且仅当a2＝2b2时取等号，
所以，
又，
当且仅当，即时取等号，
联立方程组，解得，
所以，
当且仅当时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的理解与应用，主要考查了基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．
5．已知0，则的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据＝2（）（x+）﹣1，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为0，所以＝+＝﹣1
＝2（）（x+）﹣1＝2（2+）﹣1≥2（2+2）﹣1＝7，
当且仅当，即x＝时取等号，此时的最小值是7．
故选：C．
【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值，考查了转化思想，属于基础题．
6．设m＞n＞0，那么的最小值是 　8　．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：m＞n＞0，则＝＝＝8，
当且仅当m﹣n＝n且，即m＝1，n＝时取等号．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
7．若正实数a，b满足a+b＝1，则函数f（x）＝abx2+（3b+1）x﹣36ab的零点的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】令f（x）＝0整理得，利用基本不等式“I”的代换可得，求解不等式即可判断．
【解答】解：f（x）＝0，则
则，
，
∴，
而≥5+2＝9，
当且仅当a＝2b时取等，
∴，
∴x≤﹣12或 0＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，基本不等式的应用，属中档题．
8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，则a+2b的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．3
【分析】先变形，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵7＝（a+2b）2﹣ab＝（a+2b）2﹣a 2b
≥（a+2b）2﹣（）2＝，
则（a+2b）2≤8，即|a+2b|≤2，
又a，b∈（0，+∞），所以0＜a+2b≤2
当且仅当a＝2b＝时取等号，
∴a+2b的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
9．已知x，y∈R且满足2x2﹣y2+xy＝2，则x2+2y2的最小值是　　．
【分析】由已知可得2x﹣y）（x+y）＝2，然后换元令2x﹣y＝m，x+y＝n，用含m，n的式子表示x，y，代入到所求式子后结合基本不等式可求．
【解答】解：2x2﹣y2+xy＝2 （2x﹣y）（x+y）＝2，
令2x﹣y＝m，x+y＝n，
则x＝，y＝，且mn＝2，
所以x2+2y2＝（）2+2×（）2＝﹣＝，
当且仅当时取等号，此时x2+2y2的最小值．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，换元法的应用可以简化基本运算，属于基础题．
10．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则+的最小值是　2　．
【分析】由已知得，a＝＞0，从而可得b＞1，然后把a＝代入所求式子，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为正数a，b满足a+b+2＝ab，
所以a＝＞0，
所以b＞1，
则+＝＝b﹣1+，
当且仅当b﹣1＝，即b＝1+时取等号，
故则+的最小值2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用，属于基础题．
11．已知正实数a，b满足2a+b＝4，则的最小值是（　　）
A． B．4 C． D．
【分析】根据已知得到2a+4+b＝8，进而利用“1”的代换即可求解结论．
【解答】解：∵正实数a，b满足2a+b＝4，
∴2a+4+b＝8，
∴＝+
＝（+）×（2a+4+b）×
＝（6++）
≥（6+2）＝，当且仅当2a+4＝b时等号成立．
故选：D．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．
12．若实数a，b满足，则的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】先变形得到（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，再利用“1”的代换和基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵，∴2a﹣1＞0，b﹣1＞0，
∴（2a﹣1）+（b﹣1）＝1，
∴＝++2＝（+）[（2a﹣1）+（b﹣1）]+2
＝++4≥2+4＝6，
当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
∴的最小值为6，
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
13．已知实数a＞0，b＞0，，则的最小值是　　．
【分析】可根据得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值．
【解答】解：∵，
∴，且a＞0，b＞0，
∴＝，当且仅当，即时取等号，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了分离常数法的运用，基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
14．已知实数a，b满足，且a＞2b，则的最小值为（　　）
A．1 B． C．4 D．
【分析】先得到ab＝1，再合理变形得到＝a﹣2b+，最后利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵，∴＝1﹣＝，∴ab＝1，
∵a＞2b，∴a﹣2b＞0，
∴＝＝a﹣2b+≥2＝4，
当且仅当a﹣2b＝，即a＝+1，b＝时取等号，
∴的最小值为4，
故选：C．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值问题，合理变形是关键，属于中档题．
15．已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用基本不等式变形得，，然后把进行变形代换，解二次不等式可求．
【解答】解：因为xy≤，当且仅当x＝y时取等号，
所以，
所以，
又＝x+y+，
所以x+y+≤5，
即（x+y）2﹣5（x+y）+4≤0，
解得，1≤x+y≤4．
所以x+y的最大值与最小值的和为5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式，不等式的性质在求解最值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
16．若a＞1，b＞0，则的最小值为 　2+1　．
【分析】两次利用基本不等式，即可求出的最小值．
【解答】解：当a＞1，b＞0时，
＝+（a﹣1）++1
≥2++1＝++1
≥2+1＝2+1，
当且仅当，即a＝1+且b＝2时取“＝”，
所以的最小值为2+1．
故答案为：2+1．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
17．已知a，b，c∈R+，且a＞4，ab+ac＝4，则的最小值是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】先由ab+ac＝4，得b+c＝，再把++转化为++＝（+）+的形式，积为定值，利用基本不等式解决即可．
【解答】解：∵ab+ac＝4，∴b+c＝，
∴++＝++＝（+）+≥2＝8，
当且仅当+＝，即 +＝4，又∵a＞4，∴a＝4+2时取等号，
∴++的最小值为8．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意一正，二定，三等的应用，属于中档题．

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