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圆锥曲线中的斜率问题
一、考情分析
斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜
率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.
二、解题秘籍
(一)利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用 kAB= kAC.
y2
【例1】(2023 届广东省部分学校高三上学期联考)设直线 x=m与双曲线C：x2- 3 =m(m> 0)的两条渐近
线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为 3.
(1)求m的值；
(2)已知直线 l与 x轴不垂直且斜率不为 0,l与C交于两个不同的点M ,N ,M关于 x轴的对称点为M ,F
为C的右焦点,若M ,F,N三点共线,证明：直线 l经过 x轴上的一个定点.
( ) 2- y
2
【解析】1 双曲线C：x 3 =m(m≠ 0)的渐近线方程为 y=± 3x,
不妨设A m, 3m ,B m,- 3m
因为三角形OAB的面积为 3,所以 12 AB m= 3m
2,
所以 3m2= 3,又m> 0,所以m= 1.
2
(2) y双曲线C的方程为C：x2- 3 = 1,所以右焦点F的坐标为 2,0 ,
若直线 l与 x轴交于点 p,0 ,故可设直线 l的方程为 y= k x- p k≠ 0 ,
设M x1,y1 ,N x2,y2 ,则M x1,-y1 ,
y= k x- p 联立 y2 ,得 3- k2 x2+ 2pk2x- k2p2+ 3 = 0,x2- 3 = 1
3- k2≠ 0 且 Δ= 2pk2 2+ 4 3- k2 k2p2+ 3 > 0,
化简得 k2≠ 3 且 p2- 1 k2+ 3> 0,
2pk2 k2p2+ 3
所以 x1+ x2=- ,x x =- ,3- k2 1 2 3- k2
因为直线MN的斜率存在,所以直线M N的斜率也存在,
因为M ,F,N三点共线,所以 kM F= kFN ,
-y y
即 1 2x - 2 = x - 2 ,即-y1 x2- 2 = y2 x1- 2 ,1 2
所以-k x1- p x2- 2 = k x2- p x1- 2 ,
因为 k≠ 0,所以 x1- p x2- 2 + x2- p x1- 2 = 0,
所以 2x1x2- (p+ 2) x1+ x2 + 4p= 0,
k2p2+ 3 2
所以 2 - 3- k2 - ( + ) -
2pk
p 2
3- k2 + 4p= 0,
化简得 p= 12 ,所以MN经过 x轴上的定点
1
2 ,0 .
2 2
【例2】( y2022 届北京市一六一中学高三上学期期中)已知椭圆W : x4 + 3 = 1的左 右顶点分别为A,B,右焦
点为F,直线 l1:x= 4.
(1)若椭圆W的左顶点A关于直线 x+my- 4= 0的对称点在直线 l1上,求m的值；
(2)过F的直线 l2与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线CB与直线 l1相交于点M ,求
证：A,D,M三点共线.
【解析】(1)由题意知,
直线 l3：x+my- 4= 0 的斜率存在,且斜率为 k3=- 1m ,
设点A关于直线 l3对称的点为A1,则A1(4，n),AA1⊥ l3
所以线段AA1的中点 1，n2 在直线 l3上,又 k
n
AA = ,k k1 6 3 AA =-1,1
-
1 × nm 6 =-1有 ,解得 m= 1 或 m=-1 n = =- ,1+m× - 4= 0 n 6 n 62
所以m=±1；
(2)已知A(-2，0)，B(2，0)，F(1，0),
当直线 l2的斜率不存在时,l2：x= 1,此时C 1，- 32 ，D 1，
3
2 ,
0+ 3
有 k = 2 3CB 2- 1 = 2 ,所以直线 l
3
CB：y= 2 (x- 2),当 x= 4 时,y= 3,所以M (4，3),
3- 3 3
所以 k = 2 = 1 ，k = 2
- 0 1
DM 4- 1 2 AD 1+ 2 = 2 ,所以 kDM= kAD,
即A、D、M三点共线；
当直线 l2的斜率存在时,设直线 l2：y= k(x- 1) (k≠ 0),
x
2 y2
则 4 + 3 = 1 ,得 (4k2+ 3)x2- 8k2x+ 4k2- 12= 0,y= k(x- 1)
Δ= (-8k2)2- 4(4k2+ 3) (4k2- 12) = 144k2+ 144> 0,
2
设C x，y ，D x ，y ,则 x + x = 8k ，x x = 4k
2- 12
1 1 2 2 1 2 4k2+ 3 1 2 4k2+ ,3
y 2y
直线BC的方程为 y= 1 1x - 2 (x- 2),令 x= 4,得M 4，1 x1- 2 ,
y y
所以直线AD、AM的斜率分别为 kAD= 2 1x2+ 2
，kAM= ( ,3 x1- 2)
- = y2 - y1 = 3y2(x1- 2) - yk k 1(x2+ 2)AD AM x2+ 2 3(x1- 2) 3(x2+ 2) (x1- 2)
,
上式的分子
3y2(x1- 2) - y1(x2+ 2)
= 3k(x2- 1) (x1- 2) - k(x1- 1) (x2+ 2)
= 2kx1x2- 5k(x1+ x2) + 8k
2
= 2k 4k - 12
2
2+ - 5k
8k
2+ + 8k= 0,4k 3 4k 3
所以 kAD- kAM= 0,即A、D、M三点共线.
综上,A、D、M三点共线.
(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
x2 y21. 设点P m,n 是椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若 ka b PA+
2 2
k bm 2n 2b mPB= λ,则 λ= 0时直线AB斜率为定值 2 n≠ 0 ,若 λ≠ 0,则直线AB过定点 m- ,-n-an λ a2 ,λ
2 2
2. 设点P m,n 是双曲线C : x2 -
y
2 = 1(a> 0,b> 0)一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若a b
2
k PA + k PB = λ , 则 λ = 0 时直线 AB 斜率为定值- bm2 n≠ 0 , 若 λ ≠ 0 , 则直线 AB 过定点an
m- 2n
2
,-n+ 2b m ；
λ a2λ
3. 设点P m,n 是抛物线C：y2= 2px p> 0 一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若 kPA+ kPB
= , = p 2pλ 则 λ 0时直线AB斜率为定值- n n≠ 0 ,
2n
若 λ≠ 0,则直线AB过定点 m- ,-n+ ；λ λ
【例3】(2023 届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P在直线 y= t上,证明直线PA,PB关于 y= t
对称,或证明直线 y= t平分∠APB,可证明 kPA+ kPB= 0.
x2 y2
已知椭圆C： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左、右焦点分别为F1,F2,点M 0,2 是椭圆C的一个顶点,△F1MFa b 2
是等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线MA,MB的斜率分别为 k1,k2,且 k1+ k2=
8,证明：直线AB过定点．
【解析】(1)由题意点M 0,2 是椭圆C的一个顶点,知 b= 2,
因为△F1MF2是等腰直角三角形,所以 a= 2b,即 a= 2 2,
2 y2
所以椭圆C的标准方程为：x8 + 4 = 1．
(2)若直线AB的斜率存在,设其方程为 y= kx+m,由题意知m≠±2．
y= kx+m由 x2 y2 ,得 1+ 2k2 x2+ 4kmx+ 2m2- 8= 0,8 + 4 = 1
由题意知 Δ= 8(8k2+ 4-m2)> 0,设A x1,y1 ,B x2,y2 ,
2
所以 x1+ x2= -4km+ 2 ,x1x =
2m - 8
1 2k 2 1+ 2k2 ,
+ y1- 2 y2- 2因为 kx +m- 2k1 k 12= 8,所以 k1+ k2= x + x = x +
kx2+m- 2
1 2 1 x2
= 2k+ ( - )× x1+ xm 2 2x x = 2k+ m- 2
-4km
× 2- = 8,1 2 2m 8
所以 k- kmm+ 2 = 4,整理得m=
1
2 k- 2,
故直线AB的方程为 y= kx+ 12 k- 2,即 y= k x+
1
2 - 2,
所以直线AB过定点 - 12 ,-2 ．
若直线AB的斜率不存在,设其方程为 x= x0,A x0,y0 ,B x0,-y0 ．
y - 2 -y - 2
由题意得 0 + 0x x = 8,解得 x
1
0=- 2 ,0 0
此时直线AB的方程为 x=- 12 ,显然过点 -
1
2 ,-2 ．
综上,直线AB过定点 - 12 ,-2 ．
2 y2
【例4】(2023 届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A(2,1)在双曲线C : x -
a2 a2- = 1(a1
> 1)上,直线 l交C于P，Q 两点,直线AP，AQ 的斜率之和为 0.
(1)求 l的斜率;
(2)若 tan∠PAQ= 2 2,求△PAQ的面积.
