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专题七 导数
规律小结
纵观近几年高考对导数的考查，试题设计一般是包含一大一小(全国Ⅱ卷一般只有大题)，理科对导数的几何意义以及切线考查的频率较高，用导数研究函数的单调性、极值、最值是引导教学的常规要求.文科对切线、单调性和零点考查的频次较高，导数研究不等式的要求相对理科要低许多.导数研究不等式、零点等则是导数综合运用的最好载体，从思想方法上看，函数与方程、数形结合、分类讨论是重点考查的内容，从关键能力上看，侧重对逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的考查，从学科素养上看，突出理性思维和数学探索.命题基本上是强调导数的工具性作用，不涉及导数本身过多的理论.
3.考点频度
高频考点：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；导数的几何意义，求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性.
中频考点：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围；函数模型的应用.
低频考点：反函数、定积分.
4.备考策略
预计2022年的高考难度会有所降低，但变化不大，保持稳定是主基调，小题一般是基础题，大题突出综合性，作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应该引起足够的重视.
(1)2022年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度不定，题目可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题.
(2)2022年高考在导数综合应用的命题方面，理科仍将以选择、填空压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒(能)成立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题的能力.文科仍将以解答题压轴题形式考查零点、极值、最值、简单不等式恒(能)成立问题与探索性问题、利用导数解证与不等式有关的问题，一般难度不会太高.新高考的考查内容会与理科类似，难度可能会略低一些.
考向(一) 导数的概念、几何意义及基本运算
1.(2019全国Ⅱ,文10)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以三角函数为载体，考查利用导数求曲线的切线方程.
[必备知识]本题考查的知识是导数的运算法则、曲线的切线方程公式y-y =k(x-x ).
[能力素养]本题考查运算求解能力和空间想象能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题目标是求曲线在某点处切线，需要建立切线的斜率与此点处导数值的联系，理解两者之间的数量关系，体会数形结合思想的魅力，最终经计算得到结果.
[解题思路]采取导数法，利用函数与方程思想解题.
当x=π时,y=2sinπ+cosπ=-1,即点(π,-1)在曲线y=2sinx+cosx上.
设f(x)=2sinx+cosx,∵f(x)=2cosx-sinx,∴f'(x)=2cosπ-sinπ=-2.
∴曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.
[答案]C
2.(2019全国Ⅲ,理6、文7)已知曲线 y=aer+xln x在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e ,b=1 D.a=e ,b=-1
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数为载体，考查运用曲线的切线方程求参数问题.
[必备知识]本题考查的知识是导数的运算法则、曲线的切线方程公式y-y =k(x-x ).
[能力素养]本题考查运算求解能力和空间想象能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题解题的关键是利用导数几何意义和点在曲线上得到方程.通过求导数，得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b.
[解题思路]设 f(x)=ae*+xln x,∵f'( x)= a e +ln x+1,∴k =f'(1)=ae+1=2,∴ae=1,a=e . 将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.
[答案]D
3.(2021全国甲,理13)曲线在点(-1,-3)处的切线方程为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境，本题以分式函数为载体，考查利用导数求曲线的切线方程.
[必备知识]本题考查的知识是导数的运算法则、曲线的切线方程公式 y-y =k(x-x ).
[能力素养]本题考查运算求解能力和空间想象能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题目标是求曲线在某点处切线，需要建立切线的斜率与此点处导数值的联系，理解两者之间的数量关系，体会数形结合思想的魅力，最终经计算得到结果.
[解题思路]采取导数法，利用函数与方程思想解题.
由 得 则在点(-1，-3)处的切线的斜率为5，所以切线方程为y+3=5(x+1),即5x-y+2=0.
[答案]5x-y+2=0
4.(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数为载体，考查利用导数求曲线的切线方程.
[必备知识]本题考查的知识是曲线的切线方程公式y-y =k(x-x )和导数的概念及其意义.
[能力素养]本题考查空间想象能力和运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.首先计算导函数，再借助导函数函数值与切线斜率相等的关系建立方程，解方程求得切点的横坐标，进而得到其纵坐标，利用点斜式方程求得切线.
[解题思路]设切点坐标为(x ,y ). 对y=ln x+x+1求导可得 由题意得， 解得 x =1,; 故 y =ln 1+1+1=2, 切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
[答案]y=2x
[失分剖析]本题失分点是不能利用导函数函数值与切线斜率相等来解决题目.
5.(2020全国Ⅲ,文15)设函数 若则a= .
[试题情境]本题属于课程学习情境.本题以函数为载体，考查导数的运算.
[必备知识]本题考查的知识是导数的运算法则.
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是数学探索.从给定的函数解析式出发，运用导数的除法运算法则求导函数，利用 得到方程，解方程即可.
[解题思路]首先计算原函数的导函数，再根据导函数与具体导数值相等建立方程，解方程求得参数数值即可.
对函数 求导得 由题意得 解得a=1.
[答案]1
考向(二) 导数在研究函数中的应用
1.(2021全国乙,理10、文12)设a≠0,若x=a为函数j f(x)=a(x-a) ( x-b) 的极大值,则( )
A.a B.a>b C. ab D. ab>a
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以三次函数为载体，考查利用导数判断参数的大小.
