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第四章 指数函数与对数函数
4.5.2 用二分法求方程的近似解
学案
一、学习目标
1.理解二分法的概念及其适用条件，能借助计算工具用二分法求方程的近似解.
2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值.
3.了解二分法求方程的近似解具有一般性.
二、知识归纳
1.二分法的概念：对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.用二分法求函数的零点的近似值：给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点c；
（3）计算，并进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则c就是函数的零点，
②若（此时），则令，
③若（此时），则令；
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.
三、习题检测
1.用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此时零点所在的区间是( )
A. B. C. D.无法确定
2.在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.6 B.0.69 C.0.7 D.0.8
3.用二分法求方程在内的近似解的过程中，构造函数，算得，，，，则该方程的根所在的区间是( )
A. B. C. D.
4.某同学求函数的零点时，用计算器算得的部分函数值如表所示：
x 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625
-1.3069 1.0986 -0.084 0.512 0.215 0.066
则方程的近似解（精确度为0.1）可取为( )
A.2.52 B.2.625 C.2.47 D.2.75
5.下列关于函数，的命题中，正确的是( )
A.若且满足，则是的一个零点
B.若是在上的零点，则可用二分法求的近似值
C.函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
6.用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得方程的一个近似解为_____________(精确度为0.01).
7.在用二分法求方程的一个近似解时，将根锁定在区间内，则下一步可以判断该根所在区间为__________.
8.已知函数，，，，求证，并利用二分法证明方程在区间内有两个实数根.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，的零点在区间上.
，，.故选B.
2.答案：C
解析：已知，，则函数的零点所在的初始区间为，又，且，所以零点在区间上，因此函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为0.7，故选C.
3.答案：B
解析：由，得，易知函数的图象是连续不断的，根据零点存在定理可知，函数的一个零点，即方程的根所在的区间是，故选B.
4.答案：A
解析：由，，得方程的近似解在内，精确度为1；由，得方程的近似解在内，精确度为0.5；由，得方程的近似解在内，精确度为0.25；由，得方程的近似解在内，精确度为0.125；由，得方程的近似解在内，精确度为0.0625<0.1.因此可取区间内的任意值作为方程的近似解，故选A.
5.答案：A
解析：对于A，若且满足，则是的一个零点，所以A正确；对于B，若，则无法使用二分法求的近似值，所以B不正确；对于C，函数的零点是方程的根，的根一定是函数的零点，所以不正确；对于D，用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，所以D不正确.故选A.
6.答案：1.56
解析：，，函数的一个零点在区间上，方程的一个近似解（精确到0.01）为1.56.
7.答案：
解析：设，则，.
取区间的中点值，则，
故下一步可以判断该根所在区间为.
8.证明：，，即.
，，，
，即.
，，.
取区间的中点值，则.
，，
函数在区间和上各有一个零点.
又为二次函数，最多有两个零点，
在内有两个实数根.
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