2 y2
【解析】(1)将点A(2,1)代入 x - = 1 中,得 4 1 4 2
a2 a2- 1 a2 - 2- = 1,即 a - 4a + 4= 0,a 1
解得 a2= 2 ,故双曲线方程为 x
2
- y22 = 1；
由题意知直线 l的斜率存在,设 l:y= kx+m,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
2
则联立直线与双曲线 x - y22 = 1 得：(2k
2- 1)x2+ 4kmx+ 2m2+ 2= 0,
需满足 2k2- 1≠ 0,Δ= 8(m2+ 1- 2k2)> 0,
2
故 x1+ x2=- 4km2- ,x x =
2m + 2 ,
2k 1 1 2 2k2- 1
y - 1 y - 1 kx +m- 1 kx +m- 1
k + k = 1 2 1 2AP AQ x1- 2
+ x =2- 2 x - 2
+
1 x2- 2
= 0,
化简得：2kx1x2+ (m- 1- 2k) (x1+ x2) - 4(m- 1) = 0,
2k(2m2+ 2)
故 2- + (m- 1- 2k) -
4km
2k 1 2k2- 1 - 4(m- 1) = 0,
即 2k2+ (m+ 1)k+m- 1= 0 ,即 (k+ 1) (m+ 2k- 1) = 0,
由题意可知直线 l不过A点,即m+ 2k- 1≠ 0,
故 l的斜率 k=-1.
∠PAQ
2tan
(2)设直线AP的倾斜角为 α,由 tan∠PAQ= 2 2,∴ 2∠ = 2 2,- 2 PAQ1 tan 2
∠PAQ
得 tan 2 =
2
2 ,(负值舍去),
由直线AP，AQ 的斜率之和为 0,可知 2α+∠PAQ= π,即 tan π- 2α 22 = 2 ,
则 tan π2 - =
cosα = 2 , = = , y1- 1α sinα 2 得 kAP tanα 2 即 x - 2 = 2,1
y1- 1 2联立 x - 2 = 2,及
x1
2 - y
2
1= 1 得 x = 10- 4 21 3 ,y
4 2- 5
1=
1 3
,
将 x = 10- 4 2 ,y 4 2- 5 51 3 1= 3 代入 l:y=-x+m中,得m= 3 ,
故 x1+ x 20 682= 3 ,x1x2= 9 ,
而 |AP| = 2+ 1|x1- 2| = 3|x1- 2|,|AQ| = 3|x2- 2|,
由 tan∠PAQ= 2 2,得 sin∠PAQ= 2 23 ,
故S 1△PAQ= 2 |AP| |AQ|sin∠PAQ= 2|x1x2- 2(x1+ x2) + 4|
= 2 689 - 2×
20 + 4 = 16 23 9 .
【例5】(2022 届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E:y2= 2px(p> 0)的焦点为F,其中P为E的准线

上一点,O 9是坐标原点,且OF OP=- 4 .
(1)求抛物线E的方程；
(2)过Q 1,0 的动直线与E交于C,D两点,问：在 x轴上是否存在定点M t,0 t≠ 0 ,使得 x轴平分
∠CMD 若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】(1) p抛物线E:y2= 2px(p> 0)的焦点为F 2 ,0

设P - p p2 ,yP ,则OF = 2 ,0 ,OP= -
p
2 ,yP

因为OF OP=- 94 ,
p2
所以- 4 =-
9
4 ,得 p= 3.
所以抛物线E的方程为 y2= 6x;
(2)假设在 x轴上存在定点M t,0 t≠ 0 ,使得 x轴平分∠CMD.
设动直线的方程为 x=my+ 1,点C x1,y1 ,D x2,y2 ,
联立 x=my+ 1 2= ,可得 y
2- 6my- 6= 0.
y 6x
∵Δ= 36m2+ 24> 0 恒成立,
∴ y1+ y2= 6m,y1y2=-6
设直线MC,MD的斜率分别为 k1,k2,则
k1+
y
k 1
y2 y1 x2- t + y2 x1- t
2= x1- t
+ x2- t
=
x1- t x2- t
= y1 my2+ 1- t + y2 my1+ 1- t 2my1y2+ 1- t y1+ y2
x1-
=
t x2- t x1- t x2- t
由定点M t,0 t≠ 0 ,使得 x轴平分∠CMD,则 k1+ k2= 0,
所以 2my1y2+ 1- t y1+ y2 = 0. 把根与系数的关系代入可得m+mt= 0,
得 t=-1.
故存在 t=-1 满足题意.
综上所述,在 x轴上存在定点M -1,0 ,使得 x轴平分∠CMD.
(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
1. A,B C x
2
+ y
2
若点 是椭圆 ： 2 2 = 1 a> b> 0 上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的a b
2 2 2
点, y则 k k =- bPA PB 2 ；若点A,B
x
是双曲线C： 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 上关于原点对称的两点,点P是a a b
2
双曲线C上与A,B不重合的点,则 kPA kPB= b2 .a
2. 若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若 kPA kPB为定值,则直线AB过定
点.
2 2
【例6】( y2022 届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系 xOy中, C : x已知椭圆 4 + 3 = 1的左、右
顶点和右焦点分别为A、B和 F,直线 l:x=my+ t与椭圆C交于不同的两点M、N ,记直线AM、BM ,
BN的斜率分别为 k1、k2、k3.
(1)求证：k1k2为定值；
(2)若 k1= 3k3,求△FMN的周长.
2 2
【解析】(1)证明：设M x0,y0 ,易知A -2,0 、B 2,0 ,
x0 + y其中 04 3 = 1,则 x
2= 4- 4 y20 3 0 ,
= y y
2 2
k k 0 0 y0 y0 31 2 x0+ 2 x0- 2
= =
x20- 4 4- 4
=- 为定值.
y2 43 0- 4
- 3
(2)解：∵ k = 3k ,即 41 3 = 3k3 k2k3=- 1k2 4
,
设M x1,y1 、N x2,y2 ,而B 2,0 ,
x=my+ t联立 3 my+ t
2+ 4y2 = 12 3m
2+ 4 y2+ 6mty+ 3t2- 12= 0 ,
3x2+ 4y2= 12
则 Δ= 36m2t2- 4× 3m2+ 4 3t2- 12 = 48 3m2+ 4- t2 > 0,
y1+ y2=-
6mt
且 3m
2+ 4
3t2- 12 , =
y
k k 1
y2 1
2 3 x =- ,y y = 1- 2 x2- 2 41 2 3m2+ 4
my1+ t- 2 my2+ t- 2 + 4y1y2= 0.
所以, m2+ 4 y1y2+m t- 2 y1+ y 22 + t- 2 = 0
2
m2+ 4 3t - 12 2+ +m t- 2
-6mt
2+ + t- 2
2= 0,
3m 4 3m 4
2
∵ t≠ 2,∴ m2+ 4
3 t+ 2
2+ -
6m t + t- 2= 0,
3m 4 3m2+ 4
所以,3m2t+ 6m2+ 12t+ 24- 6m2t+ 3m2t- 6m2+ 4t- 8= 0,16t+ 16= 0 t=-1,
故直线MN恒过椭圆C的左焦点 -1,0 ,所以,△FMN的周长为 4a= 8.
