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4.3对数
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：对数的概念，对数的运算性质.
难点：对数运算性质的得出，对数换底公式的推导.
三、教科书编写意图及教学建议
对数的概念及其运算是对数函数的学习基础.在数学发展历史上，先有对数，然后才有指数幂.后来，随着数学公理化体系的逐步建立，一般安排先学习指数幂，再学习对数，在指数幂概念及运算的基础上，引入对数的概念及其运算，这符合学生的认知规律，也比较自然.
教科书是从对数是指数幂中指数的一种等价表示形式的角度来引入对数的.节引言通过一个问题引导学生思考：已知底数和幂，如何求指数？显然指数与指数幂的值及底数的值紧密关联.
4.3.1对数的概念
1.对数的概念
教科书通过一个具体的例子，让学生认识到引入与指数幂运算有关的另外一种运算的必要性，并归纳概括为如何从，，，中分别求出，即已知底数和幂，求指数.这种运算显然与指数幂的值及底数的值紧密关联，这就是要引入的对数.引入的必要性明确后，教科书给出了对数的概念.
在对数的概念中，，，都有确切的含义，“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写，它只是一个表达符号.为了使学生了解这个概念，可以让学生进行指数表达与对数表达的互换，明确表达式的意义.
根据对数的定义，以及对数与指数的对应关系，可以得到对数的有关结论：负数和0没有对数：1的对数为0；底数与真数相等的对数值为1.利用对数与指数间的关系，这些结论的证明比较简单.例如，由于对数是指数幂中指数的等价表示形式，自然地，从对数的定义，研究对数与指数间的关系，得到：当，时，.利用这个关系，由，得.
2.自然对数的底数e
数学中常见两类对数：一是以10为底的常用对数，二是以无理数
e=2.718 28…为底的自然对数.以10为底学生不难理解，因为科学记数法的底数是10，以10为底，既符合数学习惯，又符合日常习惯.对于以e为底的自然对数，它是如何产生的，在高中阶段很难向学生说清楚.实际上，e和不仅是数学史上，甚至是人类科学史上最伟大的两个数.e不仅是无理数，还是超越数（不是任何有理系数多项式方程的根）.关于e的结论或性质很多，如；
；；；等.
以e为底的指数函数可以描述科技、经济以及社会生活中众多增长或衰减的变化规律，它是一个与连续变化有着紧密联系的常数.与之对应的就有以e为底的对数.随着后续内容的学习，特别是高等数学的学习，学生就可以进一步了解到e的来龙去脉，以及它的很多性质及应用.
3.例1和例2的设计及说明
例1是关于指数式与对数式互化的问题，其目的是让学生了解两类表达式的意义.虽然从形式上看，两者不同，但本质上是一致的.这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数）三者之间的关系.
例2是通过指数幂运算求对数表达式中真数、底数及对数的具体数值，让学生进一步认识对数运算与指数幂运算之间的关系.
4.3.2对数的运算
1.对数的运算性质
因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算，正像加法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学习除法运算.对于对数运算，我们也是通过指数幂运算推导对数运算的性质.
有了对数的概念和性质后，根据对数与指数幂的对应关系，不难得出对数运算性质.从对数的运算性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法.从运算角度看，加减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算.运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度也越高.对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算.现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这种作用似乎有些微不足道，但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”.因此，对数运算性质在数学发展史上是伟大的成就.
对数运算性质的推导有多种方法，既可以从左向右推，也可以从右向左推.教科书采用了从左向右的方式推导了对数的运算性质1，它是从指数幂运算的角度出发；如果从右向左推导，就是从对数运算的角度出发.两者都是充分运用指数幂的运算性质及对数的概念.教学中这两种方式都可以尝试一下.对数的另外两条运算性质，也都是充分运用指数幂的运算性质和对数的概念进行证明，它们都是加深理解对数概念的运算表达式.
2.例3、例4的设计及说明
例3中的两个小题是直接运用对数的运算性质进行具体数值的计算，从中可以体会对数运算把乘方转化为乘法，把乘法转化为加法的作用.例4是关于有字母的对数的运算，它是综合运用对数的运算性质进行运算.
3.对数的换底公式
现在，利用计算工具，我们可以求出任意一个对数的值.从历史上看，发明对数完全是计算的需要，但在计算过程中，我们无法穷尽所有对数的运算，毕竟对数的运算数量级高、复杂度高.当时人们为了运算的方便，制作了常用对数表和自然对数表，而对于其他底数的对数，可以通过换底公式，转化为自然对数或常用对数，从而实现其他底数的对数的运算.
关于对数的换底公式，教科书设置了探究栏目，先让学生用计算工具计算，两个具体的对数值，然后用它们的值求的值.解决这个问题的关键是灵活运用对数与指数的关系以及对数的定义，教学中应加强“从定义、基本原理出发思考问题”的引导，在上述具体问题及其解决过程的启发下，再利用对数的运算性质（3）推导出对数的换底公式“”就比较容易了.具体、特殊的问题往往能启发思路、发现规律，进而推广到一般情形.这种从特殊到一般的过程是我们思考和解决问题时常用的方法.
对数的换底公式是对数中非常重要的公式，用自然语言描述就是：一个对数的值等于两个同底的对数的商，其中分子是真数的对数，分母是以原对数的底数为真数的对数.从换底公式的结构和形式上看，很难直观想到这个公式.虽然难以想到，但是公式的推导并不难，有多种途径，既可以从左边推出右边，又可以从右边推出左边.这里给出另一种证明方法：
设，，则，，从而
.
利用对数的换底公式，可以把任意底数的对数的值转化为以10或e为底的对数，这样就可以利用对数表或计算器计算任意底数的对数的值，现在很多计算器，都有以10或e为底的对数计算的按键，部分计算器还有任意底数的按键，这些都极大地方便了运算.
4.例5的设计及说明
例5是关于地震的能量与里氏震级之间关系的问题.地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小.这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2.所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢.
通过例5，可以让学生体会地震的里氏震级虽然相差很小，但是地震释放的能量波差别巨大，进一步感受对数运算的意义.
5.加强运算能力的培养
数学运算是重要的数学核心素养.到目前为止，我们学习了加法、减法、乘法、除法、乘方、开方、指数幂、对数等运算.本章主要涉及计算指数幂、指数幂运算、计算对数、对数的运算，还涉及利用指数函数、对数函数的性质，比较一些特殊类型的数之间的大小等.教学时，应结合本章的相关运算的教学，加强学生运算能力的培养.此外，也可以引导学生对学过的数学运算进行适当的整理和总结，从整体上理解数学运算，体会运算在数学中的作用.

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