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《对数》真题探源
题型1 对数的基本运算
例1（1）（2018·广东学考）对任意的正实数x,y,下列等式不成立的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
（2）（2018·浙江学考）已知函数,则（ ）.
A.1
B.
C.3
D.
（3）（四川高考）已知,则下列等式一定成立的是（ ）.
A.d=ac
B.a=cd
C.c=ad
D.d=a+c
（4）（2019·全国Ⅱ高考）已知是奇函数,且当x<0时,,若,则a= .
真题探源 本例中4个问题都是考查对对数运算法则的理解与掌握,教材在P124中先给出了对数运算性质,并紧接例3、例4进行应用.（1）题是对对数运算性质的考查,（2）（3）都属于对数基本运算,（4）则为指数式与对数式的互化问题,（1）（3）与教材P126练习第2题类似,（4）与P127习题4.3第4题类似,（2）则与P127习题4.3第6题类似.
思路点拨 （1）对于B项,令x=y=1,则,显然等式不成立,故选B.
（2）,故选C.
（3）.
.
,故选B.
（4）.
答（1）B（2）C（3）B（4）-3
解题通法
对数运算的一般思路
（1）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算性质化简合并.
（2）将对数式化为同底数对数的和、差、积的运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
题型2 分段函数中的对数运算
分段函数中的对数运算
（1）（全国Ⅱ高考）设函数则（ ）.
A.3
B.6
C.9
D.12
（2）（全国I高考）已知函数且,则（ ）.
A.
B.
C.
D.
真题探源 上述两个小题是把本节的对数运算与上一章函数中分段函数的求值综合起来了.在教材的练习中是没有此类题的,但只要把对数的运算掌握好,问题便容易解决了.
思路点拨 （1）由已知得,
又.
.
（2）,
∴当a≤1时,,
则,此等式显然不成立；
当a>1时,,
∴,
∴,解得a=7.
∴.
答（1）C（2）A
归纳总结
对数的求值一般有两种方法：一种是将式中真数的积、商、幂运用对数的运算性质化为对数的和、差、积,然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积运用对数的运算性质化为真数的积、商、幂,然后化简求值.
题型3 与对数有关的数的大小比较
例3（1）（2017·天津高考）已知奇函数在R上是增函数.若,则a,b,c的大小关系为（ ）.
A.aB.bC.cD.c（2）（2017全国l高考）设x,y,z为正数,且,则（ ）.
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
真题探源 关于数的大小比较,有时可以借助函数的单调性,由x的大小比较的大小；有时也可以化简后确定它是正数、负数,或者是比某一个数大（或小）,如比1大或比1小,从而比较其大小.上述两个小题其实就是通过对数或指数式的化简或计算再作比较,如教材P160复习参考题4的第5题的（2）（3）小题都是比较数的大小的题目.
思路点拨 （1）∵函数为奇函数,.,且函数在R上是增函数,
.故选C.
(2)设.
,,故选D.
答（1）C（2）D
答题模板
作差（或作商）法比较大小的答题思路与步骤
作差（或作商）法比较数式大小,就是将要比较的两个数式进行作差（或作商）,然后通过恒等变形与0（或1）进行比较,得到其大小关系的一种方法.此种方法是解决比较两数式大小问题的基本方法,其答题步骤为：
第一步：作差（或作商）变形.将要比较大小的两个数式进行作差（或作商）,然后通过因式分解等方式进行恒等变形.
第二步：与0（或1）比较大小.判断每一个恒等变形后的因式符号（或比较变形后分式的分子与分母的大小）.
第三步：得到结论.通过比较差式与0（或商式与1）的大小,得到两个数式的大小关系.
题型4 对数运算在实际问题中的应用
例4（1）（2017·北京高考）根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为,则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A.
B.
C.
D.
（2）（2019·北京高考）在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值是（ ）.
A.
B.10.1
C.
D.
真题探源 对数的运算在实际生产、生活中有着广泛的应用,教材中这类题也很多,如P125的例5,P127习题4.3第9、10题都是对数运算的实际应用.
思路点拨 （1）设,,,,.故选D.
（2）两颗星的星等与亮度满足,令,则,,故选D.
答 （1）D（2）D
题型5 对数的综合运算与应用
例5（1）（2018·甘肃检测）已知函数
（n∈N）,定义使为整数的数k叫作企盼数,则在区间[1,2016]内这样的企盼数共有 个.
（2）（2019·广东惠州高三八月第一次调考）已知,观察下列算式：
；
；……
若,则m的值为 .
真题探源 本例中的2个问题均有较强的综合性,教材中题目一般不可能到达这个难度,但在各地的期中、期末和调考中这类题目是屡见不鲜,比如高考试题中也多次出现对数与数列的综合运算.
思路点拨 （1）令,,
.
要使成为企盼数,则.
.
,
∴可取n=2,3,…,10.
因此在区间[1,2016]内这样的企盼数共有9个.
（2）
；
则.
答（1）9（2）
解题通法
对数运算的方法技巧
（1）“收”：将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数.
（2）“拆”：将积（商）的对数拆成对数的和（差）.
（3）对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
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