2 y2
【例7】(2023 届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P(4,3) x在双曲线C : 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)a b
7
上,离心率 e= 2 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)A,B是双曲线C上的两个动点 (异于点P),k1,k2分别表示直线PA,PB 3的斜率,满足 k1k2= 2 ,求证：直
线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
2 y2
【解析】(1)由题意点P(4,3)在双曲线C: x2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)上,离心率 e=
7
a b 2
16 92 - 2 = 1
可得； a b 2+ 2 ,解出,a= 2,b= 3, a b 7 a = 2
2 y2
所以,双曲线C的方程是 x4 - 3 = 1
(2)①当直线AB的斜率不存在时,则可设A n,y0 ,B n,-y0 ,
x2 y2代入 4 - 3 = 1,得 y
2= 30 4 n
2- 3,
3 2
y - 3 -y - 3 9- y2 12- n
则 k 0 0 0 4 31k2= n- 4 n- 4 = (n- 4)2 = ( = ,n- 4)2 2
即 9n2- 48n+ 48= 0,解得n= 43 或n= 4,
当n= 4 时,y0=±3,A,B其中一个与点P 4,3 重合,不合题意；
当n= 43 时,直线AB的方程为 x=
4
3 ,它与双曲线C不相交,故直线AB的斜率存在；
2 y2
②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程 y= kx+m代入 x4 - 3 = 1,
整理得, 3- 4k2 x2- 8kmx- 4m2- 12= 0,设A x1,y1 ,B x2,y2 ,
则 x + x = 8km 4m
2+ 12
1 2 3- 4k2 ,x1x2=- ,3- 4k2
由 Δ= (-8km)2- 4 3- 4k2 -4m2- 12 > 0,∴m2+ 3> 4k2,
y - 3 y - 3 kx +m- 3 kx +m- 3 k2x x + k m- 3 x + x + (m- 3)2所以 k1k2= 1 2 1 2 1 2 1 2 3x1- 4
x2- 4
= x = =1- 4 x2- 4 x1x2- 4 x1+ x2 + 16 2
所以, 2k2- 3 x1x2+ 2km- 6k+ 12 x 21+ x2 + 2m - 12m- 30= 0,
2
即 2k2- 3 -4m - 12 - 2 + 2km- 6k+ 12
8km
+ 2m2- 12m- 30= 0,
3 4k 3- 4k2
整理得 3m2+ 16k- 6 m+ 16k2- 9= 0,
即 3m+ 4k+ 3 m+ 4k- 3 = 0,
所以 3m+ 4k+ 3= 0 或m+ 4k- 3= 0,
若 3m+ 4k+ 3= 0,则m=- 4k+ 33 ,直线AB化为 y= k x-
4
3 - 1,过定点
4
3 ,-1 ；
若m+ 4k- 3= 0,则m=-4k+ 3,直线AB化为 y= k x- 4 + 3,它过点P 4,3 ,舍去
综上,直线AB恒过定点 43 ,-1
另解：
设直线AB的方程为m x- 4 +n y- 3 = 1 ①,
2 y2
双曲线C的方程 x4 - 3 = 1 可化为 3 x- 4 + 4
2- 4 y- 3 + 3]2= 12,
即 3(x- 4)2- 4(y- 3)2+ 24 x- 4 - y- 3 = 0 ②,
由①②可得 3(x- 4)2- 4(y- 3)2+ 24 x- 4 - y- 3 m x- 4 +n y- 3 = 0,
整理可得 24m+ 3 (x- 4)2- 24n+ 4 (y- 3)2+ 24 n-m x- 4 y- 3 = 0,
两边同时除以 (x- 4)2,
2
+ y- 3 - - y- 3整理得 24n 4 x- 4 24 n m x- 4 - 24m+ 3 = 0 ③,
Δ= 242(n-m)2+ 4 24n+ 4 24m+ 3 > 0,
则 k1,k2是方程③的两个不同的根,
= - 24m+ 3所以 k 31k2 24n+ 4 = 2 ,即 8m+ 12n+ 3= 0 ④,
-3
由①④可得 x- 4 = 8
4
- - = ,
x=
解得 3 ,
3 y 3 12 y=-1
故直线AB恒过定点 43 ,-1 .
(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
1. 判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值
得到定值.
2. 求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知
条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
2 y2
【例8】(2022 届山东省学情高三上学期 12 月质量检测) x已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左右焦点分别a b
为F1(-1，0),F2(1，0).过F2与 x轴垂直的直线与椭圆C交于点D,点D在 x轴上方,且 DF = 3 21 2 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F2的直线 l与椭圆C交于A,B两点,是否存在一定点M使得 kMA+ kMB为定值,若存在,求出点M
的坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由己知得 c= 1,|DF1| = 3 22 ,所以 |DF2| =
2
2 ,
所以 2a= 2 + 3 22 2 = 2 2 a= 2,
∴ b= 1.
2
所以椭圆C的方程为 x2 + y
2= 1.
(2)如果存在点M ,由于椭圆的对称性可知点M一定在 x轴上,
设其坐标为 (x0,0),
因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设 l的方程为 y= k(x- 1),
A(x1,y1),B(x2,y2),
2
则 x1< 2,x2< 2,将 y= k(x- 1)代入 x2 + y
2= 1 得：
(2k2+ 1)x2- 4k2x+ 2k2- 2= 0,
2 2
所以 x1+ x2= 4k ,x x = 2k - 2 ,2k2+ 1 1 2 2k2+ 1
+ = y y又 k 1 2MA kMB x +1- x0 x2- x0
由 y1= kx1- k,y2= kx2- k得：
+ = 2kx1x2- k(x1+ x2) (x0+ 1) + 2x kk k 0MA MB ( .x1- x0) (x2- x0)
2(x - 2)k
则 2kx1x2- k(x1+ x ) (x 02 0+ 1) + 2x0k= 2k2+ 1
当 x0= 2 时,kMA+ kMB= 0,
当直线斜率不存在时,存在一定点M (2,0)使得 kMA+ kMB为定值 0.
综上:存在定点M (2,0)使得 kMA+ kMB为定值 0.
【例9】(2022 届广东省高三上学期 12 月大联考)已知圆 (x+ 1)2+ y2= 16的圆心为A,点P是圆A上的动点,
点B是抛物线 y2= 4x的焦点,点G在线段AP上,且满足 GP = GB .
(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)不过原点的直线 l与 (1)中轨迹E交于M ,N两点,若线段MN的中点Q在抛物线 y2= 4x上,求直线 l
的斜率 k的取值范围.
【分析】(1)依题意 GA + GB = AP = 4> 2= AB ,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系
得到相应的参数值即可得到椭圆方程；(2)设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标
Q - 4kt , 3t
2
,
16k 4k + 3
将点Q坐标代入抛物线方程得到 t=- ,将此式代入 4k2- t2+ 3> 0
4k2+ 3 4k2+ 3 9
2
得到 k4+ 3 k2- 94 32 < 0,解不等式即可.
【解析】(1)
易知A -1,0 ，∵点B是抛物线 y2= 4x的焦点,∴B 1,0 ,
依题意 GA + GB = AP = 4> 2= AB ,
所以点G轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A,B,长轴长为 4,
2 2
设该椭圆的方程为 x2 +
y
2 = 1(a> b> 0),a b
则 2a= 4,2c= 2,∴ a= 2,c= 1,
∴ b2= a2- c2= 3,
2 2
故点G的轨迹E的方程为 x4 +
y
3 = 1.
(2)易知直线 1 的斜率存在,
设直线 1：y= kx+ t t≠ 0 ,M x1,y1 ,N x2,y2 ,Q x0,y0 ,
由 y= kx+ t 2+ 2= 得： 4k
2+ 3 x2+ 8ktx+ 4t2- 12= 0,3x 4y 12
∵Δ= (8kt)2- 4 3+ 4k2 4t2- 12 > 0,
2
即 4k2- t2+ 3> 0 ①又 x1+ x2=- 8kt ,x x = 4t - 124k2+ 3 1 2 4k2+ 3
故Q - 4kt 3t2+ , 2+ ,将Q -
4kt 3t
2+ , 2+ ,代 λy
2= 4x,
4k 3 4k 3 4k 3 4k 3
16k 4k2+ 3
得：=- t 9 ②, k≠ 0 ,
将②代入①,得：162k2 4k2+ 3 < 81,4× 162k4+ 3× 162k2- 81< 0,
即 k4+ 3 k2- 9
2
4 32 < 0,
即 k2- 3 k2+ 27 < 0,即 k2- 332 32 32 < 0,
∴- 68 < k<
6
8 且 k≠ 0,
即 k的取值范围为:- 6 68 < k< 0 或 0< k< 8 .
三、跟踪检测
2
( y
2
1. 2023 届山西省长治市高三上学期 9 月质量检测)已知点P 1, 32 在椭圆C
x
： 2 + = 1(a> b> 0)上,a b2
且点P 13到椭圆右顶点M的距离为 2 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2) 1若点A,B是椭圆C上不同的两点 (均异于M )且满足直线MA与MB斜率之积为 4 ．试判断直线AB
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．
2 2
【解析】(1) y点P 1, 32 ,在椭圆C：
x
2 + 2 = 1(a> b> 0)上代入得：
1
2 +
9
2 = 1, a b a 4b
点P到椭圆右顶点M的距离为 132 ,则
13 2
2 = a- 1 +
9
4 ,
解得 a= 2,b= 3,
2 y2
故椭圆C的方程为 x4 + 3 = 1．
(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为 y= kx+m(k≠ 0),M 2,0 ,A x1,y1 ,B x2,y2 ．
联立 y= kx+m 22+ 2= 得 3+ 4k x
2+ 8kmx+ 4m2- 12= 0．
3x 4y 12
Δ= 64k2m2- 4 3+ 4k2 4m2- 12 = 48 4k2-m2+ 3 > 0．
2
∴ x1+ x = -8km 4m - 122 3+ 4k2 ,x1x2= 3+ 2 , 4k
∵直线MA与直线 MB 斜率之积为 14 ．
∴ y1 y2 1x1- 2
x2- 2
= 4 ,
∴ 4 kx1+m kx2+m = x1- 2 x2- 2 ．
化简得 4k2- 1 x1x2+ 4km+ 2 x1+ x 22 + 4m - 4= 0,
∴ 4k2- 1 4m
2- 12
+ 2 + 4km+ 2
-8km
+ 4m- 4= 0,
3 4k 3+ 4k2
化简得m2- 2km- 8k2= 0,解得m= 4k或m=-2k．
当m= 4k时,直线AB方程为 y= k x+ 4 ,过定点 -4,0 ．
m= 4k代入判别式大于零中,解得- 12 < k<
1
2 (k≠ 0)．
当m=-2k时,直线AB的方程为 y= k x- 2 ,过定点 2,0 ,不符合题意．
综上所述：直线AB过定点 -4,0 ．
2. (2023 届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为 x轴,y轴,且过A
(-2,0),B 1, 32 两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)F为椭圆C的右焦点,直线 l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为 k1,
k 32,k,若 k1+ k2=- ,证明：△FPQ的周长为定值,并求出定值.k
【解析】(1)由已知设椭圆C方程为：mx2+ny2= 1(m> 0,n> 0),
代入A -2,0 3 1 1 ,B 1, 2 ,得m= 4 ,n= 3 ,
2 y2
故椭圆C方程为 x4 + 3 = 1.
