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2022—2023 学年第一学期高二 10 月份月考
数 学 试 题
注意事项：
1．答题前填涂好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上题号对应的位置，答错位置或写在试卷上的答案无效。
第 I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的。
1．双曲线 3x2－y2＝9 的焦距为( )
A． 6 B．2 6 C．2 3 D．4 3
2 x
2 y2
．已知双曲线 2 1 a 0
π
的一条渐近线的倾斜角为 ，则此双曲线的离心率 e为（ ）
a 2 6
A 2 3 B 2 6． ． C． 3 D．2
3 3
x23 y
2
．已知命题 p：方程 1表示焦点在 y轴上的椭圆，则使命题 p成立的充分不必要条件
5 m m 1
是（ ）A．3 m 5 B．4 m 5 C．1 m 5 D．m >1
4 2 2 2 2．若圆C1 : x y 1与圆C2 : x y 6x 8y m 0外切，则m （ ）
A． 21 B．19 C．9 D． 11
5．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以
圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。若椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在 y轴上，
C 1椭圆 的面积为 2 3 ，且离心率为 2 ，则C的标准方程为（ ）
x2 y2A 1 B x
2 x2 y2 2 2
． ． y2 1 C． 1 D x y． 1
4 3 12 3 4 16 3
6．已知直线 l：mx y 3m 1 0恒过点 P，过点 P作直线与圆 C： (x 1)2 (y 2)2 25相交于 A，
B两点，则 AB 的最小值为（ ）A． 4 5 B．2 C．4 D． 2 5
7．已知 A 1,0 ，B 1,0 2，圆C：x2 y 4 R2（R 0），若圆C上存在点M ，使 AMB 90 ，
则圆C的半径 R的范围是（ ）
A．3 R 5 B．3 R 4 C．4 R 5 D． 2 R 4 2
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2
8 C : x y
2
．已知椭圆 1(a b 0),F1,F 2 为 C的左 右焦点，P(m,n)(m 0,n 0) 为 C上一点，且△PF1Fa2 b2 2
的内心 I (s,1) ，若△PF1F2 的面积为 2b，则 n的值为（ ）
3 4 8
A． B． C． D．3
5 3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．已知直线 l : kx y 2k 0和圆O : x2 y2 16，则（ ）
A．直线 l恒过定点 2,0 B．存在 k使得直线 l与直线 l0 : x 2y 2 0 垂直
C．直线 l与圆 O相交 D．若 k 1，直线 l被圆 O截得的弦长为 4
10．已知圆O : x2 y2 4和圆M : x2 y2 4x 2y 0相交于 A，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆 M圆心坐标为 2, 1
B．两圆有两条公切线
C．直线 AB的方程为 y 2x 2
D．若点 E在圆 O上，点 F在圆 M上，则 EF 2 5 2max
x2 y211．双曲线C: 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的左、右a b
1
两支分别交于点M ，N ，若 F1M F1N ， F2M MN ，则（ ）4
FM a F N 2a cos F NF 1A． 1 B． 2 C． 1 2 D．离心率为 23

12．如图所示，用一个与圆柱底面成 (0 ) 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆面．若圆柱的底
2

面圆半径为 2， ，则（ ）
3
A．椭圆的长轴长等于 4
3
B．椭圆的离心率为 2
C y
2 x2
．椭圆的标准方程可以是 1
16 4
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 4 2 3
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第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x2 y2
13．双曲线 － ＝1 的右焦点到直线 x＋2y－8＝0 的距离为____________．
4 5
x2 y214．椭圆 1的焦距为 4，则 m＝____________．
15 2 m
15．已知圆 x2 y2 4 与 x轴的交点分别为 A，B，点 P是直线 l： y x 6上的任意一点，椭圆
C以 A，B为焦点且过点 P，则椭圆 C的离心率 e的取值范围为____________．
2 2
16 y x．已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的焦点在圆O : x2 y22 2 26上，圆 O与双曲线 C的渐近线a b