[必备知识]本题考查的知识是导数的运算法则、函数的单调性与极值问题.
[能力素养]本题考查运算求解能力和空间想象能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.思路1.采用分类与整合的方法，首先写出三次函数的导函数，通过对a>0，a<0两种情况进行运算、讨论、分析，分别得到 a 的结论，再整合到一起，得到最终结论.思路2.此题用数形结合法解题较为简便，利用平时所学知识，可以作出a>0，a<0两种情况下对应三次函数的简图，结合图像和题目已知条件可以轻松得到结论.
[解题思路]思路1.因为 f(x)=a(x-a) ( x-b),
所以 f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a) =a(x-a)[(2x-2b)+(x-a)]=a(x-a)·
由f'(x)=0,解得x=a或
若a<0，则由x=a为函数f(x)的极大值点，可得 化简得b
此时在区间 和(a,+∞)内,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;在区间 内 ,f'( x)>0, 函数f(x)单调递增.
此时a(a-b)<0, 即 a
若a>0，则由x=a为函数的极大值点可得 化简得a
此时在区间( -∞,a)和 内,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;在区间 内,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
此时a(a-b)<0,即 a
综上可得 a
思路2.若a>0,其图像如图(1),此时0综上, ab>a .
[答案]D
2.(2021新高考全国Ⅰ,7)若过点(a,b)可以作曲线 y=e 的两条切线,则( )
A.e B.e
C.0 D.0
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以指数函数为载体，考查运用曲线的切 线方程判断参数的取值范围.
[必备知识]本题考查的知识是导数的几何意义、曲线的切线方程公式y-y =k(x-x ).
[能力素养]本题考查运算求解能力和逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题对函数与方程思想、转化与化归思想和数形结合思想有较高要求.
[解题思路]设切点(x ,y ),因为 y'=e , 所以切线的斜率
则切线方程为
因为切线过点(a，b)，所以 即方程 有两个解.
设 g(x)=e (a-x+1)-b,则g'(x)=e (a-x)=0,解得x=a,
所以g(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减.
由g(a)>0,得e >b.
若(a，b)在x轴下方，即b<0时，点(a，b)与曲线上x<0的点的连线与x轴正方向夹角大于 无法作出第二条切线，所以b>0.结合4个选项，可知选D.
[答案]D
3.(2021新高考全国Ⅱ,16)已知函数f(x)=|e -1|,x <0,x >0, 函数f(x)的图像在点A(x ,f(x ))和点B(x ,f(x ))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是 .
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以绝对值函数为载体，考查运用曲线的切线方程判断参数的取值范围.
[必备知识]本题考查的知识是导数的几何意义、曲线的切线方程公式、两点间的距离公式以及函数的单调性.
[能力素养]本题考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.试题选取考生熟悉的指数函数作为研究对象，求该函数对应的曲线在一点处的切线的斜率，以此考查函数的导数公式，要求考生能正确理解导数的几何意义.求出曲线的切线方程，进而求出M，N的坐标，根据两点间的距离公式表示 根据函数的单调性解决问题.
[解题思路]思路1.当x<0时,f(x)=1-e ,f'( x)=-e ,. f( x), 在点A处的切线斜率为
当x>0时, f(x)=e -1,f'( x)=e ,f( x). 在点B处的切线斜率为
由题意可得 即 x +x =0,x <0,x >0,
[答案](0,1)
4.(2021全国甲,理21)已知a>0且a≠1,函数
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以指数函数和幂函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数运算法则、函数单调性、极值、零点等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解(1)当a=2时,
当 时, f'(x)>0,f(x)单调递增;
当 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
故f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
(2)思路1.由题知方程f(x)=1在(0,+∞)上有两个不相等的根.由f(x)=1得 x =a ,即 alnx=xln a,即
令 )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减.
a>1且a≠e.
思路2.由f(x)=1,可得xln a-aln x=0,
记g(x)=xlna-alnx,有
若0
若a>1,则g(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
依题意可知
记 有
由1-ln h(a)<0,则有h(a)>e,∴a≠e.
(Ⅰ)若1
又 则可知g(x)有两个零点，符合；
(Ⅱ)若a>e,g(1)=ln a>0,g(a)=0,又 则可知g(x)有两个零点，符合.综上可知a>1且a≠e,即a的取值范围是(1,e)∪(e,+∞).
5.(2021全国甲,文20)设函数f(x)=a x +ax-3lnx+1,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以对数函数和幂函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数运算法则、函数单调性、最值等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解(1)∵f(x)=a x +ax-3lnx+1,x∈(0,+∞),
∴当 时 ,f'( x)< 0;
当 时, f'(x)>0,∴函数f(x)在上单调递减，在 上单调递增.