(2)设直线 l:y= kx+m,P x1,y1 ,Q x2,y2 ,
y= kx+m,由 4k
2+ 3 x2+ 8kmx+ 4m2- 12= 0 得,
3x2+ 4y2= 12
x + x = -8km 1 2 4k2+ 3 4m2- 12 ,Δ= 64k2m2- 4 4k2+ 3 4m2- 12 = 192k2- 48m2+ 144,x1 x2= 4k2+ 3
y
又 = 1 = kx1+m , = kxk 2+m1 x1+ 2 x
k2 ,
1+ 2 x2+ 2
故 + = kx1+m kxk k 2+m 2kx1x2+ 2k x1+ x2 +m x1+ x2 + 4m1 2 x1+ 2
+ x + 2 =2 x1x2+ 2 x1+ x2 + 4
= 8km
2- 24k- 16k2m- 8km2+ 16k2m+ 12m
4m2- 12- 16km+ 16k2+ 12
= 3m- 6k
m2- ,4km+ 4k2
由 k + k =- 31 2 ,得m2- 3km+ 2k2= 0,k
故 m- 2k m- k = 0 m= 2k或m= k,
①当m= 2k时,直线 l:y= kx+ 2k= k x+ 2 ,过定点A -2,0 ,与已知不符,舍去；
②当m= k时,直线 l:y= kx+ k= k x+ 1 ,过定点 -1,0 ,即直线 l过左焦点,
此时 Δ= 192k2- 48m2+ 144= 144k2+ 144> 0,符合题意.
所以△FPQ的周长为定值 4a= 8.
2 2
3. (2023 届重庆市南开中学校高三上学期 9 月月考) C: x y已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)
2
的离心率为 2 ,上a b
顶点为D,斜率为 k的直线 l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为 (2,1)
时,直线 l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当 l不过点D时,若直线DM与直线 l的斜率互为相反数,求 k的取值范围.
【解析】(1)由题意知,离心率 e= 22 ,所以 a= 2b= 2c,
x
2
1 + y
2
1
= 1
设A x ,y ,B x ,y , a
2 b2 b2 1
1 1 2 2 2 2 两式相减得 k kOM=- 2 =- 2 ,所以 k=-1； x y a
2 2
a2
+ 2 = 1b
2 2
所以直线为 y- 1=- (x- 2),即 y=-x+ 3,所以 b= yc= 3,椭圆方程为 x18 + 9 = 1；
(2)设直线为 y= + ,由 y= kx+mkx m 得 1+ 2k2x2+ 2y2= 18 x
2+ 4kmx+ 2m2- 18= 0,
则 xx = 1+ x2 = -2kmM 2 + 2 ,y
m 2 2 2 2
M= + 2 ,Δ= 16k m - 4 1+ 2k 2m - 18 = 8 18k
2-m2+ 9 > 0,
1 2k 1 2k
= yM- 3所以 k = 6k
2+ 3-m 2
DM x - 0 2km =-k,解得m=
6k + 3
- 2 ,1- 2k
2≠ 0,k≠± 2
M 1 2k 2
2
因为 l不过D点,则 6k + 3 ≠ 3,即 k≠ 0
1- 2k2
2+ - 6k
2+ 3 2
则 18k 9 - 2 2 > 0,化简得 4k
4- 4k2- 3> 0,
1 2k
解得 2k2- 3 2k2+ 1 > 0,k2> 3 2 ,
所以 k> 62 或 k<-
6
2 .
2 y2
4. (2023 届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A ,A x分别是椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的a b
左 右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A A,AB∥OP, FA = 2- 2.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线 l(与 x轴不重合)交C于M ,N两点,设直线AM ,AN的斜率分别为 k1,k2,求证：k1k2为
定值.
y
【解析】(1)因为PF⊥A A,故可设P -c,y0 ,因为AB∥OP,故 kAB∥ k ,即- b =- 0 ,解得 y = bcOP a c 0 a .
b2c2
2 2
又P -c, bca 在椭圆C上,故
c + a 2 22 2 = 1,解得 a = 2c = 2a2- 2b2,故 a= 2b= 2c.a b
又 FA = 2- 2,故 FA = a- c= 2- 1 c= 2- 2,故 c= 2,a= 2,b= 2.
x2 + y
2
故C的方程为 4 2 = 1.
2 2
(2) y因为椭圆方程为 x4 + 2 = 1,故F - 2,0 ,A 2,0 ,当 l斜率为 0 时A,M或A,N重合,不满足题意,
故可设 l：x= ty- 2.
x
2 y2
联立 4 + 2 = 1 可得 t2+ 2 y2- 2 2ty- 2= 0,设M x1,y1 ,N x2,y ,则 y + y =
2 2t
2 1 2 t2+ ,y2 1y2=x= ty- 2
- 22+ .t 2
y
故 k k = 1 y2 = y1y21 2 x1- 2 x2- 2 ty1- 2- 2 ty2- 2- 2
= y1y2 = 1
t2y1y2- 2+ 2 t y1+ y2 + 2+ 2 2 2- + y1+ y 2+ 2
2
t 2 2 t 2y +1y2 y1y2
= 1 2+ =
1 = 2- 3
2+ + 2- + 2× t 2 -2 3+ 2 2
2
t 2 2 2 t 2 2 2
故定值为 2- 32
2 2
5. ( y2023 届重庆市第一中学校高三上学期 9 月月考) x 1已知椭圆C: 2 +a b2 = 1(a> b> 0)经过点 3, 2 ,其
右焦点为F 3,0 .
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点P,Q 1在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为 20 .求△APQ面积的最大
值.
c= 3 a= 2
【解析】(1)依题可得, 3 1 2 + = 1
a 4b
2 ,解得 b= 1 , a2= b2+ c2 c= 3
2
所以椭圆C的方程为 x + y24 = 1.
所以离心率 e= 32 .
(2)易知直线AP与AQ的斜率同号,所以直线PQ不垂直于 x轴,
故可设PQ:y= kx+m,k≠ 0,P x1,y1 ,Q x2,y2 ,
x2
由 4 + y2= 1 可得, 1+ 4k2 x2+ 8mkx+ 4m2- 4= 0,y= kx+m
2
所以 x1+ x = -8mk2 + 2 ,x1x2=
4m - 4
1 4k 1+ 2 ,4k
Δ= 16 4k2+ 1-m2 > ,
y y
0 而 k k = 1AP AQ 20 ,即
1 2 1x =1- 2 x2- 2 20
,
化简可得 20 kx1+m kx2+m = x1- 2 x2- 2 ,
20k2x1x2+ 20km(x1+ x2) + 20m2= x1x2- 2(x1+ x2) + 4,
20k2 4m
2- 4 2
+ 2 + 20km
-8mk 2 4m - 4 -8mk
+ 2 + 20m = + 2 - 2× + 2 + 41 4k 1 4k 1 4k 1 4k
化简得 6k2+mk-m2= 0,
所以m=-2k或m= 3k,
所以直线PQ:y= k x- 2 或 y= k x+ 3 ,
因为直线PQ不经过点A,
所以直线PQ经过定点 -3,0 .
设定点B -3,0 ,S 1 5△APQ= S△ABP-S△ABQ = 2 AB y1- y2 = 2 k x1- x2
= 52 k (x1+ x2)
2- 4x1x2
= 5 -8km
2 4m2 k - 4× - 42 1+ 4k2 1+ 4k2
= 5 k 16 4k
2+ 1-m2 = 10 1- 5k
2 k2
2 + 2 + ,1 4k 1 4k2
因为 1- 5k2> 0,所以 0< k2< 15 ,
设 t= 4k2+ 1∈ 1, 95 ,
5 -5t2所以S = + 14t- 9 5 1 7
2 4 5
△APQ 2 t2
= 2 -9 t - 9 + 9 ≤ 3 ,
当且仅当 t= 9 2 17 即 k = 14 时取等号,即△APQ面积的最大值为
5
3 .
6. (2023 届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C:x2- y2= 1和点B 0,1 .
(1)斜率为 k且过原点的直线与双曲线C交于E,F两点,求∠EBF最小时 k的值.
