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题型一 数学通用基础
（集合与常用逻辑用语、不等式、复数）
——2023届高考数学高频题型专项讲解
一、思路分析
集合、复数是高考的必考内容，一般出现在选择题的前三题中，试题较为简单，属于送分题，集合主要考查集合的基本运算，常结合不等式进行考查，复数主要考查复数的概念和复数的四则运算.
常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全（特）称命题的否定，难度中等偏易，以选择题和填空题为主.
不等式是高考的热点，主要命题点有：（1）不等式的性质及应用，常将不等式与函数相结合，注意不等式的等价变形；（2）不等式的解法，常与集合的基本运算相结合；（3）一元二次不等式的恒成立问题，常与函数相结合；（4）利用基本不等式求最值、证明不等式及实际应用等，常与函数综合命题. 不等式一般以选择题和填空题的形式出现，在解答题中也有出现，如求函数的单调区间、极值、最值时需要解不等式.
二、考纲要求
1.集合
（1）了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能用符号语言刻画集合.
（2）了解全集与空集的含义，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
（3）理解并集与交集的含义，能求集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，掌握集合间的混合运算.
（4）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.
2.常用逻辑用语
（1）理解必要条件、充分条件、充要条件的意义，掌握性质定理与必要条件的关系，判定定理与充分条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.
（2）理解全称量词与存在量词的意义，能正确对全称量词与存在量词进行否定.
3.不等式
（1）理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
（2）了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
（3）掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题.
4.复数
（1）理解复数的概念，掌握复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
（2）掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
三、方法技巧
1.根据两集合的关系求参数的方法
（1）若集合中元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；
（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.
2.判断集合之间关系的方法
（1）列举法：根据题中限定条件把集合中元素表示出来，然后比较集合中元素的异同，从而找出集合之间的关系.
（2）结构法：从集合中元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断.
（3）数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系.
3.求解集合的基本运算问题的步骤
（1）确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件.
（2）化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清晰表示出来.
（3）运算求解：利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应用数轴或 Venn 图直观求解.
4.判断充分条件和必要条件的方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合.
（2）等价法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
（3）集合法：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若，则A是B的充要条件.
5.全（特）称命题的否定步骤
（1）改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
（2）否定结论：对原命题的结论进行否定.
6.利用不等式性质比较大小的常用方法
（1）作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.
其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式，当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差
（2）作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论.
（3）特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断.
7.解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）二次项若含有参数应讨论参数与0的关系，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.
8.利用基本不等式求最值的方法
（1）拆（裂项拆项）：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件；
（2）并（分组并项）：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
（3）配（配式配系数，凑出定值）：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值；
（4）换（常值代换、变量代换）：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式.
9.求解复数相关问题的技巧
（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为的形式，再根据题意列方程（组）求解.
（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.
（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.
（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i的幂化成最简形式.
（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.题型一 数学通用基础（2）
——2023届高考数学高频题型专项训练
1.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
3.设复数(i是虚数单位)，则( )
A. B. C.1 D.2
4.已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
6.已知，则下列命题中真命题的个数是( )
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.下列说法错误的是( )
A.命题，则
B.已知，“且”是“”的充分不必要条件
C.“”是“”的充要条件
D.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
8.命题“”是真命题，则实数m的取值范围为_________.
9.已知集合，，且，则实数m的取值范围是_________.
10.某大型企业原来每天成本(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为，为了配合环境综合整治，该企业积极引进尾气净化装置，每吨产品尾气净化费用为k万元，尾气净化装置安装后当日产量时，总成本.
（1）求k的值；
（2）设每吨产品出厂价为48万元，试求尾气净化装置安装后日产量为多少时，日平均利润最大，其最大值为多少.(日平均利润就是日总利润÷日产量)
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，得，则，所以.由，得，则，则图中阴影部分表示的集合为.故选B.
2.答案：C
解析：由题意知命题“，”的否定是“，”，故选C.
3.答案：D
解析：由复数，可得，所以，所以.故选D.
4.答案：B
解析：不等式的解集为.
可化为，
当时，不等式的解集为，满足题意；
当时，不等式的解集为，
则，解得，故.
综上，.
5.答案：C
解析：因为，
所以.
因为，，
所以，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为4.故选C.
6.答案：C
解析：对于①，因为，则，所以.故正确.
对于②，由条件可得，所以，即.故正确.
对于③，因为，所以，所以，所以.又，所以.故错误.
对于④，因为，正数越大其倒数越小，所以.故正确.
7.答案：C
解析：命题，则，，满足命题的否定形式，所以A正确；已知a，，“且”能够推出“”，但“”不能推出“且”，所以B正确；当时，成立，反之，当时，或，所以C不正确；若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确.
8.答案：
解析：因为命题“”是真命题，所以分两种情况讨论：
①当时，不等式化简为，对不等式恒成立，符合题意；
②当时，
即解得.综上，.
9.答案：
解析：因为，所以不等式可化为，可得.又，所以集合.又因为，所以，所以，即，对于不等式，当时，不等式可化为不成立，此时不等式的解集为；当时，要使得，则解得综上可得，实数m的取值范围是.
10.解析：（1）由题意，尾气净化装置安装后总成本，
当日产量时，总成本，代入计算得.
（2）由(1)可得，
总利润，
日平均利润，
当且仅当，即时取等号.
尾气净化装置安装后日产量为8吨时，日平均利润最大，其最大值为4万元.题型一 数学通用基础（1）
——2023届高考数学高频题型专项训练
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3.“”的否定是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列说法中，错误的是( )
A.若，则一定有
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
8.已知，且，则的最小值为__________.
9.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______.
10.某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）
（1）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；
（2）若要使运输的总费用最少，汽车应以每小时多少千米的速度行驶
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为或，
所以或.
2.答案：B
解析：由得，所以，故选B.
3.答案：D
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，则题中命题的否定是.
4.答案：A
解析：由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
5.答案：A
解析：对于A，的大小不能确定.故错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故正确.
对于C，，因为，所以，所以.故正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故正确.
6.答案：B
解析：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.
7.答案：A
解析：当时，原不等式可化为，显然成立；
当时，原不等式恒成立需满足解得.
综上可得原不等式恒成立的充要条件为.
结合选项，可知关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件是.故选A.
8.答案：4
解析：因为，
所以原式，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为4.
9.答案：
解析：由，得或.
若“或”是“”的必要不充分条件，
则或，
则或所以.
10.解析：（1）设汽车行驶的速度为x千米/时.
由题意得，
化简得，解得.
故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度的范围应为不低于40千米/时，且不高于90千米/时.
（2），
当且仅当，即时取得等号.故要使运输的总费用最少，
汽车应以每小时60千米的速度行驶.

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