(2)∵y=f(x)的图像与x轴没有公共点,∴函数f(x)在(0,+∞)上没有零点,
由(1)可得函数f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
即实数a的取值范围是
6.(2021全国乙,理20)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a;
(2)设函 证明:g(x)<1.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以对数函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力与运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学深索.(1)确定函数f(x)的定义域,令p(x)=xf(x),由极值的定义得到 p'( x)=0, 求出a的，然后进行证明，即可得到a的值；(2)思路1.将问题转化为证明 进一步化为证明x+ln(1-x)>xln(1-x),令h(x)=x+(1-x) ln(1-x), 利用导数研究h(x)的调性,证明h(x)>h(0),即可证明;思路2.要证 等价于证x+f(x)-xf(x)>0,
等价于证 此类问题经常通过构造函数，转化为证明函数的取值范围问题.
[解题思路](1)解由题意,f(x)的定义域为(-∞,a).
令p(x)=xf(x),则p(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a),
因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有p'(0)=0,即ln a=0,所以a=1.
当a=1时, 且p'(0)=0,
当x<0时,p'(x)>0,当0
所以当a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点.
(2)证明思路1.由(1)可知, xf(x)=xln(1-x),
要证 即需证明
因为当x∈(-∞,0)时, xln(1-x)<0,当x∈(0,1)时, xln(1-x)<0,
所以需证明x+ln(1-x)>xln(1-x), 即x+(1-x) ln(1-x)>0.
令h(x)=x+(1-x) ln(1-x),x<1,则 -ln(1-x),所以h'(0)=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,所以x=0为h(x)的唯一极小值点,也是最小值点,所以当x∈(-∞,0)∪(0,1)时,h(x)>h(0)=0,即x+ln(1-x)>xln(1-x),
所以 所以
思路2.由(1)可知f(x)=ln(1-x),且p(x)≤p(0)=0.
则要证 等价于证x+f(x)-xf(x)>0,x<1,且x≠0.
等价于证 且x≠0.记 有h'(x)= 所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
则有h(x)≥h(0)=0,所以 故不等式得证.
7.(2021全国乙,文21)已知函数 f(x)=x -x +ax+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以幂函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、曲线的切线方程公式y-y =k(x-x ).
[能力素养]本题考查运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解(1)函数 f(x)=x -x +ax+1 的定义域为R，其导数为 f'(x)=3x -2x+a.
①当 时,方程f'(x)=0至多有一解,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增;
②当 时,若f'(x)=0,则 3x -2x+a=0, 此时方程 3x -2x+a=0 有两根，即
f'(x)<0,故f(x)在区间(-∞,x )上单调递增,在区间(x ,x )上单调递减，在区间 (x ,+∞). 上单调递增.故当 时,f(x)在R上单调递增;
当 时,f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
(2)记曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l，切点为 2x +a, 故切线l的方程为
因为切线l过坐标原点，所以 解得x =1,所以切线l的方程为y=(1+a)x.
由x -x +ax+1=(1+a)x, 得 x -x -x+1=0, 解得x=1或x=-1.
故曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标为(1,1+a),(-1,-1-a).
8.(2021新高考全国Ⅰ,22)已知函数f(x)=x(1-ln x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且bln a-aln b=a-b,证明:
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以对数型函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数运算法则、函数单调性、零点以及对数函数的性质.
[能力素养]本题综合考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路](1)解由条件知，函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'( x)=-ln x.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
即在区间(0,1)上,函数f(x)单调递增;在区间(1,+∞)上,函数f(x)单调递减.
(2)证明由bln a-aln b=a-b,得
令 令 f'(x)=0,得x=1.且f(e)=0.
结合(1)中的f(x)的单调性,
待证结论
下面证明 x +x >2.
令 g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),则 g'(x)=-ln(x(2-x))>0,
所以g(x)在区间(0，1)上单调递增，所以 0=g(1)>g(x )=f(x )-f(2-x ),即 f(2-x )>f(x )=f(x ).
又f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,即 x +x >2.
思路1.不妨设 x =tx , 则t>1,由 x ( 1-ln x )=x ( 1-ln x ) 可得 x ( 1-ln x )=tx ( 1-ln tx ), 化简得
要证 x +x 即证 ( 1+t)x < e, 即证 ln x <1-ln( 1+t),
所以φ'(t)<0,所以φ(t)在(1,+∞)上单调递减,
所以φ(t)<φ(1)=0,所以h'(t)<0,
所以h(t)在(1,+∞)上单调递减,所以h(t+1)
故
思路2.当x ≤e-1时,结论显然成立;
当 x ∈(e-1,e)时,令h(x)=f(x)-f(e-x),x∈(e-1,e),
h'( x)=-ln(x(e-x)), 则h(x)在区间(e-1,e)内先单调递减后单调递增,故h(x)<0.因为 x ∈( e-1,e), 所以 h(x )<0, 即 f(x )
故 f(x )结合当x∈(0,1)时,f(x)单调递增,有 x 即 x +x
思路3.f(x)在点(e,0)处的切线φ(x)=e-x,
令 F(x)=f(x)-φ(x)=2x-xlnx-e,x∈(0,e),
F'(x)=1-lnx>0,所以F(x)在区间(0,e)上单调递增,即F(x)
所以当x∈(0,e)时,f(x)<φ(x).
