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第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图像和性质
1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。
2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。
3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。
教学重点：指数函数的图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。
指数函数的图像与性质
图 象
定义域
值 域
性 质 过定点
非奇非偶
在R上是 在R上是
（一）、提出问题
你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？
（二）、探索新知
问题１　用描点法作函数
1.列表 2.描点 3.连线.
用描点法作函数
观察这四个图像有何特点？
问题1：图象分别在哪几个象限？
问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？
问题3：图象有哪些特殊的点？
问题4：图象定义域和值域范围？
（三）典例解析
例3：说出下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5__ 1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__ 0.82.5
例4：如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
2．下列判断正确的是(　　)
A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83 C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
3．函数y＝1－x的单调增区间为(　　)
A．R B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1)
4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________.
5．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
6．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；
(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．
1、指数函数的图像及其性质；
2、指数比较大小的方法；
参考答案：
二、学习过程
（三）典例解析
例3.解：① ∵函数y=1.7x在R上是增函数，又∵ 2.5 < 3 ，∴1.72.5 < 1.73
② ∵函数y=0.8x在R上是减函数，又∵ -1 > -2 ，∴ 0.8—1 < 0.8 — 2
③ ∵ 1.7 0.5 > 1.70 = 1= 0.80 >0.8 2.5 ， ∴1.70.5 > 0.82.5
例4.分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中
选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．
解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．
（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．
三、达标检测
1【答案】D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.]
2【答案】D　[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
3【答案】A　[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝u(x)是减函数，
故y＝1－x在R上单调递增，故选A.]
4【答案】mf(n)，∴m5【答案】　(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
6【答案】　(1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝x在R上递减，则2≤b2＋2，
所以f(2)≥f(b2＋2)．
(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．

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