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《指数函数》知识探究
探究点1 指数函数的概念
1.定义域是.
2.自变量位于指数位置上.
3.在指数函数的表达式中,的系数必须是1.
4.底数的范围必须是且.
【要点辨析】
规定底数且的理由
若,若,则对于的某些数值,可使无意义;若,则对于任意,是一个常量,没有研究的必要.为了避免上述各种情况发生,规定底数且.
学科素养:运用指数函数的概念解决问题,提升学生的数学抽象、数学运算核心素养.
典例1 ［概括理解能力、分析计算能力］(1)(2018江西吉安一中高一月考)若函数为指数函数,则的值为( )
A.0
B.
C.1
D.2
(2)已知指数函数的图象经过点,则的值等于__________.
解析:在理解指数函数概念的基础上,进行分析计算.具体解题过程如下:
(1)∵为指数函数,∴解得.
(2)设的图象过点.又∵且.
答案:(1) (2)
探究点2 指数函数的图象和性质
1.函数,且的图象
底数
图象
性质 函数的定义域为,值域为
函数图象过定点,即时,
当时,恒有; 当时,恒有 当时,恒有; 当时,恒有
函数在定义域上为增函数 函数在定义域上为减函数
2.一般地,函数与,且的图象关于轴对称.
【要点辨析】
底数对图象的影响
1.底数与1的大小关系决定了指数函数,且)的图象的“升”与“降”
(1)当时,指数函数的图象是“上升”的,且当时,底数的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得越快;(2)当时,指数函数的图象是“下降”的,且当时,底数的值越小,函数图象越“陡”,说明其函数值减小得越快.
2.底数的大小决定了图象相对位置的高低
(1)不论是还是,在第一象限内底数越大,函数图象越靠上;(2)在轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,即“底数大图象高”;在轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大,即“底数大图象低”.
3.指数函数与的图象的特点
底数 自变量 函数值
学科素养:通过指数函数的图象与性质解决与图象有关的问题,提升直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养.
典例2-1 [推测解释能力、分析计算能力](1)函数,且的图象必经过点( )
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(2,1)
D.(0,2)
(2)河南洛阳二中高一月考)函数与的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
解析:掌握指数函数的图象及性质并进行分析计算、推理判断是解题的关键.(1)指数函数的图象必经过点,将的图象向上平移一个单位长度得到的图象,所以的图象必经过点.
(2)当时,排除A、B.
答案:(1)D (2)C
典例2-2 [观察记忆能力(1)(2019湖北黄冈中学月考)
已知,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山东青岛检测)函数,且的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题主要考查指数函数的图象和性质,要判断图象是否与该函数对应,可以根据函数的性质进行推理解释,也可以先观察图象,再排除.具体解题过程如下:
(1)方法一:与单调递增与单调递减,在第一象限内作直线,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数.故选.
方法二:与单调递增,且的图象上升得快,与的图象关于轴对称,与的图象关于轴对称.故选.
(2)函数,且的图象恒过点,可排除选项.
答案:(1)A (2)C
探究点3 指数函数的定义域和值域
1.指数函数的定义域
(1)指数函数的定义域是.
(2)由于指数函数的定义域是,因此形如的函数的定义域就是的定义域,这样,就把求这种类型的函数的定义域问题转化为求使得有意义的的取值范围.
2.指数函数的值域
指数函数的图象总在轴的上方,因此,指数函数的值域是.
(1)求形如的函数的值域,可先求的取值范围,再求的取值范围.
(2)求形如的函数的值域,不但要考虑的值域,还要明确还是,利用指数函数的单调性求值域.
【要点辨析】
1.解决有关指数函数的定义域问题时,常遇到解指数不等式的问题,需要根据指数函数的单调性求解,必要时可充分结合指数函数的有关图象求定义域.
2.有关指数函数的最值问题,经常用指数函数的单调性解决.
3.底数与1的大小关系不仅影响指数函数的单调性,也影响其函数值增长的快慢.
学科素养:通过指数函数的性质,求解定义域与值域,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
典例3 [概括理解能力、分析计算能力](1)(2019湖北黄石二中期中)函数的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019四川成都六校联考)函数5)的值域为( )
A.
B.
C.
D.
(3)(2019河北保定二中月考)设,则( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题基于对函数的图象和性质的分析、理解,进一步考查对指数函数的掌握情况,具体解题过程如下:
(1)依题意有解得.故选B.
(2)由于为增函数,且,则,因此函数值域为.故选.
(3)由题意知,,因为在上是增函数,所以.故选D.
答案:(1)B (2)C (3)
探究点4 指数函数图象的变换
1.平移变换
2.对称变换
3.翻折变换
函数的图象:将的图象在轴右侧的部分沿轴翻折到左侧,替换原轴左侧部分,并保留的图象在轴右侧的部分,的图象关于轴对称.
函数的图象:将的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,去掉原轴下方部分,并保留的图象在轴上方的部分.的图象就是的图象在轴上方的部分不动,把轴下方的部分翻折到轴上方.
学科素养:根据指数函数的图象变化解决相关问题,提升直观想象核心素养.
典例4 [推测解释能力](1)(2019河南洛阳检测)函数的图象的大致形状是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山西忻州二中高一月考)已知函数(其中的图象如图所示.则函数的图象是图中的( )
A.
B.
C.
D.
解析:本题通过运用直观想象,利用函数图象的变换考查指数函数图象和性质.具体解题过程如下:
(1)当时;当时,,故选B.
(2)由的图象可知,所以为减函数,将的图象向下移动个单位长度可得的图象,故选A.
答案:(1) B (2)A
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