(2)过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点,若曲线C上存在定点A,使 kAP+ kAQ为定值 λ,求点A的
坐标及实数 λ的值.
【解析】(1)由对称性可设E x,y ,F -x,-y ,

则BE BF = x,y- 1 -x,-y- 1 =-x2- y2+ 1,
因为E点在双曲线C上,所以 x2- y2= 1,即 y2= x2- 1,且 x ≥ 1

所以BE BF = 2 1- x2 ≤ 0,

当 x = 1 时,BE BF = 0,∠EBF为直角,

当 x > 1 时,BE BF< 0,∠EBF为钝角,
所以∠EBF最小时, x = 1,k= 0.
(2)设A m,n ,由题意知动直线一定有斜率,设点B的动直线为 y= tx+ 1,
设P x1,y1 ,Q x2,y2
x2- y2= 1,
联立 = + , 得 1- t
2 x2- 2tx- 2= 0,,y tx 1
1- t
2≠ 0,
Δ= 4t2 + 8 1- t
2 > 0,
所以 x + x = 2t1 2 , ,解得 t
2< 2 且 t2≠ 1,
1- t2
x
2
1x2=- ,1- t2
+ = , y1-n yk 2-nAP kAQ λ 即 x -m + x -m = λ,1 2
即 tx1+ 1-n tx2+ 1-nx -m + x -m = λ,1 2
化简得 2t- λ x1x2+ -mt+ 1-n+ λm x1+ x2 - 2m+ 2mn- λm2= 0,
2t- λ -2 - 2 + -mt+ 1-n+ λm
2t
- 2 - 2m+ 2mn- λm
2= 0,
1 t 1 t
化简得 λm2- 2mn t2+ 2 λm-n- 1 t+ 2λ- 2m+ 2mn- λm2= 0,
由于上式对无穷多个不同的实数 t都成立,
2
λm - 2mn= 0,①所以 λm-n- 1= 0,2λ- 2m+ 2mn- λm2= 0,②
m3= 2mn,
将①代入②得 λ=m,从而 m2=n+ 1.
如果m= 0 时,那么n=-1,此时A 0,-1 不在双曲线C上,舍去,
因此m≠ 0,从而m2= 2n,代入m2=n+ 1,解得n= 1,m=± 2,
此时A ± 2,1 在双曲线上,
综上,A 2,1 ,λ= 2,或者A - 2,1 ,λ=- 2.
y2
7. (2023 届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试)已知A1、A2为椭圆C：x2+ 3 = 1的左右顶点,直线 x
= x0与C交于A、B两点,直线A1A和直线A2B交于点P.
(1)求点P的轨迹方程.
(2) 1直线 l与点P的轨迹交于M、N两点,直线NA1的斜率与直线MA2斜率之比为- 3 ,求证以MN为直
径的圆一定过C的左顶点.
【解析】(1)由题意得A1 -1,0 ,A2 1,0 ,
设A x0,y0 ,B x0,-y0 y0≠ 0 ,P x,y ,
则 kPA = kAA ,kPA = k1 1 2 BA ,2
y = y0 , y = -y
2 2
即 0 , y = -y得 0x+ 1 x + 1 x- 1 x 2 2 ,0 0- 1 x - 1 x0- 1
2 2
又∵点 x0, , 2- =-
y0 , yy0 在C上 即 x0 1 3 得 2- = 3,x 1
y2∴ x2- 3 = 1 y≠ 0 ；
(2) ∵ k 1NA =- 3 k1 NA ,2
设直线NA1方程为 x=-3my- 1， m≠ 0 ,则MA2方程为 x=my+ 1,
x=-3my- 1联立 y2 ,得 27m2- 1 y2+ 18my= 0(27m2- 1≠ 0 且 Δ> 0),x2- 3 = 1
设N x ,y ,得 x = 54m
2
- 1,y = -18m N N N 27m2- 1 N 27m2- ,1
同理设M x ,y ,得 x = -6m
2 -6m
M M M 3m2- + 1,y =1 M 3m2- ,1
= yM -6m yk N -18m 1MA1 x + 1 = -6m2+ = 3m,kNA = = =-M 2 3m2- 1 1 xN+ 1 54m2 3m
,
∴ kMA kNA =-1,即MA1⊥NA1 1 1,
∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点.
2 2
8. ( y2023 届安徽省皖南八校高三上学期考试) M : x已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左 右焦点为F1,F2,且a b
左焦点坐标为 - 2,0 ,P为椭圆上的一个动点,∠F1PF π2的最大值为 2 .
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若过点 -2,-4 的直线 l与椭圆M交于A,B两点,点N 2,0 ,记直线NA的斜率为 k1,直线NB的斜
率为 k2, 1证明： + 1 = 1.k1 k2
【解析】(1)因为左焦点坐标为 - 2,0 ,所以 c= 2,
当点P在上 下顶点时,∠F1PF2最大,又∠F1PF2的最大值为 π2 .
所以 b= c= 2,
由 a2= b2+ c2得 a2= 4,
2 y2
所以椭圆M的标准方程为 x4 + 2 = 1；
(2)当直线 l的斜率为 0 时,直线 l的方程为 y=-4,
2 2
直线 y=-4 与椭圆 x y4 + 2 = 1 没有交点,与条件矛盾,
故可设直线 l的方程为 x=my+ t,
x=my+ t
联立直线 l的方程与椭圆方程可得, x2 y2 ,4 + 2 = 1
化简可得 my+ t 2+ 2y2= 4,
所以 m2+ 2 y2+ 2mtx+ t2- 4= 0,
由已知方程 m2+ 2 y2+ 2mtx+ t2- 4= 0 的判别式 Δ= 4m2t2- 4 m2+ 2 t2- 4 = 16m2- 8t2+ 32> 0,
又直线 x=my+ t过点 -2,-4 ,所以-2=-4m+ t,
所以 7m2- 8m< 0,所以 0设A x1,y1 ,B x2,y2 ,
2
则 y + y =- 2mt ,y y = t - 41 2 m2+ 2 1 2 ,m2+ 2
因为N 2,0
所以 1 + 1 = x1- 2 + x2- 2 = my1+ t- 2 + my2+ t- 2 y1+ y2
k k y y y y
= 2m+ t- 2 ,
1 2 1 2 1 2 y1y2
所以 1 + 1 = 2m+ t- 2 -2mt 2- = 2m-
2mt = 2m- 2mtt+ 2 4m = 2m-
t
2 = 1k1 k2 t 4
方法二：设直线 l的方程为m x- 2 +ny= 1,A x1,y1 ,B x2,y2 ,
由椭圆M的方程 x2+ 2y2= 4,得 (x- 2)2+ 2y2=-4 x- 2 .
联立直线 l的方程与椭圆方程,得 (x- 2)2+ 2y2=-4 x- 2 m x- 2 +ny ,
即 1+ 4m (x- 2)2+ 4n x- 2 y+ 2y2= 0,
1+ 4m x- 2
2
y + 4n x- 2y + 2= 0,
所以 1 + 1 = x1- 2 + x2- 2y y =-
4n
k1 k2 1 2 1+ 4m
.
因为直线 l过定点 -2,-4 ,所以m+n=- 1 1 14 ,代入 + ,k1 k2
得 1 + 1 = x1- 2 x2- 2 4n 1+ 4my + y =- 1+ 4m = 1+ 4m = 1.k1 k2 1 2
2 2
9. (2022 届河北省石家庄高三上学期 11 月月考) x已知椭圆 Γ: 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为Fa b 1,
F2,椭圆Γ 2的离心率为 2 ,椭圆Γ上的一点P满足PF2⊥ x轴,且 PF2 = 1．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)已知点A为椭圆Γ的左顶点,若点B,C为椭圆Γ上异于点A的动点,设直线AB,AC的斜率分别为
kAB kAC,且 kAB kAC= 1,过原点O作直线BC的垂线,垂足为点D,问：是否存在定点E,使得线段DE的
长为定值？若存在,求出定点E的坐标及线段DE的长；若不存在,请说明理由．
2
【解析】(1)由椭圆 Γ 上的一点P满足PF2⊥ x轴,且 PF = 1,可得 b = 1,即 b22 a = a,
又由椭圆 Γ 的离心率为 22 ,可得
c
a =
2
2 ,即 a= 2c,
因为 a2- b2= c2,联立方程组,可得 a= 2,b= 2,
x2 y2所以椭圆 Γ 的标准方程为 4 + 2 = 1.