令 t=f(x )=f(x ), 则 t=f(x )<φ(x )=e-x t+x
又 t=f(x )=x ( 1-ln x ),x ∈(0,1), 所以 t=x ( 1-ln x )>x 即 x +x 故 成立.
9.(2021新高考全国Ⅱ,22)已知函数 f(x)=(x-1)e -ax +b.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点：
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以指数函数和幂函数为载体，考查导数的应用.[必备知识]本题考查的知识是利用导数判断函数单调性的方法、函数零点和极值的概念
以及导数公式和导数运算法则.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力、运算求解能力以及分类讨论的思想，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解(1)f'(x)=xe -2ax=x(e -2a),
①当a≤0时,令f'(x)=0 x=0,且当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
②当 时，令f'(x)=0 x =0,x =ln 2a<0,
且当x 当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
③当 时 ,f'(x)=x(e -1)≥0,f(x)在R上单调递增;
④当 时，令f'(x)=0 x =0,x =ln 2a>0,.且当x<0时,f(x)>0,f(x)单调递增;
当x>ln 2a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
(2)若选①,则由(1)知f(x)在(-∞,0)上单调递增,(0, ln 2a)上单调递减,(ln 2a,十∞)上单调递增.
注意到 故f(x)在(-∞,0]上有唯一零点.
当x∈(0,+∞)时,f(x)≥f(ln(2a))=[ln(2a)-1]2a-a[ln(2a)] +b=aln(2a)·[2-ln(2a)]+b-2a>aln(2a) ·[2-ln(2a)].
即f(x)>0对任意x>0恒成立.
综上，f(x)在R上仅有一个零点x ，且
若选②，因为 f(x)=(x-1)e -ax +b, 则f(0)=b-1<0,又
由(1)知,当 时,f(x)在(0,
+∞)上单调递增，根据函数零点存在定理知f(x)在(0，+∞)上有唯一零点.
由(1)知,当 时,f(x)在(-∞, ln(2a))上单调递增,在(ln(2a),0)上单调递减,所以当x∈(-∞,0)时,f(x)≤f(ln(2a))=aln(2a)[2-ln(2a)]+b-2a,因为 b≤2a,所以f(x)<0,即f(x)在(-∞,0)上没有零点.综上所述,f(x)在R上有唯一零点.
10.(2020全国Ⅰ,理21)已知函数 f(x)=e +ax -x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时, 求a的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用和函数的单调性、极值、最值等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解(1)当a=1时, f(x)=e +x -x,f'(x)=e +2x-1,f"(x)=e +2>0,故f'(x)单调递增,令f'(x)=0,可得当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增.
(2)思路 等价于
令
则
①若2a+1≤0,即 则当x∈(0,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2)内单调递增,而g(0)=1,故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
②若0<2a+1<2, 则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时, g'( x)<0; 当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)内单调递减,在(2a+1,2)内单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当 g(2)=(7-4a)e ≤1, 即
所以当 时,g(x)≤1.
③若2a+1≥2,即 则
由于 故由②可得 故当 时,g(x)≤1.
综上，a的取值范围是
思路2.①当x=0时,a∈R;
②当x>0时，即等价于 恒成立；
则
设函数 则 e ).故h'(x)在(0, ln 3)内单调递增,在(ln 3,+∞)内单调递减.
由于h'(0)=0,故h'(ln 3)>0,且h'(2)=5-e <0, 所以存在x ∈(ln3,2),使得h'(x )=0, 所以h(x)在(0,x )内单调递增,在(x ,+∞)内单调递减.
由于h(0)=0,h(2)=0,故h(x )>0.所以当0<2时,h(x)>
2时,h(x)<0,即g'(x)<0,故g(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+∞)内单调递减,所以
[失分剖析]对a值进行分类讨论时，易找不到分类的标准.
11.(2020全国Ⅰ,文20)已知函数 f(x)=e -a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用、函数单调性等相关性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解(1)当a=1时,f(x)=e -x-2,则 f'( x)=e -1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)因为 f'(x)=e -a.
当a≤0时, f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故f(x)至多存在1个零点，不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞, ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞, lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
①若 则f(ln a)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上至多存在1个零点,不合题意.
②若 则f(ln a)<0.
由于 f( -2)=e >0, 所以f(x)在(-∞, lna)上存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,e -x-2>0,. 所以当x>4且x>2ln(2a)时, .故f(x)在(lna,+∞)上存在唯一零点.
从而f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.
综上，a的取值范围是
[失分剖析]合理地分类讨论是解决这类题目的关键，考生易找不到分类的标准，导致失分.
12.(2020全国Ⅱ,理21)已知函数 f(x)=sin xsin2x.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;
(2)证明:
(3)设 证明
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以复合函数为载体，考查运用导数研究函数单调性以及证明不等式.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用和函数的单调性等相关性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路](1)解 f'(x)=cosx(sin xsin2x)+sin x(sin xsin 2x)'
=2sin xcosxsin2x+2sin xcos2x=2sin xsin 3x.