在第一 四象限分别交于 P，Q两点，点 E a, 0 满足 EP EQ EO（其中 O是坐标原点），则△OPQ
的面积是____________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分 10 分）
x2 y2
已知双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C的两条渐近
a2 b2
线分别交于 A，B F→ → → →两点．若 1A＝AB，F1B·F2B＝0，双曲线 C的离心率．
18．（本题满分 12 分）
已知圆 C的圆心为原点，且与直线3x 4y 10 0相切，直线 l过点M 1，2 ．
(1)求圆 C的标准方程；
(2)若直线 l被圆 C所截得的弦长为 2 3 ，求直线 l的方程．
19．（本题满分 12 分）
C x
2 y2 6
已知椭圆 的标准方程为：
a2 b2
1(a b 0)，若右焦点为 F ( 2,0) 且离心率为 ．
3
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M ，N 是C上的两点，直线MN与曲线 x2 y 2 b2 相切且M ，N ，F三点共线，求线段 MN
的长．
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20． （本题满分 12 分）
已知 A 2,0 、B 2,0 3，动点M 满足MA与MB所在直线的斜率之积为 ．
4
（1）求动点M 的轨迹方程；
（2）求上述轨迹中以 P 1,
1
为中点的弦所在的直线方程．
2
21．（本题满分 12 分）
x2 y2 1
已知椭圆C : 1 a b 0 的离心率为 ，且点 0, 3 在椭圆上．
a2 b2 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设经过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于 A 、 B两点，F1为椭圆的左焦点，求 ABF1 面积的最
大值．
22．（本题满分 12 分）
x2 y2
已知双曲线C : 1(a 0,b 0) 过点 A(2 2,1)，焦距为 2 5 ， B(0,b)．a2 b2
(1)求双曲线 C的方程；
3
(2)是否存在过点D ,0 的直线 l与双曲线 C交于 M，N两点，使△BMN构成以 MBN为顶角的
2
等腰三角形？若存在，求出所有直线 l的方程；若不存在，请说明理由．
高二数学 第 4页，共 4页高二数学 10 月月考参考答案
一．单选题：1—8题 DABCC AAC

7 M (x , y )．A 【详解】设 0 0 ，则MA ( 1 x0 , y0 )，MB (1 x0 , y0 )，

∵ AMB 90 ，即MA MB 0，
x 2 y 2∴ 0 0 1，即M 在以原点为圆心，半径为 1的圆上，
而圆C的圆心为 (0, 4)，半径为 R，
∴圆C M C x 2 2上存在点 ，即圆 与 0 y0 1有交点，
∴ R 1 OC R 1, R 1 4 R 1,R 3,5 .故选：A
8．C 【详解】由题意可得，△PF1F2的内心 I (s,1)到 x轴的距离就是内切圆的半径.又点 P在椭圆 C
PF1 PF F F 2a 2c, S
1 (2a 2c) 1 a c 2b c ea, b a(1 e)2 1 2 PF
上， 1
F2 2 .又 2 ，
a2 b2 c2 , a(1 e)
2
a2e2 a2 e 3
2 ，即 (1 e)
2 4e2 4, 5e2 2e 3 0 ，解得 5或 1（舍），
c 3 a,b 4 a S 1 3 3
8
F F
5 5 PF1F2 2 1 2 n cn, a a an n .又 5 5 ，解得 3 . 故选：C.
二．多选题： 9．BC 10．BCD 11．ABC 12．BCD

