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《对数》能力探究
推测解释能力、分析计算能力 指数式与对数式的互化技巧
1.指数式与对数式的互化是对数运算中的难点,与的互化规则是“底数不变,左右交换”.
这是指在保证指数式与对数式书写形式不变的前提下遵循:
(1)两式均以为底.
(2)两个字母在等号左右两边互换其位置.
2.幂值相等的指数式问题求解技巧
幂值相等的指数式问题,求解时一般设相等的指数式为同一个常数,利用取对数的方法求解.
3.对数式是由指数式变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数就是指数式中的幂的值,而对数值是指数式的幂指数,对数式与指数式的关系如下:
典例1 [逻辑推理、数学运算](2018湖北鄂南高一检测)解下列各题:
(1)设,求;
(2)若,求;
(3),求(用含的式子表示).
思路:掌握指数式与对数式的关系和互化技巧,在推理和运算的过程中要“底数不变,左右交换”是解决本题的关键.具体解题过程如下:
解析:(1)由得.
(2)由得.
(3)由得.
分析计算能力 对数式化简的常用方法
1.对于同底数的对数式,化简的常用方法如下:
(1)“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式;
(2)“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
2.对常用对数的化简要创设情境,要充分利用“lg"来解题.
3.对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简.
4.当真数是形如“”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.
典例2 [数学运算(2018湖南湘潭一中高一月考)化简:
(1);
(2);
(3).
思路:根据对数的运算性质进行推理,再化简计算,就能解答本题.具体解题过程如下:
解析:(1)原式.
(2)原式.
(3)原式.
分析计算能力、简单问题解决能力 对数方程的题型与解法
名称 题型 解法
基本型 将对数式转化为指数式,解出(注意)
将对数式转化为指数式,解出,注意检验且
同底数型 转化为求解(必须检验,且
代换型 换元,令,转化为关于的方程,解得,在解方程,得到,注意检验
取对数型 取常用对数得
典例3 [数学运算](2018海南海口中学高一检测)若是方程的两个实根,求的值.
思路:本题运用对数的运算性质解方程解决本题需要将转化成关于的方程进行分析计算.具体解题过程如下:
解析:原方程可化为,设,则原方程化为.设是该方程的两个实根,所以,由已知是原方程的两个实根,则,所以,所以.
分析计算能力、综合问题解决能力 对数式化简与求值的原则和方法
1.基本原则
对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理.选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
2.两种常用的方法
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
(3)借助换底公式:一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、求值.
典例4 [逻辑推理广东佛山一中高一月考)设均为正数,且.试求之间的关系.
思路:要求之间的关系,将指数式转化成对数式,根据性质就能推导出来,具体解题过程如下:
解析:(1)设,由知,,故取以为底的对数,可得之间的关系为.
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