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2022-2023学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x+y﹣1＝0 B．x+﹣1＝0 C．x2＝x+1 D．x+1＝2x
2．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
3．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x+1）＝132 B．x（x﹣1）＝132
C． D．x（x﹣1）＝132×2
5．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
7．如图，在△ABC中，DF∥EG∥BC，且AD＝DE＝EB，△ABC被DF、EG分成三部分，且三部分面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（　　）
A．1；1：1 B．1：2：3 C．1：3：5 D．1：4：9
8．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（　　）
A． B． C．2 D．
9．如图：将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，下列结论：
①△ABD，△BCD都是等腰三角形；
②AD＝BD＝BC；
③BC2＝CD CA；
④D是AC的黄金分割点
其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．为了测量旗杆的高度，某同学测得阳光下旗杆的影长为2m，同一时刻长度为1m的标杆影长为0.4m，则旗杆的高度为 　 　m．
12．若关于x的方程（1+x）（x+3）＝ax2+1是一元二次方程，则a取值范围　 　．
13．已知一元二次方程x2﹣6x+9＝0的两根为x1、x2，则x1 x2＝　 　．
14．如图，P是菱形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，且PE＝3，则点P到AD的距离为　 　．
15．某人掷两枚质地均匀的骰子（骰子的六个面分别为1点，2点，3点，4点，5点，6点），则该人掷一次出现两枚骰子点数和为6的概率是　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：（1）当点E为边AB的中点时，S△EFG＝5；（2）MG＝EF；（3）当AE＝时，FG＝2；（4）若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝CD，点E在AB上，∠B＝2∠AED，CF⊥ED，若CF＝，BE+BC＝，则EC＝　 　．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
18．解方程：2y（y﹣2）＝y2﹣2．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx﹣（a﹣c）＝0．其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H．
（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；
（2）若AB＝4，BC＝8，当AE的长为 　 　时，四边形BHDG是菱形．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．数学活动课上，数学老师给4张相同的小卡片分别编号并写上：①四边形ABCD是平行四边形；
②四边形ABCD是矩形；
③四边形ABCD的对角线互相垂直；
④四边形ABCD的一组邻边相等，然后将这4张小卡片放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1张小卡片，抽到卡片②的概率是 　 　；
（2）用画树状图或列表的方法，求搅匀后从中同时抽出的2张小卡片能说明四边形ABCD一定是正方形的概率．
22．某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？
23．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，求菱形的周长和面积．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm．一动点M在边AC上从A向C以3cm/s的速度匀速运动，另一动点N在边BC上同时从C向B以2cm/s的速度匀速运动，当其中一个点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动的时间为x秒．
（1）当运动时间x为多少秒时，△CMN的面积为5cm2？
（2）当运动时间x为多少秒时，以C、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？
25．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AE＝2，求AB的长；
（3）如图2，连接AG，请探究线段EG、AG、DG之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：C．
3．解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
4．解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，
那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，
所以，x（x﹣1）＝132．
故选：B．
5．解：画树状图为：
共有12个等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号之和为偶数的结果数为4个，
∴两次摸出的小球的标号之和为偶数的概率为＝，
故选：C．
6．解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴，
∴选项C符合题意，
故选：C．
7．解：∵DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
又∵AD＝DE＝EB，
∴三个三角形的相似比是1：2：3，
∴面积的比是1：4：9，
设△ADF的面积是a，则△AEG与△ABC的面积分别是4a，9a，
∴S2＝3a，S3＝5a，则S1：S2：S3＝1：3：5．
故选：C．
8．解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，
∴GH＝GM＝，
故选：A．
9．解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵AE＝EB＝3，EF＝FD，设EF＝DF＝x．则AF＝6﹣x，
在Rt△AEF中，∵AE2+AF2＝EF2，
∴32+（6﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴AF＝6﹣＝，
故选：B．
10．解：如图，∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，
∠BDC＝∠ABD+∠A＝72°＝∠C，
∴BC＝BD，
∴△ABD，△BCD都是等腰三角形，故①正确；
∴BC＝BD＝AD，故②正确；
∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
即BC2＝CD AC，故③正确；
∵AD＝BD＝BC，
∴AD2＝AC CD＝（AD+CD） CD，
∴AD＝CD，
∴D是AC的黄金分割点．故④正确，
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：设该旗杆的高度为xm，
根据题意，得1：0.4＝x：2，
解得x＝5．
即该旗杆的高度是5m．