FM 11 F1N F1M
1
MN 1F M MN F1M F2M11． ABC 【详解】 4 ， 3 ，又 2 ， 3 ，
又 MF2 MF1 2a，即 2 MF1 2a， MF1 a，故 A正确；
又 NF1 NF2 2a， NF1 4 F1M 4a， NF2 NF1 2a 4a 2a 2a，故 B正确；
在 MNF2中， MN 3a， NF2 2a， MF2 MN 3a ,
3a 2 2a 2 3a 2
由余弦定理可得 cos 1 F NF ，故 C正确；1 2 2 3a 2a 3
在△F1NF2中， F1N 4a, NF2 2a, F1F2 2c，
4a 2 2a 2 2c 2
由余弦定理可得 cos F NF 1 1 2 ，解得2 4a 2a 3
e c 33 ，故 D错误. 故选：ABC.
a 3
答案第 1页，共 5页
12、BCD 【详解】设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为b，半焦距为 c，长轴在圆柱底面上的投影
2a 4 8
为圆柱底面圆直径，由截面与圆柱底面成锐二面角 3 得： cos ，解得 a 4，A不正确；
c 3
显然b 2，则 c a2 b2 2 3，离心率 e ，B正确；
a 2
当以椭圆长轴所在直线为 y轴，短轴所在直线为 x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程
y2 x2
1，C正确；
16 4
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a c 4 2 3，D正确. 故选：BCD
5
三．填空题：13． 5 14．9或 17 15． 0, 16． 12
5
2 2
16 y x．12 【详解】解析因为双曲线 1 a 0,b 0 的焦点在圆O : x2 y2 262 2 上，所以 c 26 .a b
设线段 PQ与 x轴的交点坐标为 M，结合双曲线与圆的对称性可知 M为线段 PQ的中点，

因为 EP EQ EO，所以2EM EO，又点 E a, 0 M
3a
，所以 ,0 .
2
a 3a 2
因为直线 OP的方程为 y x，所以 P ,
3a
，又点 P在圆 O上，b 2 2b
2
3a
2
3a 2
所以 2
2b
26，又 a2 b2 26，所以 a2 8，b2 18， a 2 2,b 3 2，

从而 P 3 2, 2 2 1，故 S OPQ 3 2 2 2 2 12 . 故答案为：122
四．解答题：
→ →
17．如图，∵F1A＝AB.∴A 为 F1B 的中点，且 O为 F1F2的中点，∴AO 为△F1F2B 的中位线，
→ →
又∵F1B·F2B＝0，∴F1B⊥F2B，则|OB|＝|F1O|＝c.
b
设 B(x1，y1)，A(x2，y2)，∵点 B在渐近线 y＝ x上，
a
x21＋y
2＝c21
x
b 1
＝a
∴ y1＝ x
，得 ，
1
a y1＝b
－c＋a
x2＝
2
又∵A为 F1B 的中点，∴ b ，
y2＝
2
答案第 2页，共 5页
b b b a－c c
∵A 在渐近线 y＝－ x 上，∴ ＝－ · ，得 c＝2a，则双曲线的离心率 e＝ ＝2.
a 2 a 2 a
10
18．（1）圆心 0，0 到直线3x 4y 10 0的距离d 2 ，所以圆C1的半径为 2，
32 42
所以 x2 y2 4；
C
（2）当直线斜率不存在时， x 1，直线 l被圆 1所截得的弦长为 2 3，符合题意；
2
k 2 2 3
当直线斜率存在时，设直线 l：y 2 k x 1 ，由 3 4，解得： k ，
k 2 1 4
y 2 3故 l的方程是 x 1 ，即3x 4y 5 0，
4
综上所述，直线 l的方程为3x 4y 5 0或 x 1
19 1 c 6．（ ）由题意，椭圆半焦距 c 2且 e ，则 a 3，又b2 a2 c2 1，
a 3
x2
∴椭圆方程为 y2 1；
3
（2）由（1）得，曲线为 x2 y2 1(x 0)
当直线MN的斜率不存在时，直线MN : x 1，不合题意：
当直线MN的斜率存在时，设M x1, y1 ，N x2 , y2 又M ，N， F三点共线，
可设直线MN : y k(x 2)，即 kx y 2k 0，
由直线MN与曲线 x2 y2
| 2k |
1(x 0)相切可得 1，解得 k 1，
k 2 1
y (x 2)