当 时, f'( x)>0; 当 时,f'(x)<0.
所以f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
(2)证明因为f(0)=f(π)=0,由(1)知,f(x)在区间[0,π]的最大值为 最小值为 而f(x)是周期为π的周期函数，故
= c |
[失分剖析]求导错误，不能确定函数的周期.
13.(2020全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=2lnx+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;
(2)设a>0,讨论函数 的单调性.
[试题情境]本题属于探索创新情境，本题以对数型函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用、函数单调性等相关性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题考查导数运算法则及利用导数判断函数单调性的方法.
[解题思路]解设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2lnx-2x+1-c,
其定义域为
(1)当0<1时,h'(x)>(1,+∞)上单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.
故当且仅当-1-c≤0,即c≥-1时,f(x)≤2x+c.所以c的取值范围为[-1,+∞).
第一部分 试题分析
取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当x≠1时,h(x)<0,即1-x+lnx<0.故当x∈(0,a)∪(a,+∞)时, 从而g'(x)<0.
所以g(x)在区间(0,a),(a,+∞)上单调递减.
[失分剖析]无法正确地分类讨论.
14.(2020全国Ⅲ,理21)设函数 f(x)=x +bx+c, 曲线y=f(x)在点 处的切线与y轴垂直.
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用和函数的零点、单调性等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路](1)解 f'( x)=3x +b, 依题意得 即 故
(2)证明 由(1)知
令f'(x)=0,解得 或
f'(x)与f(x)随x的变化情况为:
x - / 1/2 ( / ,+∞)
f'(x) + 0 — 0 +
f(x) c+ / A c-1/4
因为 所以当 时，f(x)只有大于1的零点.
因为 所以当 时,f(x)只有小于-1的零点.
由题设可知
当 时，f(x)只有两个零点 和1.当 时，f(x)只有两个零点-1和
当 时,f(x)有三个零点x ,x ,x ,且 综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
[失分剖析]考生无法正确地分类讨论，易导致失分.
15.(2020全国Ⅲ,文20)已知函数 f(x)=x -kx+k .
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用，函数的单调性、零点等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解(1)f'(x)=3x -k.
当k=0时,f(x)=x ,故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当k<0时, f'(x)=3x -k>0,故f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
当k>0时,令f'(x)=0,得
当 时,f'(x)>0;
故f(x)在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)由(1)知,当k≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,f(x)不可能有三个零点.
当k>0时, 为f(x)的极大值点， 为f(x)的极小值点.
此时， 且
得 因此k的取值范围为
16.(2020新高考全国Ⅰ,21;2020新高考全国Ⅱ,22)已知函数 f(x)=ae -ln x+ln a.
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以指数型函数和对数型函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是曲线的切线方程、导数在研究函数中的应用、函数的单调性等基本性质.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.
[解题思路]解f(x)的定义域为
(1)当a=e时,f(x)=e -lnx+1,f(1)=e+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴，y轴上的截距分别为 2.因此所求三角形的面积为
(2)思路1.(分类讨论)由题意a>0,当0
(方法1)
当a=1时,
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时, f(x)=ae -lnx+ln a≥e -ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
(方法2)直接求导
当a≥1时, f(x)≥e -ln x,. 令 g(x)=e -ln x, 则 显然g'(x)单调递增，且 g'(1)=0,当x∈(0,1)时,g'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0.
所以g(x)≥g(1)=1,所以f(x)≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
(方法3)放缩法
当a≥1时, f(x)≥e -ln x,
∵e ≥x, ln x≤x-1,
∴e -ln x≥x-(x-1)=1,
∴f(x)≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).
思路2.同构变形
ln x=e +ln x.
令 g(x)=e +x,g'( x)=e +1 >0,g(x) 单调递增，
则
∵lnx≤x-1,∴lnx+1-x≤0,∴ln a≥0,即a≥1.
(方法2)
令g(x)=xe ,可得g(x)单调递增,
则
∵lnx≤x-1,∴lnx-x+1≤0,∴ln a≥0,∴a≥1.
思路3.虚设零点
显然f'(x)单调递增,当x→0时, f'(x)→ ∞;x→+∞时,f'(x)→+∞;
∴lna=-ln x -x +1.
(方法1)
令 函数g(x)单调递减且g(1)=1,
∴当x ∈(0,1]时,-ln x +1-x ≥0.
∴lna≥0,∴a≥1.
(方法2)分离参数
由上述条件可得，
而 当且仅当 x = 1 时，等号成立.
∴lna≥0,a≥1.
[失分剖析]导数的题目要求写出原函数的定义域，避免因仅求导导致的扣分.分类讨论，对一些特殊边界取值讨论正确.
17.(2020浙江,22)已知f(x)=e -x-a, 其中·是自然对数的底数.
(1)证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点;
(2)记x 为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以指数型函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题考查导数运算法则及利用导数判断函数零点个数的方法，以及结合零点的性质来解决不等式的证明问题.含参问题运用分类讨论和等价化归思想，构建导函数与导数值间的对应关系.证明问题用到了逻辑推理，放缩的恰当与否以及零点存在定理中合适的点的正确选取非常重要.
