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人教B版（2019）选择性必修第一册《2.8 直线与圆锥曲线的位置关系》2022年同步练习卷（1）
一 、单选题（本大题共4小题，共24分）
1.（6分）已知抛物线M的顶点为原点，且对称轴为y轴，若正方形ABCD与抛物线有公共点，其中A(-2，-2)，B(-4，-2)，C(-4，-4)，则抛物线M的焦点到准线的最大距离为 ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
2.（6分）中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标是，则此椭圆的离心率为
A. B. C. D.
3.（6分）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为，则抛物线的方程为
A. B. C. D.
4.（6分）已知椭圆的上顶点为，离心率为，若在上存在点，使得，则的最小值是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共2小题，共8分）
5.（4分）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点在第一象限，为线段的中点．在抛物线的准线上的射影为点，则下列说法正确的是
A. 的最小值为 B.
C. 面积的最小值为 D. 若直线的斜率为，则
6.（4分）已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，的斜率为，且，，两点在轴上方．则下列结论中一定成立的是
A. B. 若，则
C. D. 四边形面积最小值为
三 、填空题（本大题共4小题，共24分）
7.（6分）经过点作直线交双曲线于、两点，且是的中点，则直线的方程为 ______ ．
8.（6分）直线与抛物线交于，两点，过，两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，则梯形的面积为______．
9.（6分）已知点是抛物线：的焦点，点在上，垂直的准线于点，点为轴上一点，若为的平分线，且则点的纵坐标为 ______.
10.（6分）已知为坐标原点，，分别是椭圆：的左，右焦点，为椭圆的右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线与轴交于点，且，则的离心率为__________.
四 、解答题（本大题共2小题，共24分）
11.（12分）已知圆，直线的方程为若直线过定点，点，在圆上，且，为线段的中点，求点的轨迹方程.
12.（12分）已成椭圆：的离心率为其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于、两点．
求椭圆的方程；
设是中点，且点的坐标为，当时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】由题意得，设抛物线，要使得抛物线M与正方形ABCD有公共点，则其临界状态应该是过B点或过D点，把B，D的坐标分别代入抛物线方程，可得或，故抛物线M的焦点到准线的最大距离为4，故选B．
2.【答案】B;
【解析】设弦两端点为，，设椭圆方程为，把代入椭圆方程并整理得，则，由题意，即，所以，
3.【答案】C;
【解析】解：由题意，可知直线的方程为，即，
由，消去，得，
设，，则，
又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为，所以，
而，所以，
所以，解得，
所以抛物线的方程为
故选：
设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合抛物线的定义，转化求解，得到抛物线方程即可．
本题重点考查直线的方程，抛物线的定义、标准方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识，考查转化与化归的思想，属中档题．
4.【答案】C;
【解析】解：椭圆的上顶点为，可得，
在上存在点，设，则，使得，
所以，
即，
即方程在区间上有解，
，
因为，，
所以，只需，
即，
解得
椭圆的离心率的最小值为：
故选：
求出，设，则，利用距离公式得到，构造函数，通过二次函数的性质求解的范围，得到最小值即可．
此题主要考查椭圆的简单性质的应用，离心率范最小值的求法，是中档题．
5.【答案】ABD;
【解析】解：对于，对于，，设，则
故，当且仅当时，等号成立，故正确，
设直线的方程为，由，，
设两交点的坐标分别为，，，，，
的纵标为，，，，，在，，
，故正确；
，
到的距离，
，
当时，取最小值，故不正确；
若的斜率为，的直线方程为，
与抛物线方程组成方程组消去得，
求解可得，，从而，，，，
，，，故正确．
故选：
利用抛物线的性质，设出直线的方程，结合每个选项逐项计算即可．
此题主要考查了抛物线性质的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
6.【答案】AC;
【解析】解：的斜率为，倾斜角为，
则有，，所以正确，
，，，
则，，错；
，所以正确；
，四边形面积最小值为，所以不正确；
故选：
利用抛物线的极坐标方程求出，，，，然后计算求解判断选项的正误即可．
此题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查计算能力，是难题．
7.【答案】8x-31;
【解析】解：设点，点，，
则 ①
②
①②得，
，
，
，
直线的方程为，
故答案为：．
设点，点，，得到①， ②然后，①②并结合有关中点坐标公式求解．
本题重点考查了直线与双曲线的位置关系、中点弦问题等知识，处理中点弦问题时，常常采用“点差法”进行处理．
8.【答案】;
【解析】
这道题主要考查了抛物线与直线的位置关系．
依题意联立方程组消去，进而求得交点的坐标，进而根据，和的值求得梯形的面积．

解：直线与抛物线交于，两点，过，两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，

联立方程组得
消元得，
解得，和
，，，梯形的面积为．
故答案为．
9.【答案】;
【解析】解：因为点在上，设由题可得，又轴，

为的平分线，所以与均为等边三角形．不妨设，
则所在的直线方程为将代入，得，
解得由抛物线的对称性，得也符合题意．
故答案为：
设又轴，可得与均为等边三角形．可得所在的直线方程为代入可求，再利用对称性可求另一解．
此题主要考查抛物线的几何性质，属中档题．
10.【答案】;
【解析】解：由题意，得椭圆：的左、右焦点分别为，，且
因为轴，所以不妨设，
则直线的方程为，
令，可得，
所以直线与轴的交点为，易得
又，所以，化简得，
所以椭圆的离心率
11.【答案】解 直线的方程为，即，则有解得即点的坐标为因为点，在圆上，且，为线段的中点，则，设的中点，则，即，化简可得，即为点的轨迹方程.
;
【解析】此题主要考查圆的方程、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式以及直线与圆的位置关系。
将直线的方程变形后知其经过定点
，连接，，，由垂径定理及直角三角形的性质可得与，则，设，由与可得，将其整理后即可得到点的轨迹方程。
12.【答案】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为．
其右顶点与上顶点的距离为，
∴由题意知：，解得a=，b=，
∴椭圆C的方程为：．
（2）①若直线l的斜率不存在，此时M为原点，满足QM⊥AB，∴方程为x=0；
②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A（，），B（，），
将直线方程与椭圆方程联立，得（2+3）+12kx+6=0，
△=72-48＞0，，
设M（，），则，，
由QM⊥AB，知，化简得3+5k+2=0，
解得k=-1或k=-，将结果代入△=72-48＞0验证，舍掉k=-，
此时，直线l的方程为x+y-2=0，
综上所述，直线l的方程为x=0或x+y-2=0．;
【解析】
椭圆的离心率为其右顶点与上顶点的距离为，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的方程．
若直线的斜率不存在，直线方程为；若直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线的方程．
此题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用．

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