2 2
( y2)由椭圆 Γ: x4 + 2 = 1,可得A(-2,0),
设直线BC的方程为 y=mx+n(n≠ 2m),则B(x1,mx1+n),C(x2,mx2+n),
y=mx+n联立方程组 x2 y2 ,整理得 (2m2+ 1)x2+ 4mnx+ 2n2- 4= 0,4 + 2 = 1
2
则 Δ= 8(4m2-n2+ 2)> 0,x + x = 4mn 2n - 41 2 2m2+ ,x x = ,1 1 2 2m2+ 1
= , (mx1+n) (mx2+n)由 kAB kAC 1 可得 (x1+ 2) (x2+ 2)
= 1,
即 (m2- 1)x1x2+ (mn- 2) (x1+ x2) +n2- 4= 0,
可得 (m2- 1) (2n2- 4) + (mn- 2) (-4mn) + (n2- 4) (2m2+ 1) = 0,
整理得 12m2- 8mn+n2= 0,所以 (6m-n) (2m-n) = 0,所以n= 6m或n= 2m(舍去),
所以直线BC的方程为 y=mx+ 6m,即 y=m(x+ 6),
当 x=-6 时,y= 0,可得直线BC过定点F -6,0 ,
因为OD⊥BC,所以点D在以OF为直径的圆上,
所以当点E为线段OF的中点时,线段DE的长为定值,此时线段DE的长为 3,点E 3,0 .
2 y2
10.(2022 届八省八校 (T8 联考)高三上学期联考) x设椭圆 E: 2 + 2 = 1(a> b> 0),圆C :(x- 2m)2+ (y-a b
4m)2= 1(m≠ 0),点F1,F2,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为 l．已
E 1知 的离心率为 2 ,点F1,F2关于直线 l的对称点都在圆C上．
(1)求椭圆E的方程；
(2) 2设直线 l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为 3 ？若存
在,求实数m的值；若不存在,说明理由．
【解析】(1)由已知,e= c 1a = 2 ,则 a= 2c
设点F1,F2关于直线 l的对称点分别为M ,N ,因为点O,C关于直线 l对称,O为线段F1F2的中点,则C为线
段MN的中点,从而线段MN为圆C的一条直径,所以 F1F2 = |MN | = 2,即 2c= 2,即 c= 1．
2 2
于是 a= 2,b2= a2- c2= 3, y所以椭圆E的方程是 x4 + 3 = 1．
(2)因为原点O为线段F1F2的中点,圆心C为线段MN的中点,直线 l为线段OC的垂直平分线,
所以点O与C也关于直线 l对称,
因为点C(2m,4m),则线段OC的中点为 (m,2m),直线OC的斜率为 2,又直线 l为线段OC的垂直平分
线,
所以直线 l的方程为 y- 2m=- 12 (x-m),即 y=-
1 5m
2 x+ 2 ．
1 5m x2 y2 2将 y=- 2 x+ 2 代入 4 + 3 = 1,得 3x
2+ 4 - x + 5m = 12,即 4x22 2 - 10mx+ 25m
2- 12= 0．
2
设点A x1,y1 ,B x2,y2 ,则 x1+ x2= 5m2 ,x1x2=
25m - 12
4 ．
所以 k + = y1- 4mk + y2- 4m =- 1 x1+ 3m x2+ 3mAC BC x1- 2m x2- 2m 2 x1- 2m + x2- 2m
=- x1+ 3m x2- 2m + x2+ 3m x1- 2m
2 x1- 2m x2- 2m
=- 2x1x2+m x1+ x2 - 12m
2
．
2x1x2- 4m x1+ x 22 + 8m
2x x +m x + x - 12m2
由已知, + = 2 ,则 1 2 k 1 2 2 2AC kBC 3 2x1x2-
+ = 0,得 2x x -m x + x - 4m = 0．
4m 1 2 1 2 x 21+ x2 + 8m 3
所以 25m
2- 12 - 5m
2
2 2 - 4m
2= 0,即m2= 1,即m=±1．
因为直线 l与椭圆E相交,则 Δ= 100m2- 16 25m2- 12 > 0,解得m2< 16 25 ,即 |m| <
4
5 ．
因为 45 < 1,所以不存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为
2
3 ．
2 2
11. ( y2022 届上海市嘉定区高三一模) x在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 Γ： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左、a b
5
右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆Γ过点 0, 5 、 2, 3 ,过点F的直线 l与椭圆Γ交于P、Q两点
(点P在 x轴的上方).
(1)求椭圆Γ的标准方程；

(2)若PF + 2QF = 0,求点P的坐标；
(3)设直线AP、BQ的斜率分别为 k1、k2,是否存在常数 λ,使得 k1+ λk2= 0 若存在,请求出 λ的值；若不
存在,请说明理由.
b= 5
【解析】( )因为椭圆 a= 31 Γ 过点 0, 5 、 2, 53 ,则有 4 25 ,解得 ,a2 + 9b2 = 1 b= 5
x2 + y
2
所以椭圆 Γ 的标准方程为 9 5 = 1.
(2)设P x1,y1 y1> 0 ,Q x2,y2 . 由 (1)知,F 2,0 .

因为PF + 2QF = 0,则有 2- x1,-y1 + 2 2- x2,-y2 = 0,0 ,
即 6- x1- 2x2,-y1- 2y2 = 0,0 ,
6- x1
6- x1- 2x = 0, x2= ,所以 2 2 -y1- = 解得 2y2 0, y2=- y12 ,
即 6- xQ 12 ,-
y1
2 .
2 y2
分别将P、Q两点的坐标代入 x9 + 5 = 1 得
2 x1 + y
2
1 3 3
9 5 = 1, x1= 4 , x1= 4 ,
2 2
6- x12 -
y1 解得
2 5 3 (舍)或 y =- y = 5 3 + 1 4 1 4 .9 5 = 1,
所以所求点P的坐标为 3 , 5 34 4 .
(3)设存在常数 λ,使得 k1+ λk2= 0. 由题意可设直线 l的方程为 x=my+ 2,点P x1,y1 ,Q x2,y2 ,则-λ=
y1
k1 = x1+ 3 y1 x2- 3
k2 y
= .
2 y2 x1+ 3
x2- 3
x2 y2 22 + 2 = , y2 =- 5 , y2 =- 5 x + 3又因为 1 即 2 9 5 x22- 9 9
即 x2- 3 9y
,
2
- = -9y y所以 λ 1 2 = -9y1y2
5 x1+ 3 x2+ 3 5 my1+ 5 my2+ 5
- = -9y1y即 λ 2
5 m2
(*)
y1y2+ 5m y1+ y2 + 25
x=my+ 2,又由 x2 y2 得 5m2+ 9 y2+ 20my- 25= 0,△= 900 m2+ 1 > 0,9 + 5 = 1,
且 y 20m 251+ y2=- 2+ ,y1y2=- 2+ . 代入 (*)得5m 9 5m 9
-9 - 25
-λ= 5m
2+ 9 = 1
5 m2 - 25 20m
5
5m2+ + 5m -9 5m2+ + 259
即 λ=- 15 ,
所以存在常数 λ=- 15 ,使得 k1+ λk2= 0.
2 2
12.( y2022 届海南省海口市高三上学期考试) C: x已知双曲线 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的虚轴长为 4,直线 2x-a b
y= 0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线 l交双曲线C于点M ,N (点M在第一象限),
k
记直线MA斜率为 k1,直线NB斜率为 k ,求证： 12 为定值．k2
【解析】(1) ∵虚轴长为 4,∴ 2b= 4,即 b= 2,
∵直线 2x- y= 0 为双曲线C的一条渐近线,
∴ ba = 2,∴ a= 1,
y2
故双曲线C的标准方程为 x2- 4 = 1．
(2)由题意知,A(-1,0),B(1,0),
由题可知,直线 l斜率不能为零,故可设直线 l的方程为 x=ny+ 2,
设M (x1,y1)N (x2,y2),
2
联立 yx2- 4 = 1 ,得 (4n2- 1)y2+ 16ny+ 12= 0,x=ny+ 2
∴ y1+ y2=- 16n 124n2- ,y1y2= ,1 4n2- 1
∴ny1y2=- 34 (y1+ y2),
∵ y y直线MA的斜率 k1= 1 2x1+ 1
,直线NB的斜率 k2= x ,2- 1
y1 3
∴ k1 = x1+ 1 = y1(ny2+ 1) = ny1y
- (y1+ y2) + y1
2+ y1 4 1
k2 y2 y2(ny1+ 3) ny1y + 3y
= =- ,为定值．
2 2 - 3- 4 (y1+ y2) + 3y
3
x 22 1
2 2
13.(2023 届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研)已知椭圆C: x y5 + 4 = 1的上下顶点分别为A，B,过
点P 0，3 且斜率为 k(k< 0)的直线与椭圆C自上而下交于M，N两点,直线BM与AN交于点G.
(1)设AN，BN的斜率分别为 k1，k2,求 k1 k2的值;
(2)求证：点G在定直线上.
【解析】(1)设M (x1,y1),N (x2,y2),A 0,2 ,B 0,-2 ,
2
= y2+ 2 y2- 2 = y2- 4k1 k2 x 2 ,2 x2 x2
x22 + y
2 2
又 25 4 = 1 所以 y
2
2= - x4 1 25 ,
x2
4 1- 25 - 4
所以 k1 k2= 2 =-
4
x2 5
.