[解题思路]证明(1)因为f(0)=1-a<0,f(2)=e -2-a≥e -4>0, 所以y=f(x)在(0,+∞)上存在零点.
因为f'(x)=e -1,所以当x>0时,f'(x)>0,故函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.
(2)①令 由(1)知函数g'(x)在[0,+∞)上单调递增,故当x>0时,g'(x)>g'(0)=0, 所以函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0.
由 得 因为f(x)在[0,+∞)单调递增,故
令 h(x)=e -x -x-1(0≤x≤1),h'(x)=e -2x-1,
令 h (x)=e -2x-1(0≤x≤1),h '(x)=e -2, 所以当x变化时,h '(x),h (x)的变化情况如下表.
x 0 ln 2 (ln 2,1) 1
h '(x) -1 — 0 + e-2
h (x) 0 A 1-2ln2 e-3
h'(x)<0,所以h(x)在[0,1]单调递减,因此当0≤x≤1时,h(x)≤h(0)=0.
由 得
因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,故
综上
②令 u(x)=e -( e-1)x-1,u'(x)=e -(e-1),
所以当x>1时,u'(x)>0,故函数u(x)在区间[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=0.
思路1.由 可得
由 得
1)x ·
=( e-1)(a-1)a.
[失分剖析]放缩时分寸需拿捏好，同时不等式的性质对放缩很关键，每一步放缩要有依据.
18.(2020天津,20)已知函数 f(x)=x +klnx(k∈R), f'( x) 为f(x)的导函数.
(1)当k=6时,
①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
②求函数 的单调区间和极值；
(2)当k≥-3时,求证:对任意的x ,x ∈[1,+∞), 且 x >x , 有
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以对数型函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用、曲线的切线方程，函数的单调性、极值等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学
探索.本题考查导数运算法则及利用导数判断函数单调性的方法，分类讨论分类标准的确定.
g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,有极小值g(1)=1,无极大值.(2)整理待证不
等式，引入新的参数t进行说明.含参数问题采用分类讨论和等价化归思想，构建导函数与导数
值间的对应关系.证明问题用到了逻辑推理，把恒成立问题转为函数的最值问题解决.双变量问
题转化为单变量问题来处理.
[解题思路](1)解①当k=6时, f(x)=x +6lnx, 故
可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=9(x-1),即y=9x-8.
②依题意， 从而可得 整理可得 令g'(x)=0,解得x=1.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表.
x (0,1) 1 (1,+∞)
g(x) — 0 +
g(x) A 极小值
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g(1)=1,无极大值.
(2)证明由 f(x)=x +kln x, 得
对任意的x ,x ∈[1,+∞), 且x >x ,令
则 (x -x )[f'( x )+f'( x )]-2[f(x )-f(x )]
①
令
当x>1时,
由此可得h(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以当t>1时,h(t)>h(1),即
因为 x ≥1,t -3t +3t-1=(t-1) >0,k≥ -3,
②
由(1)②可知,当t>1时,g(t)>g(1),即
③
由①②③式可得
(x -x )[f'(x )+f'(x )]-2[f(x )-f(x )]>0.
所以,当k≥-3时,对任意的x ,x ∈[1,+∞), 且x >x ,有
[失分剖析]构造新函数要保证同构变形，一定要注明新函数自变量的取值范围.
19.(2020江苏,19)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b∈R)在区间D上恒有. f(x)≥h(x)≥g(x).
(1)若f(x)=x +2x,g(x)=-x +2x,D=( -∞,+∞), 求h(x)的表达式;
(2)若 f(x)=x -x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+∞),求k的取值范围;
(3)若f( D= 求证：
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.本题考查导数远算法则及利用导数判断函数单调性的方法.含参数问题采用分类讨论和等价化归思想，进而构建了导函数与导数值间的对应关系.
[解题思路](1)解由条件 f(x)≥h(x)≥g(x), 得 x +2x≥kx+b≥-x +2x,取x=0,得0≥b≥0,所以b=0.由 x +2x≥kx, 得 x +(2-k)x≥0, 此式对一切x∈(-∞,+∞)恒成立，
所以(2-k) ≤0,则k=2,此时 2x≥-x +2x恒成立,所以h(x)=2x.
(2)解h(x)-g(x)=k(x-1-lnx),x∈(0,+∞).
令u(x)=x-1-lnx,则 令u'(x)=0,得x=1.
当x变化时，u'(x)和u(x)的变化情况如下表.
x (0,1) 1 (1,+∞)
u(x) — 0 +
u(x) 极小值
所以 则x-1≥lnx恒成立.
所以当且仅当k≥0时,h(x)≥g(x)恒成立.
另一方面,f(x)≥h(x)恒成立,即 x -x+1≥kx-k 恒成立，
也即 x -(1+k)x+1+k≥0恒成立.
因为k≥0，对称轴为直线
所以 (1+k) -4(1+k)≤0,解得-1≤k≤3.
因此,k的取值范围是[0,3].
