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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
掌握空间中直线与直线的位置关系。
理解异面直线的概念。
理解直线与平面位置关系的定义。
理解平面与平面位置关系的定义。
基础梳理
1.空间中直线与直线的位置关系：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。于是，空间两条直线的位置关系有三种：
2.空间中直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点；
（3）直线与平面平行——没有公共点。
3.空间中平面与平面的位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点；
（2）两个平面相交——有一条公共直线。
4. 空间中直线与平面的位置关系：
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个公共点 1个 0个
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
空间中平面与平面的位置关系：
位置关系 平行 相交
图示
表示法 α∥β α∩β＝a
公共点个数 0个 无数个
随堂训练
1.不平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．相交或异面
2.以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)
A　　　 　 B　 　C　　 　D
3.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
4.直线l与平面α有两个公共点，则(　　)
A．l∈α B．l∥α
C．l与α相交 D．l α
5.若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．重合 D．不确定
6.若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
7.下列说法中，正确的个数是(　　)
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0 B．1　　　C．2　　　D．3
8．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
9. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是________(填序号)．
①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．
10．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．
11. 试画出相交于一点的三个平面．
答案
随堂训练
1.答案：D　[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]
2.答案：C　[本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.]
3.答案：B　[假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)；因此c与b可能相交或异面．]
4.答案：D　[根据基本事实1可知，l α.]
5.答案：B　[由公理可知，平面α与平面β相交．]
6.答案：B　[直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．]
7.答案：C　[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]
8.答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　[(1)在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]
9.答案：①　[若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a α，b β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．]
10.答案：8　4　[三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分
成4部分，最多分成8部分．]
11.[解]　如图所示(不唯一)．
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