(2)设PM :y= kx+ 3 联立 4x2+ 5y2= 20,
得到 (4+ 5k2)x2+ 30kx+ 25= 0,
∴ x + x = -30k x x = 251 2 + 2 1 2 + 2 ,4 5k 4 5k
Δ= 900k2- 100(4+ 5k2) = 400(k2- 1)> 0,
y + 2
直线 MB:y= 1x x- 2,1
: = y2- 2直线NA y x x+ 2,2
联立得: y+ 2 = x2(y1+ 2)y- 2 (y2-
,
2)x1
y+ 2 2
法一： =- 5 y2+ 2 y1+ 2 =- 5 k x1x2+ 5k(x1+ x2) + 25y- 2 4 x2 x1 4 x1x
=-5,
2
解得 y= 43 .
法二：由韦达定理得 x1+ x2 6x x =- 5 k,1 2
y+ 2 x (kx + 5) kx x + 5x -
5
6 (x1+ x2) + 5x2∴ = 2 1y- 2 + x =
1 2 2 =-5.
kx2 1 1 kx1x2+ x1 - 56 (x1+ x2) + x1
解得 y= 43 ,
所以点G在定直线 y= 43 上.
14.(2023 届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考)已知A(-2 2,0),B(2 2,0),直线PA,PB的斜率之积为
- 34 ,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2) 3直线 l与曲线C交于M ,N两点,O为坐标原点,若直线OM ,ON的斜率之积为- 4 , 证明: △MON的
面积为定值.
y y
【解析】(1)设P(x,y),则直线PA的斜率 kPA= (x≠-2 2),直线PB的斜率 k = (x≠x+ 2 2 PB x- 2 2
), = y y y
2
2 2 由题意 kPA kPB = =- 3 ,x+ 2 2 x- 2 2 x2- 8 4
2 y2
化简得 x8 + 6 = 1(x≠±2 2)；
(2)直线 l的斜率存在时,可设其方程为 y= kx+m,
y= kx+m,联立 x2 y2 化简得 3+ 4k2 x2+ 8kmx+ 4m2- 24= 0,8 + 6 = 1,
设M x1,y1 ,N x2,y2 ,
则 Δ= (8km)2- 4 3+ 4k2 4m2- 24 = 48 8k2+ 6-m2 > 0,
2
x + x =- 8km ,x x = 4m - 241 2 3+ 4k2 1 2 3+ 4k2 ,
= y1y2 = kx1+m kx2+m k
2x1x2+ km x1+ x2 +m2所以 kOM kON x1x2 x
=
1x2 x1x
=
2
4m2k2- 24k2- 8k2m2+ 3m2+ 4k2m2
3+ 4k2
4m2- 24
3+ 4k2
= -24k
2+ 3m2 =- 3
4m2- 24 4
化简得m2= 4k2+ 3
1+ k2 48 8k2| | = + 2 - = + 6-m
2
则 MN 1 k x1 x2 + ==3 4k2
4 3 1+ k2 4k2+ 3 = 4 3 1+ k
2
2+ ,4k 3 3+ 4k2
|m| 2
又O到MN的距离 d= = 4k + 3 ,
1+ k2 1+ k2
所以S = 1 |MN | d= 1 4 3 1+ k
2
3+ 4k
2
△OMN 2 2 = 2 3,为定值.3+ 4k2 1+ k2
当直线 l的斜率不存在时,可设 M x0,y0 ,N x0,-y0 ,
=- y
2 2 2
则 k k 0 3CM ON 2 =- 4 ,
x0 + y且 08 6 = 1,解得 x
2
0= 4,y20= 3,此时S△OMN= 2× 12 × x0y0 = 2 3,x0
综上,△OMN的面积为定值 2 3.
2 y2
15.(2023 届浙江省新高考研究高三上学期 8 月测试) x已知椭圆 C： 2 + 2 = 1(a> 0,b> 0)的右焦点为a b
F 1 2,0 ,离心率为 2 ,△ABC为椭圆C的任意内接三角形,点D为△ABC的外心.
(1)求C的方程；
(2)记直线AB BC CA OD的斜率分别为 k1 k2 k3 k4,且斜率均存在.求证：4k1k2k3k4= 3.
x2 2【解析】(1) y由椭圆C: 2 + 2 = 1(a> 0,b> 0)的右焦点为F 2,0 ,a b
离心率为 ca =
1
2 得 a= 4,c= 2. 所以 b= 16- 4= 2 3.
2 y2
所以椭圆C的方程为 x16 + 12 = 1.
( y - y2)证明：设A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ,D x4,y4 ,则 k1= 2 1x2- x
,k2
1
= y2- y3 y3- y1 y4x2- x
,k3= x - x ,k4= x .3 3 1 4
设△ABC的外接圆方程为 x2+ y2- 2x4x- 2y4y+F= 0,
得 x21+ y21- 2x4x1- 2y4y1+F= 0,x22+ y22- 2x4x2- 2y4y2+F= 0,
两式相减得 x22- x21+ y22- y21= 2x4 x2- x1 + 2y4 y2- y1 ,
因为 y2- y22 1=- 3 2 24 x2- x1 ,所以
1
4 x2+ x1 = 2x4+ 2y4k1,
同理：14 x2+ x3 = 2x4+ 2y4k2.
两式相减得： = x3- x2y 14 ,于是：
x + x x - x
2x = 2 14 - 3 1 k4 1 k2- k1 4 4 k2- k1
x3- x1
= y4 = 4 k - k所以 k 2 1 x3- x14 x4 x2+ x
=
1 - x3- x1 k x2+ x1 k2- x3+ x2 k14 4 k - k 12 1
= y2- y1 , = y2- y3 x - x x - x x - x将 k1 x - x k2 x 代入 k4得： =

k 3 1
3 2 2 1
4 2
2 1 2- x3 x2- x21 y 23- y2 - x3- x22 y2- y1
因为 x2- x2=- 4 y2- y2 ，x2- x2=- 4 y2- y22 1 3 2 1 3 2 3 3 2
3 x
所以 k = 3- x2 x2- x1 x3- x1 4 4 y3- y2 y2- y1 y3- y1
所以 4k1k2k3k4= 3 得证.圆锥曲线中的斜率问题
一、考情分析
斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜
率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.
二、解题秘籍
(一)利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点A,B,C共线,通常是利用 kAB= kAC.
y2
【例1】(2023届广东省部分学校高三上学期联考)设直线 x=m与双曲线C：x2- 3 =m(m> 0)的两条渐近
线分别交于A,B两点,且三角形OAB的面积为 3.
(1)求m的值；
(2)已知直线 l与 x轴不垂直且斜率不为 0,l与C交于两个不同的点M ,N ,M关于 x轴的对称点为M ,F
为C的右焦点,若M ,F,N三点共线,证明：直线 l经过 x轴上的一个定点.
2 y2
【例2】(2022届北京市一六一中学高三上学期期中) W : x已知椭圆 4 + 3 = 1的左 右顶点分别为A,B,右焦
点为F,直线 l1:x= 4.
(1)若椭圆W的左顶点A关于直线 x+my- 4= 0的对称点在直线 l1上,求m的值；
(2)过F的直线 l2与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合),直线CB与直线 l1相交于点M ,求
证：A,D,M三点共线.
(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
1. P m,n C : x
2 2
设点 是椭圆 2 +
y
2 = 1(a> b> 0)上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若 ka b PA+
2 2
kPB= λ,则 λ= 0时直线AB bm斜率为定值 2 n≠ 0 ,若 λ≠ 0,
2n
则直线AB过定点 m- ,-n- 2b m2 ,an λ a λ
2 y2
2. x设点P m,n 是双曲线C : 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若a b
bm2k PA + k PB = λ , 则 λ = 0 时直线 AB 斜率为定值- n≠ 0 , 若 λ ≠ 0 , 则直线 AB 过定点an2
m- 2n 2b
2
,-n+ m
λ a2λ ；
3. 设点P m,n 是抛物线C：y2= 2px p> 0 一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若 kPA+ kPB
= , p 2pλ 则 λ= 0时直线AB斜率为定值- n n≠ 0 ,若 λ≠ 0,
2n
则直线AB过定点 m- ,-n+ ；λ λ
【例3】(2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断)若点P在直线 y= t上,证明直线PA,PB关于 y= t
对称,或证明直线 y= t平分∠APB,可证明 kPA+ kPB= 0.
x2 y2
已知椭圆C： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左、右焦点分别为F1,F2,点M 0,2 是椭圆C的一个顶点,△Fa b 1MF2
是等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线MA,MB的斜率分别为 k1,k2,且 k1+ k2=
8,证明：直线AB过定点．
2 2
【例4】(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研)已知点A(2, y1) x在双曲线C : 2 - 2- = 1(aa a 1
> 1)上,直线 l交C于P，Q 两点,直线AP，AQ 的斜率之和为 0.