(3)证明①当 时,
由g(x)≤h(x),得 4x -8≤4( t -t)x-3t +2t , 整理得
令 △=(t -t) -(3t -2t -8), 则 △=t -5t +3t +8.
记
则 φ'(t)=6t -20t +6t=2t(3t -1)( t -3)<0 恒成立，
所以φ(t)在 上单调递减，则 即2≤4(t)≤7.
所以不等式( *)有解，设解为 x ≤x≤x ,
② f( -1)-h( -1)=3t +4t -2t -4t-1.
设.v(t)=3t +4t -2t -4t-1,v'( t)=12t +12t -4t-4=4(t+1)(3t -1), 令w'(t)=0,得
当 时,v'(t)<0,v(t)单调递减;
当 时,v'(t)>0,v(t)单调递增.
v(0)=-1,v(1)=0,则当0
(或证:v(t)=(t+1) (3t+1)(t-1)<0.)
则f(-1)-h( -1)<0,因此-1 (m,n).
因为 所以
③当 时,因为f(x),g(x)均为偶函数,因此 也成立.
综上所述，
20.(2019全国Ⅱ,理20)已知函数
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
(2)设x 是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x , ln x )处的切线也是曲线y=e 的切线.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用和函数的零点、单调性及曲线的切线方程等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.考生从已知的函数解析式出发，借助导函数研究函数单调性和零点存在定理研究函数的零点分布情况；涉及曲线的公切线，解题思路比较程序化，应用导数值等于直线的斜率，探究确定直线位置关系的几何要素，判断两条直线是否重合，在关联的情境中，发现并提出数学问题，并用数学语言予以表达.
[解题思路](1)解f(x)的定义域为(0,1)∪ (1,+∞).
因为 所以f(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递增.
因为 所以f(x)在区间(1,+∞)内有唯一零点x ,即 f(x )=0. 又 故f(x)在区间(0,1)内有唯一零点 综上，f(x)有且仅有两个零点.
(2)证明 故点 在曲线. y=e 上.
由题设知f(x )=0,即 故直线AB的斜率
曲线y=e 在点 处切线的斜率是 曲线y=lnx在点A(x , ln x )处切线的斜率也是所以曲线y=lnx在点A(x , ln x )处的切线也是曲线y=e 的切线.
[失分剖析]本题主要失分原因在于是否能够区分开题目中是求过点的切线问题还是在点的切线问题.
21.(2019全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=(x-1) lnx-x-1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用和函数的极值点、单调性等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学
判断函数f(x)的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；(2)先由(1)的结果，得到
f(x )<0,f(e )=e -3> 0 得到f(x)=0在区间(x ,+∞)内存在唯一实根,
记作x=α，再求出 即可结合题意，说明结论成立.
[解题思路]证明(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
因为y=lnx单调递增, 单调递减,所以f'(x)
单调递增.又 故存在唯一x ∈(1,2),使得f'(x )=0.
又当 f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>x 时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
因此，f(x)存在唯一的极值点.
(2)由(1)知f(x ) f(e )=e -3>0, 所以f(x)=0在区间(x ,+∞)内存在唯一根x=α.由α>x >1得
又
综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
[失分剖析]根的判断和检验是考生的易错点，此类题目的解题关键在于正确分析函数结构，得出根的判定形式.
22.(2019全国Ⅲ,理20)已知函数f(x)=2x -ax +b.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1 若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用，函数的单调性、极值、最值等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.(1)先求f(x)的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据a的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a，b的值.从含参的函数表达式出发，结合本题求单调性和最值，获取结论成立需要正确求原函数的导函数，并建立起“正对增、负对减”的逻辑关系，体会导数的工具作用.
[解题思路]解(1)f'(x)=6x -2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或
若a>0,则当 时,f'(x)>0;
当 时,f'(x)<0.
故f(x)在(-∞,0), 内单调递增，在 内单调递减；
若a=0,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;
若a<0,则当 时,f'(x)>0;
当 时, f'( x)<0.
故f(x)在 内单调递增，在 内单调递减.
(2)思路1.假设满足题设条件的a，b存在.
(i)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.
()当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.()当0 最大值为b或
若 则 或 或a=0,与0当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.
思路2.假设满足题设条件的a，b存在.
若f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1,则
-1≤f(0)=b≤1,-1≤f(1)=2-a+b≤1.故0≤a≤4.
( i)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]的最大值为b,最小值为2-a+b.
因此,若f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1,则
2-a+b=-1,b=1,解得a=4,b=1.
()当0≤a<3时,由(1)知,f(x)在[0,1]的最小值为 最大值为b或2-a+b.
因此,若f(x)在[0,1]的最小值为-1,则 即
此时 f(x)在[0,1]的最大值为
若f(x)在[0,1]的最大值为1,则 (舍去)或a=0,此时b=-1.
综上,当a=4,b=1或a=0,b=-1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.
[失分剖析]本题采用分类讨论的思想来考查函数的最值问题，考生在分类时易遗漏元素，导致失分.
