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《对数》知识探究
探究点1 对数的概念
一般地,如果,且,那么数叫做以为底的对数(logarithm),记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
(1)以10为底的对数叫做常用对数,并把记为;
(2)以无理数为底数的对数叫做自然对数,并把记为.
“log”同“+”“”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫做对数运算,对数运算的符号要写在数的前面.
【要点辨析】
1.在对数的概念中为什么规定且
(1)若,则会出现为某些值时,不存在的情况.
(2)若,且,则不存在;若,有无数个值,不能确定.为此,规定.
(3)若,且,则不存在;若,有无数个值,不能确定.为此,规定.
因此,为了避免对数不存在或不唯一确定的情况,规定,且.
2.对数式与指数式的关系
指数式,根式和对数式,且)是同一种数量关系的三种不同表达形式.具体对应如下:
表达形式 对应的运算
底数 指数 幂 乘方,由求
方根 根指数 被开方数 开方,由求
底数 对数 真数 对数,由求
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.
(2)弄清对数式与指数式的互化规则是掌握对数意义及其运算的关键.
学科素养:根据对数的概念、运算性质进行分析计算、推理解释,从而解决问题,提升学生的逻辑推理、数学运算、核心素养.
典例1 [分析计算能力、推测解释能力](1)(2018山东烟台二中高一月考)下列语句:①对数式与指数式是同一关系的两种不同表示方法;②若且,则一定成立;③对数的底数可以为任意正实数;④对一切且恒成立.其中正确的是( )
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③④
(2)(2018山西阳泉一中高一检测)下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
(3)(2019湖南师大附中月考)使对数有意义的的取值范围为( )
A.,且
B.
C.,且
D.
(4)求的值.
解析:本题主要运用对数概念、运算性质进行分析计算、推测解释、解决问题.具体解题过程如下:
(1)由对数概念及,且)知①正确,由对数的性质易知②④正确.
(2)的对数式应为.
(3)要使有意义,则1,所以.
(4)设,则,即.
答案:(1)A (2)B (3)B (4)
探究点2 对数的基本性质
1.负数和零没有对数,即;
的对数等于0,即;
3.底数的对数等于1,即;
4.对数恒等式;
5.,且.
【要点辨析】
1.的作用在于能够把任意一个正实数转化为以为底数的指数形式.
2.的作用在于能够把任意一个实数转化为以为底数的对数形式.
学科素养:根据对数的基本性质解决问题,提升学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
典例2 [分析计算能力](1)(2018河北邢台二中高一月考)方程的解是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019山东滕州一中月考)已知,那么等于___________.
解析:根据对数的基本性质进行分析计算是解决本题的关键.具体解题过程如下:
(1)∵.
(2)∵,则,则,
则.所以.
答案:(1)A
探究点3 对数的运算性质
对数的运算性质:
(1),即积的对数等于对数的和.
(2),即商的对数等于对数的差.
(3),即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍.
【要点辨析】
对数的运算性质的拓展:
(1).
(2).
(3).
其中,.
学科素养:根据对数的运算性质解决问题,提升学生的数学抽象、数学运算核心素养.
典例3 [概括理解能力、分析计算能力](2018山西师大附中高一周测)已知用表示为( )
A.
B.
C.
D.
解析:解题时理解并把握对数运算性质的本质,避免类似错误:是解答此类题的关键,具体解题过程如下:
由得,.
答案:
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