(1)求 l的斜率;
(2)若 tan∠PAQ= 2 2,求△PAQ的面积.
【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线E:y2= 2px(p> 0)的焦点为F,其中P为E的准线
9
上一点,O是坐标原点,且OF OP=- 4 .
(1)求抛物线E的方程；
(2)过Q 1,0 的动直线与E交于C,D两点,问：在 x轴上是否存在定点M t,0 t≠ 0 ,使得 x轴平分
∠CMD 若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
(三)根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
2 y2
1. 若点A,B是椭圆C x： 2 + 2 = 1 a> b> 0 上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的a b
2 2 2
点,则 kPA
y
kPB=- b x2 ；若点A,B是双曲线C： 2 - 2 = 1 a> 0,b> 0 上关于原点对称的两点,点P是a a b
2
双曲线C上与A,B不重合的点,则 kPA k bPB= a2 .
2. 若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若 kPA kPB为定值,则直线AB过定
点.
2 y2
【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中) x在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆C : 4 + 3 = 1的左、右
顶点和右焦点分别为A、B和 F,直线 l:x=my+ t与椭圆C交于不同的两点M、N ,记直线AM、BM ,
BN的斜率分别为 k1、k2、k3.
(1)求证：k1k2为定值；
(2)若 k1= 3k3,求△FMN的周长.
2 2
【例7】( y2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试)点P(4,3) x在双曲线C : 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)a b
上,离心率 e= 72 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)A,B 3是双曲线C上的两个动点 (异于点P),k1,k2分别表示直线PA,PB的斜率,满足 k1k2= 2 ,求证：直
线AB恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
1. 判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值
得到定值.
2. 求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知
条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
2 2
【例8】( y2022届山东省学情高三上学期 12月质量检测) C : x已知椭圆 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左右焦点分别a b
为F1(-1，0),F2(1，0).过F 3 22与 x轴垂直的直线与椭圆C交于点D,点D在 x轴上方,且 DF1 = 2 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F2的直线 l与椭圆C交于A,B两点,是否存在一定点M使得 kMA+ kMB为定值,若存在,求出点M
的坐标,若不存在,请说明理由.
【例9】(2022届广东省高三上学期 12月大联考)已知圆 (x+ 1)2+ y2= 16的圆心为A,点P是圆A上的动点,
点B是抛物线 y2= 4x的焦点,点G在线段AP上,且满足 GP = GB .
(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)不过原点的直线 l与 (1)中轨迹E交于M ,N两点,若线段MN的中点Q在抛物线 y2= 4x上,求直线 l
的斜率 k的取值范围.
三、跟踪检测
2 2
1. ( y2023届山西省长治市高三上学期 9月质量检测)已知点P 1, 3 x2 在椭圆C： 2 + 2 = 1(a> b> 0)上,a b
13
且点P到椭圆右顶点M的距离为 2 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点A,B 1是椭圆C上不同的两点 (均异于M )且满足直线MA与MB斜率之积为 4 ．试判断直线AB
是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．
2. (2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知椭圆C的中心为坐标原点,对称轴为 x轴,y轴,且过A
(-2,0),B 1, 32 两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)F为椭圆C的右焦点,直线 l交椭圆C于P,Q(不与点A重合)两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为 k1,
k2,k,若 k1+ k2=- 3 ,证明：△FPQ的周长为定值,并求出定值.k
2
( y
2
3. 2023届重庆市南开中学校高三上学期 9月月考) x已知椭圆C: 2 + 2 = 1(a> b> 0)
2
的离心率为
a b 2
,上
顶点为D,斜率为 k的直线 l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为 (2,1)
时,直线 l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当 l不过点D时,若直线DM与直线 l的斜率互为相反数,求 k的取值范围.
2 2
4. ( y2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测)已知A ,A x分别是椭圆C : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的a b
左 右顶点,B,F分别是C的上顶点和左焦点.点P在C上,满足PF⊥A A,AB∥OP, FA = 2- 2.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线 l(与 x轴不重合)交C于M ,N两点,设直线AM ,AN的斜率分别为 k1,k2,求证：k1k2为
定值.
2 y2
5. (2023届重庆市第一中学校高三上学期 9月月考)已知椭圆C: x 1
a2
+ 2 = 1(a> b> 0)经过点 3, 2 ,其b
右焦点为F 3,0 .
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点P,Q在椭圆C上, 1右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为 20 .求△APQ面积的最大
值.
6. (2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考)已知双曲线C:x2- y2= 1和点B 0,1 .
(1)斜率为 k且过原点的直线与双曲线C交于E,F两点,求∠EBF最小时 k的值.
(2)过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点,若曲线C上存在定点A,使 kAP+ kAQ为定值 λ,求点A的
坐标及实数 λ的值.
2
7. ( y2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试)已知A1、A2为椭圆C：x2+ 3 = 1的左右顶点,直线 x
= x0与C交于A、B两点,直线A1A和直线A2B交于点P.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)直线 l与点P的轨迹交于M、N 1两点,直线NA1的斜率与直线MA2斜率之比为- 3 ,求证以MN为直
径的圆一定过C的左顶点.
2 2
8. ( y2023届安徽省皖南八校高三上学期考试) x已知椭圆M : 2 + 2 = 1(a> b> 0)的左 右焦点为F1,F2,且a b
左焦点坐标为 - 2,0 ,P π为椭圆上的一个动点,∠F1PF2的最大值为 2 .
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若过点 -2,-4 的直线 l与椭圆M交于A,B两点,点N 2,0 ,记直线NA的斜率为 k1,直线NB的斜
k , 1 1率为 2 证明： + = 1.k1 k2
2
( y
2
9. 2022届河北省石家庄高三上学期 11月月考)已知椭圆 Γ: x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1,a b
F2,椭圆Γ 2的离心率为 2 ,椭圆Γ上的一点P满足PF2⊥ x轴,且 PF2 = 1．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)已知点A为椭圆Γ的左顶点,若点B,C为椭圆Γ上异于点A的动点,设直线AB,AC的斜率分别为
kAB kAC,且 kAB kAC= 1,过原点O作直线BC的垂线,垂足为点D,问：是否存在定点E,使得线段DE的
长为定值？若存在,求出定点E的坐标及线段DE的长；若不存在,请说明理由．
2 2
10.(2022届八省八校 (T8联考) y高三上学期联考)设椭圆 E: x2 + 2 = 1(a> b> 0),圆C :(x- 2m)2+ (y-a b
4m)2= 1(m≠ 0),点F1,F2,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为 l．已
知E 1的离心率为 2 ,点F1,F2关于直线 l的对称点都在圆C上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线 l 2与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为 3 ？若存
在,求实数m的值；若不存在,说明理由．
2 2
11. ( y2022届上海市嘉定区高三一模) x在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 Γ： 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左、a b
右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆Γ过点 0, 5 、 2, 53 ,过点F的直线 l与椭圆Γ交于P、Q两点
(点P在 x轴的上方).
(1)求椭圆Γ的标准方程；

(2)若PF + 2QF = 0,求点P的坐标；
(3)设直线AP、BQ的斜率分别为 k1、k2,是否存在常数 λ,使得 k1+ λk2= 0 若存在,请求出 λ的值；若不
存在,请说明理由.
2 2
12.( y2022届海南省海口市高三上学期考试) x已知双曲线C: 2 - 2 = 1(a> 0,b> 0)的虚轴长为 4,直线 2x-a b
y= 0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线 l交双曲线C于点M ,N (点M在第一象限),
k
记直线MA斜率为 k1,直线NB斜率为 k2,求证： 1 为定值．k2
2 2
13.( y2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研) x已知椭圆C: 5 + 4 = 1的上下顶点分别为A，B,过
点P 0，3 且斜率为 k(k< 0)的直线与椭圆C自上而下交于M，N两点,直线BM与AN交于点G.
(1)设AN，BN的斜率分别为 k1，k2,求 k1 k2的值;
(2)求证：点G在定直线上.
14.(2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考)已知A(-2 2,0),B(2 2,0),直线PA,PB的斜率之积为
- 34 ,记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)直线 l与曲线C交于M ,N两点,O 3为坐标原点,若直线OM ,ON的斜率之积为- 4 , 证明: △MON的
面积为定值.
2 2
15.( y2023届浙江省新高考研究高三上学期 8月测试) x已知椭圆 C： +
a2 b2
= 1(a> 0,b> 0)的右焦点为
F 1 2,0 ,离心率为 2 ,△ABC为椭圆C的任意内接三角形,点D为△ABC的外心.
(1)求C的方程；
(2)记直线AB BC CA OD的斜率分别为 k1 k2 k3 k4,且斜率均存在.求证：4k1k2k3k4= 3.

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