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《指数函数》能力探究
推测解释能力、概括理解能力 利用指数函数的性质比较大小的方法
1.比较指数式的大小的方法
(1)化同底:因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底.
(2)商比法:不同底但可以化为同指数的两数比较大小,用商比法即可迎刃而解,这时要特别注意分母的正负.
(3)中间值法:要比较与的大小,先找一个中间值,再比较与与的大小,由不等式的传递性得到与的大小.
(4)图解法:转化为同指数的幂后,在同一直角坐标系中作出相应指数函数的图象,根据条件观察图象变化规律来比较大小.
2.比较指数不等式大小的方法
(1)形如的不等式,借助函数的单调性求解.如果的取值不确定,需分和两种情况讨论.
(2)形如的不等式,注意先将化成以为底的指数幂的形式,再借助函数的单调性求解,一般地,可采用取对数法求解(下节将学到).
(3)形如的不等式,利用图象求解,或采用取对数法求解(下节将学到).
典例1 [数学抽象、逻辑推理](1)(2019山西长治二中月考)设,则( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2018福建福州二中高一检测)设函数定义在实数集上,它的图象关于直线对称,且当时,,则有( )
A.
B.
C.
D.
解析:掌握比较指数式大小的方法是解题的关键,可以先分析指数式的特点,再选择较为简便的方法进行推理、比较.具体解题过程如下:
(1),则,即.
(2)因为的图象关于直线对称,所以.因为函数在上是增函数,所以,即.
答案:(1) (2)
分析计算能力、推测解释能力 求指数型复合函数的定义域和值域的一般方法
1.求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是型还是型.
(1)由于指数函数,且的定义域是,所以函数的定义域与的定义域相同.
(2)对于函数,且的定义域,关键是找出的值域的哪些部分在的定义域中.
(3)求型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).
2.求与指数函数有关的函数的值域时,要注意指数函数的值域为,还需注意:在求形如,且)的函数的值域时,先求得的值域(即函数中的范围),再根据的单调性,列出指数不等式(组),得出的范围,即的值域.
典例2 [数学运算]求下列函数的定义域和值域.
(1);(2).
解析:本题主要考查指数型函数定义域和值域.分析计算时需注意外层函数与内层函数的特征.具体解题过程如下:
(1)要使函数式有意义,则,即.
因为函数在上是增函数,所以.
故函数的定义域为.
因为,所以,所以.
所以,即函数的值域为.
(2)要使函数式有意义,则,解得.
所以函数的定义域为.
因为,所以,
即函数的值域为,且.
简单问题解决能力 解决与指数函数有关的函数的单调性问题的一般方法
指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单调性时,一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关,其解决方法一般是利用函数单调性的定义.特别地,(1)对于形如,且的函数,可以利用复合函数的单调性,转化为指数函数及函数的单调性来处理.(2)对于形如的复合函数,可令,由内层函数及外层函数的单调性来处理.
典例3 [数学运算、逻辑推理]讨论函数的单调性,并求其值域.
解析:本题主要考查学生根据指数函数的底数、单调性等知识进行分析计算.具体解题过程如下:
函数的定义域为R.令,则在上是减函数,而在上是增函数,在上是减函数.
∴在上是减函数,在上是增函数.
∵,
∴这个函数的值域为.
综合问题解决能力 复合指数函数单调性的判断方法
一般地,在复合函数中,若函数在区间上是单调增(减)函数,且函数在区间或在区间上是单调函数,那么在区间上的单调性见下表:
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
典例4 [数学运算、逻辑推理](2018山东师大附中高一期中)若,求函数的最大值和最小值.
解析:根据复合指数函数的单调性分析计算是解题的关键.具体解题过程如下:
.
令,则,
所以当时,;当时,.
故该函数的最大值为,最小值为.
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