2 x2 x x x 3 2
3
联立 x ，得 4 6 2 3 0，则2 1 2 ， x1 x2 ， y 1 2 4
3
∴ |MN | 1 1 x1 x2
2 4x1 x2 3 .
y y
20．解：（1）设M x, y ，则 kMA ， k ，其中 x 2，x 2 MB x 2
2 2 2
因为 k y 3 x yMA kMB ，整理可得 1 .x2 4 4 4 3
x2 y2
因此，点M 的轨迹方程为 1 x 2 .
4 3
答案第 3页，共 5页
（2）设所求弦为 EF ，设点E x1, y1 、 F x2 , y2 ，
若EF x轴，则线段 EF 的中点在 x轴上，不合乎题意.
所以，直线 EF 的斜率存在，则 x1 x2 2， y1 y2 1，
x2 y21 1
1 4 3 x2 x2 y2 y2
因为 ，两个等式作差可得 1 2 1 2 0，
x
2 2
2 y2 4 3

1
4 3
2 2
则 k k
y
1
y2 y1 y 2 y 1 y2 3EF OP 2 2 ，且 k
1 3
OP ， kEF ，x1 x2 x1 x2 x1 x2 4 2 2
1 3
因此，所求直线的方程为 y x 1 ，即3x 2y 4 0.
2 2
b 3
a 2
c 1 x2 y2
21．解：（1）由题意可得 ，解得 b 3，所以，椭圆C的标准方程为 1 .
a 2 c 1 4 3 b a
2 c2
x my 1
（2）设直线方程为 l : x my 1，设点 A x1, y1 、 B x2 , y2 ，联立 可得
3x
2 4y2 12
3m2 4 y2 6my 9 0 36m2 36 3m2， 4 144 m2 1 0，
y y 6m y y 9由韦达定理可得 1 2 3m2
， ，
4 1 2 3m2 4
2
y y y y 2 4y y 12 m 11 2 1 2 ，1 2 3m2 4
1 12t
令 t m2 1 1，则 S△ABF FF y y ，1 2 1 2 1 2 3t2 1
设 f t 12t t2 ，其中 t 1，任取 1、 t2 1, 且 t1 t3t 1 2，
2
12t 12t 12t1 3t2 1 12t2 3t 2 1 12 t t 1 3t tf t1 f t 2 1 2 1 1 2 1 23t 2 1 3t 2 0 2 2 2 2 ，1 2 1 3t1 1 3t2 1 3t1 1 3t2 1
即 f t1 f t2 ，故函数 f t 在 1, 上单调递减，
故当 t 1时， ABF1的面积取最大值，且最大值为3 . (本题也可以有其他解法)
答案第 4页，共 5页
a2 b2 5
a2 4
22．（1）由题设， c 5，又 A(2 2,1)在双曲线上，∴ 8 1 ，可得
1 b2
，
2 1 a b2
x2
∴双曲线 C的方程为 y2 1 .
4
（2）由（1）知：B(0,1)，直线 l的斜率一定存在，①当直线斜率为 0 时，直线 l： y 0，符合题意；
②当直线斜率为不 0时，设直线 l为 y k(x
3
)，M (x1 , y1 ),N (x2 , y2 )，2
2
联立双曲线方程可得： (1 4k 2 )x2 12k 2
1 4k 0
x (9k 2 4) 0，由题设 ，
0
2 2 3k
∴ x1 x
12k 9k 4
2 ， x x ，则 y y k(x x 3) .1 4k 2 1 2 1 4k 2 1 2 1 2 1 4k 2
要使△BMN构成以 MBN为顶角的等腰三角形，则 | BM | | BN |，
6k 2 3k
∴MN的中点坐标为 ( , ) ，
1 4k 2 2(1 4k 2)
3k 1
1
2(1 4k
2 ) 8k 2 3k 2 1
∴
k 6k 2
，可得 k 或 k 2，
12 k2 8
1 4k 2
1
当 k 2时， ，不合题意，所以 k ，直线 l： 2x 16y 3 0，
8
∴存在直线 l为 y 0或 2x 16y 3 0，使△BMN构成以 MBN为顶角的等腰三角形.
答案第 5页，共 5页

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