故答案为：5．
12．解：（1+x）（x+3）＝ax2+1，
整理得：（a﹣1）x2﹣4x﹣2＝0，
∵关于x的方程（1+x）（x+3）＝ax2+1是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1．
13．解：∵一元二次方程x2﹣6x+9＝0的两根为x1、x2，
∴x1 x2＝9，
故答案为：9．
14．解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF＝PE＝3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
15．解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中点数和为6的结果数为5，
则该人掷一次出现两枚骰子点数和为6的概率是；
故答案为：．
16．解：（1）过M作MQ⊥BC于Q，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABQM是矩形，AB＝MQ＝2，
∵E、M分别是AB、AD的中点，
∴AM＝DM＝AE＝1，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴EM＝AM＝，
在△AEM和△DMF中，，
∴△AEM≌△DMF（AAS），
∴EM＝FM＝，
∴EF＝2，
∵∠AMQ＝∠EMG＝90°，
∴∠AME＝∠QMG，
∵∠EAM＝∠MQG＝90°，
∴△AME∽△QMG，
∴＝＝，
∴MQ＝QG＝2，
∴△MQG是等腰直角三角形，
∴MG＝MQ＝2，S△EFG＝EF MG＝×2×2＝4，
∴（1）错误；
（2）过点E作EW⊥CD于W，如图2所示：
则EW＝AD＝MQ＝AB，∠MHE＝90°，
∵∠MEW+∠EMQ＝∠EMQ+∠GMQ＝90°，
∴∠FEW＝∠GMQ，
在△FEW和△GMQ中，，
∴△FEW≌△GMQ（ASA），
∴MG＝EF，
∴（2）正确；
（3）在△AEM和△DMF中，，
∴△AEM≌△DMF（AAS），
∴EM＝FM，EM＝＝＝2，
∴FM＝2，EF＝2EM＝4，
∴MG＝EF＝4，
∴FG＝＝＝2，
∴（3）正确；
（4）当点E在A点时，P为正方形的中心，当点E运动到B点时，P运动到P′，如图3所示：
∵∠ABM+∠MBG＝∠MBG+∠MGB＝90°，
∴∠ABM＝∠MGB，
∵∠BAM＝∠GMB＝90°，
∴△ABM∽△MGB，
∴＝＝，
∵P为MQ的中点，P'为MG的中点，
∴PP'是△MQG的中位线，
∴PP'∥BC，
∴∠MP'P＝∠MGB，∠MPP'＝∠BMG＝90°，
∴△MPP'∽△BMG，
∴＝＝，
∴PP'＝2MP＝2，
∴（4）正确；
正确的结论有3个，
故答案为：3．
17．解：如图，延长DE，CB交于点H，过点A作AN⊥DN，
∵∠ABC＝2∠AED，∠ABC＝∠H+∠BEH＝∠H+∠AED，
∴∠H＝∠BEH，
∴BE＝BH，
∴CH＝BH+BC＝BE+BC＝，
∵∠CDF＝∠CDH，∠ACB＝∠CFD＝90°，
∴△CDF∽△HDC，
∴＝＝，
设DF＝，CD＝a，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴a＝，
∴DF＝2，CD＝，
∵AD＝CD，∠ADN＝∠CDF，∠N＝∠CFD，
∴△ADN≌△CDF（AAS），
∴CF＝AN＝，DF＝DN＝2，
∵∠N＝∠ACB，∠AEN＝∠H，
∴△AEN∽△DHC，
∴
∴
∴EN＝5，
∴EF＝1，
∴EC＝＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
18．解：∵2y（y﹣2）＝y2﹣2，
∴y2﹣4y+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，
则y＝＝2±，
∴y1＝2+，y2＝2﹣．
19．解：（1）将x＝﹣1代入原方程得：（a+c）﹣2b﹣（a﹣c）＝2c﹣2b＝0，
即b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2+4（a+c）（a﹣c）＝4b2+4a2﹣4c2＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程为x2+x＝x（x+1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠AGE＝∠CHF，
∵∠BAD+∠GAE＝∠BCD+∠HCF＝180°，
∴∠GAE＝∠HCF＝90°，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（AAS），
∴AG＝CH，
∴AB+AG＝CD+CH，即BG＝DH，
∵AB∥CD
∴四边形BHDG是平行四边形；
（2）∵四边形BHDG是菱形，
∴BH＝DH，
∵BH2＝BC2+CH2，
∴BH2＝64+（BH﹣4）2，
∴BH＝10＝DH，
∴CH＝6，
∵AB∥CD，
∴△BGF∽△CHF，
∴，
∴，
∴CF＝3，
故答案为：3．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．解：（1）搅匀后从中任意抽出1张小卡片，抽到卡片②的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中能说明四边形ABCD一定是正方形的有4种，
则能说明四边形ABCD一定是正方形的概率是＝．
22．解：第一周获利：300×（35﹣20）＝4500（元）．
第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）＝4900（元）．
设第二周每个商品的单价应降低x元，
根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣（20﹣15）（900﹣300﹣300﹣50x）＝9500，
即：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝4，x2＝10，
当x＝10时，300+50x＝300+500＝800，300+800＝1100＞900（不合题意舍去）．
答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．
23．解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
∴AB＝5，
∴周长L＝4AB＝20；
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S＝AC×BD＝24．
综上可得菱形的周长为20、面积为24．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm，
∴AC＝＝8（cm），
∵动点M在边AC上从A向C以3cm/s的速度匀速运动，另一动点N在边BC上同时从C向B以2cm/s的速度匀速运动，运动时间为x秒，
∴AM＝3xcm，CN＝2xcm，
∴CM＝（8﹣3x）cm，
（1）△CMN的面积为5cm2可得：×2x（8﹣3x）＝5，
解得：x＝1或x＝，
答当运动时间x为1或秒时，△CMN的面积为5cm2；
（2）当△MCN∽△ACB时，
，
即：，
解得：x＝；
当△MCN∽△BCA时，
，
即：，
解得：x＝，
答：当运动时间x为或秒时，以C、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
25．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，即AE DF＝AF DC，
设AF＝AB＝a（a＞0），则有2 （2﹣a）＝a2，化简得a2+2a﹣4＝0，
解得a＝﹣1+或﹣1﹣（舍去），
∴AB＝﹣1+．
（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．

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