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10.1.3 古典概型
学习目标
1. 结合具体事例，理解古典概型，能计算古典概型中随机事件的概率。
1. 理解古典概型的两个基本特征和计算公式，能利用古典概型解决简单的实际问题
基础梳理
1. 概率：研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小，对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
共同特征；
2. 古典概型的基本特征：我们将具有以下两个基本特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3. 古典概型计算公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
随堂训练
1、下列问题中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求出现1点的概率
C.在区间上任取一个数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
2、下列有关古典概型的四种说法:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个事件出现的可能性相当;
③每个基本事件出现的可能性相等;
④已知基本事件总数为n,若随机事件A包含k个基本事件,则事件A发生的概率.
其中说法正确的是( )
A.①②④ B.①③ C.③④ D.①③④
3、从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( )
A. B. C. D.1
4、掷一枚骰子,则掷得奇数点的概率是( )
A. B. C. D.
5、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为,其中,若,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
6、下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平的游戏是( )
游戏1 游戏2 游戏3
3个黑球和一个白球 一个黑球和一个白球 2个黑球和2个白球
取1个球,再取1个球 取1个球 取1个球,再取1个球
取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜
A.游戏1和游戏3 B.游戏1
C.游戏2 D.游戏3
7、著名的“3N+1猜想”是指对于每一个正整数n，若n是偶数，则让它变成；若n是奇数，则让它变成.如此循环，最终都会变成1.若数字5，6，7，8，9按照以上猜想进行变换，则变换次数为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
8、某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_____________.
9、从任取两个不同的数值,分别记为,,则为整数的概率是__________.
10、有编号为的个零件,测量其直径(单位: ),得到下面数据:
编号
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取2个,
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.
11、有两个不透明的箱子,每个箱子都装有个完全相同的小球,球上分别标有数字.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;
(2)摸球方法与相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗 请说明理由.
12、袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“”，求事件A的概率．
答案
随堂训练
1答案及解析：
答案：D
解析：A,B两项中的基本事件的发生不是等可能的;C项中基本事件的个数是无限多个;D项中基本事件的发生是等可能的,且是有限个.故选D.
2答案及解析：
答案：D
解析：②中所说的事件不一定是基本事件,所以②不正确;根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选D.
3答案及解析：
答案： C
解析：这里所有的基本事件为:甲、乙;甲、丙;乙、丙,即基本事件共有三个。甲被选中的事件有两个,按等可能事件的概率,有.
4答案及解析：
答案：B
解析：掷一枚骰子可能出现奇数点,也可能出现偶数点,且出现奇数点与偶数点的概率相同,故概率为.
5答案及解析：
答案：D
解析：甲、乙两人玩游戏,其中构成的基本事件共有 (组).
对于“心有灵犀”的数组,若或,则分别有或共组;
若,则每个有相应的个数,因此“心有灵犀”的数组共有(组).
∴“心有灵犀”的概率为.
6答案及解析：
答案：D
解析：游戏1中,取2个球的所有可能情况为:(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2,白),(黑3,白).所以甲胜的可能性为0.5,故游戏是公平的;游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,游戏是公平的;游戏3中,取2个球的所有可能情况为:(黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),(黑1,白2),(黑2,白2),(白1,白2).所以甲胜的可能性为,游戏是不公平的.
7答案及解析：
答案：C
解析：依题意知，5→16→8→4→2→1，共进行5次变换；6→3→10→5→…，共进行8次变换；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…，共进行16次变换；由以上可知，8变换共需要3次；9→28→14→7→…，共进行19次变换故变换次数为奇数的概率为，故选C.
8答案及解析：
答案：
解析：将4种水果每两种分为一组共6 种方法,则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为.
9答案及解析：
答案：
解析：从中任取两个数记为,作为对数的底数与真数,共有12个不同的基本事件,其中为整数的只有,两个基本事件,所以其概率.
10答案及解析：
答案：(1)由所给数据可知,一等品零件共有6个,
设“从10个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件,
则.
(2)①一等品零件的编号为,
从这6个一等品零件中随机抽取个,所有可能的结果有:
,,
,,共有15种.
②“从一等品零件中,随机抽取的个零件直径相等”(记为事件)的所有可能结果有:
,共有6种,
所以.
11答案及解析：
答案：(1)用 (表示甲摸到的数字, 表示乙摸到的数字)表示甲,乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有: ,共16个;
设甲获胜的事件为,则事件包含的基本事件有: ,共有6个;则.故甲获胜的概率为.
(2)设甲获胜的事件为,乙获胜的事件为;事件所包含的基本事件有: ,共有4个,则,即,因为,所以这样规定不公平.
12答案及解析：
答案：(1)由题意可知：，解得.
(2)不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：，，共12个，事件A包含的基本事件为：，共4个．.
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