23.(2019全国Ⅲ,文20)已知函数 f(x)=2x -ax +2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0,记f（x）在区间【0，-1】的最大值为M，最小值为m,求M-m的取值范围.
[试题情境]本题属于探索创新情境.本题以函数为载体，考查导数的应用.
[必备知识]本题考查的知识是导数在研究函数中的应用和函数单调性、最值等.
[能力素养]本题考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查的学科素养是理性思维和数学探索.(1)先求f(x)的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论a的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得M-m的取值范围.考生从含参的函数表达式出发，结合本题求单调性和最值，获取结论成立需要对原函数正确进行求导，建立起“正对增、负对减”的逻辑关系，体会导数的工具作用.
[解题思路]解(1)f'(x)=6x -2ax=2x(3x-a).
令f'(x)=0,得x=0或
若a>0,则当 时,f'(x)>0;
当 时, f'( x)<0.
故f(x)在(-∞,0), 内单调递增，在 内单调递减；
若a=0,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;
若a<0,则当 时,f'(x)>0;
当 时,f'(x)<0.
故f(x)在 内单调递增，在 内单调递减.
(2) 单调递减，在 单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为 最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
于是
所以
当0 单调递减，
所以M-m的取值范围是
当2≤a<3时, 单调递增，
所以M-m的取值范围是
综上，M-m的取值范围是
[失分剖析]考生在将含参数问题转化成以参数为自变量的分段函数时，易忽略分段函数的定义域.专题七 导数
考向(一) 导数的概念、几何意义及基本运算
1.(2019全国Ⅱ,文10)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
2.(2019全国Ⅲ,理6、文7)已知曲线 y=aer+xln x在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e ,b=1 D.a=e ,b=-1
3.(2021全国甲,理13)曲线在点(-1,-3)处的切线方程为 .
4.(2020全国Ⅰ,文15)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
5.(2020全国Ⅲ,文15)设函数 若则a= .
考向(二) 导数在研究函数中的应用
1.(2021全国乙,理10、文12)设a≠0,若x=a为函数j f(x)=a(x-a) ( x-b) 的极大值,则( )
A.a B.a>b C. ab D. ab>a
2.(2021新高考全国Ⅰ,7)若过点(a,b)可以作曲线 y=e 的两条切线,则( )
A.e B.e
C.0 D.0
3.(2021新高考全国Ⅱ,16)已知函数f(x)=|e -1|,x <0,x >0, 函数f(x)的图像在点A(x ,f(x ))和点B(x ,f(x ))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是 .
4.(2021全国甲,理21)已知a>0且a≠1,函数
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
5.(2021全国甲,文20)设函数f(x)=a x +ax-3lnx+1,其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.
6.(2021全国乙,理20)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a;
(2)设函 证明:g(x)<1.
7.(2021全国乙,文21)已知函数 f(x)=x -x +ax+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标
8.(2021新高考全国Ⅰ,22)已知函数f(x)=x(1-ln x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且bln a-aln b=a-b,证明:
9.(2021新高考全国Ⅱ,22)已知函数 f(x)=(x-1)e -ax +b.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点：
10.(2020全国Ⅰ,理21)已知函数 f(x)=e +ax -x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时, 求a的取值范围.
11.(2020全国Ⅰ,文20)已知函数 f(x)=e -a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
.
12.(2020全国Ⅱ,理21)已知函数 f(x)=sin xsin2x.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;
(2)证明:
(3)设 证明
13.(2020全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=2lnx+1.
(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;
(2)设a>0,讨论函数 的单调性.
14.(2020全国Ⅲ,理21)设函数 f(x)=x +bx+c, 曲线y=f(x)在点 处的切线与y轴垂直.
(1)求b;
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
15.(2020全国Ⅲ,文20)已知函数 f(x)=x -kx+k .
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围.
16.(2020新高考全国Ⅰ,21;2020新高考全国Ⅱ,22)已知函数 f(x)=ae -ln x+ln a.
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
17.(2020浙江,22)已知f(x)=e -x-a, 其中·是自然对数的底数.
(1)证明:函数y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零点;
(2)记x 为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,证明:
18.(2020天津,20)已知函数 f(x)=x +klnx(k∈R), f'( x) 为f(x)的导函数.
(1)当k=6时,
①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
②求函数 的单调区间和极值；
19.(2020江苏,19)已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,b∈R)在区间D上恒有. f(x)≥h(x)≥g(x).
(1)若f(x)=x +2x,g(x)=-x +2x,D=( -∞,+∞), 求h(x)的表达式;
(2)若 f(x)=x -x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+∞),求k的取值范围;
(3)若f( D= 求证：
20.(2019全国Ⅱ,理20)已知函数
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
(2)设x 是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x , ln x )处的切线也是曲线y=e 的切线.
21.(2019全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=(x-1) lnx-x-1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
22.(2019全国Ⅲ,理20)已知函数f(x)=2x -ax +b.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1 若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.
23.(2019全国Ⅲ,文20)已知函数 f(x)=2x -ax +2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0,记f（x）在区间【0，-1】的最大值为M，最小值为m,求M-m的取值范围.

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